凡是学过高数的，应该见过 这个符号。它由爱尔兰物理学家哈密顿(William Rowan Hamilton)于1837年引入，因此被称为Hamilton operator，也叫del算符，中文读作“倒三角”，英文读作“nabla"。它是一个能进行微分运算的算符，在三维直角坐标系中定义为

是不是觉得有点怪怪的，怎么上面的偏导符号后面是空的，这就是算符的特点，就好比一个空根号 ， 虚位以待，对放入其中的东东实施特定的运算，对 来说，它实施的运算是偏导。

温馨提示：以哈密顿的名字命名的另一个算符——Hamiltonian，是指量子力学中的能量算符，请勿混淆。

既然算符本身并不是量，因此不能说 矢量，只能说是矢量算符——“矢量”二字仅作为算符的修饰语。对此，梁灿彬先生有一个生动的比喻：

算符正张嘴等你喂食，只有吃进一个量才能成为某个量。

矢量可以与标量数乘，还可与矢量点乘和叉乘。而作为矢量算符， 也相应有三种运算。

它若作用在标量上，则对该标量求三个偏导，类似数乘，称为梯度。它若作用在矢量上，可以分两种情况：第一种情况，它的三个偏导分别作用在矢量的三个对应份量上，这种对应关系类似于点乘，称为散度；第二种情况，它的三个偏导按照叉乘的规则作用在目标上，称为旋度。

下面分别仔细讲讲这三个东西是什么。

1. 什么是梯度?

函数 的梯度记作 或 。在直角坐标系中，函数 的梯度定义如下

梯度到底是个神马东西？且听我慢慢道来。

温馨提示：文中数学算式若显示不全，诸君请动动您的小指头轻触公式并左右滑动即可。

1.1 先简单点，什么是坡度？

通常用落差描述两点之间的高度差，而坡度则表示落差与水平距离的比值。如下图直角三角形斜边的坡度为 。

而如下图左边的台阶，它的总体的坡度（ 参考 点连线的坡度）是

图中四条斜线的的坡度依次减小，台阶上表面的坡度为零，而台阶的竖直面的坡度则为无穷大。可见，坡度看起来总是与一段有限大小的距离关联的，并不能确切的给出各个点的细致情况。

上面右边的图中，任一台阶 的坡度 （也就是图中各彩色线段的斜率）为

此刻，我的脑海里的景象大概可用下面这幅图来描绘。

1.2 若坡度连续变化，怎么办？

上面台阶图中的那些线段连成一条折线，若用函数表示，是一种不连续的跃阶函数。设想每一步台阶无限小，水平方向任意坐标 处的无限小台阶的坡度为

由于每一步台阶都无限小，因此高度 随水平距离 连续变化，折线变成光滑的曲线，可用一个连续函数 描述。若该函数不出现急拐歪——那种尖锐的峰或谷（例如 在 处），在数学上称之为可导。

要磕倒一定要连续，但连续不保证磕倒

上述 即为该函数在任意位置 处的导数

它给出 处无限小的台阶的坡度。例如，对下图所示的这种弧线，其坡度也是连续变化的，根据关系 ，可得导数为 ，它是一个减函数，也就是说，坡度随 增加而减小。

再比如，函数 的导数是 ， 越远离原点，坡度越来越大，因为函数图像是一条开口向上的抛物线，原点是最低点。随着 坐标逐渐远离原点，对应点的斜率增大。

由以上讨论可知，对一维曲线，曲线在某点的坡度，数学上是函数的导数，几何上是曲线在对应位置的切线的斜率。换句话说，坡度、导数以及切线的斜率在任一点是唯一确定且等价的，它们都可用来描述函数随自变量的变化。

1.3 对二维曲面，坡度管用吗？

对一个二维曲面，如何描述它在某处的坡度呢？例如下图中的斜面，你可能会说，这个简单啊，斜面的坡度不就是斜面的高除以底边长度嘛！显然它的坡度与沿着斜面向上的那一条线的坡度相同。

再例如，我们把曲线 绕着 轴旋转，就会形成一个二维曲面，称之为旋转抛物面。如下图所示，它的方程是 ，你自然会想到，这个曲面上任一点的坡度应与抛物线一样，对吗？

如果你按照斜面的方式来看，也就是说，你指的是沿着曲面向上方向的坡度，那么它的确就是抛物线所给出的那个坡度。但与曲线不同的是，曲面上任一点前进的方向不止一个，而是无数个，前面提到的斜面也是如此。很显然，沿不同方向，曲面升降有快有慢。

如果你认为坡度可以沿不同的方向定义，那么不同方向的坡度显然是不同的。以上述斜面为例，从点 沿水平方向坡度为零，而沿斜面向上的方向，坡度最大。因此，当描述坡度时，你必须指明所关注的方向。

若你认为坡度总是指曲面升降最快的那个方向的坡度，那么，对任意方向曲面升降快慢的描述，应采用另一个概念更合适，它就是方向导数。

1.4 方向导数来救场了

什么是方向导数，其实不用想的太复杂。根据前面所讲的，导数就是坡度的极限，那么方向导数就是给定方向的坡度的极限。

如上图所示，二维曲面由函数 描述， 面上，点 和 的距离为 , 的函数值相对 的函数值的增量为 。则参照上面的那句话

即为函数在 点的沿 的方向导数的定义式。 前面说过，任一点 的坡度有无数个，现在指定了一个确定的方向，那么这个坡度就是确定的，它的极限就是该方向的方向导数。

呃，这个坡度的极限怎么求呢？

函数值的增量由它的自变量的增量导致，那么你很容易想到，这些增量之间应该存在某种关系，猜想最简单的关系是线性关系，也就说 其中 和 与 和 无关。然而实际上，这是不成立的，除非函数 是线性函数。

但人们发现，当 和 都趋于零时，上式是成立的！此时 和 分别是函数在该处的两个偏导数。即

至于这里面的偏导是什么的问题，你完全可以按照前面讲的一元函数的导数去理解，只是当你求某个自变量的偏导时，将其他自变量视为常数即可。如果你还不懂，请参看本公号之前的一篇文章：“适合高中生和大一新生的通俗微积分：导数、微分、偏导和全微分”。

当不满足趋于零的条件时，就存在一个差值，我们用一个高阶小量填补这个差值，因此就有

上式后面的 代表由 和 构成的高次项。

这实际上是数学里一个被称之为“泰勒展开”的重要规律。它的基本思想是：当一个函数的变化值很小时，它总可以用自变量的增量的从1开始的次幂的线性组合来近似，幂次越大，则近似程度越高。上式中的最高幂次是1，近似程度是最低的。

根据矢量的点乘规则，上式即为设 与 轴夹角为任意值 ，则与 轴夹角为 ，则有 故有 代入到方向导数的定义式中，即得到 由于 是高次项，当 时，其值为零，故得 至此，通过极限的运算得到了方向导数的表达式。

在以上过程中，我们将 看作一个整体的符号来分析的。其实也可以换一种思路，既然方向导数就是特定方向的坡度的极限，那么就从该极限出发往前推导吧，极限不就等于两个微分相除嘛！ 注意，此式与前面的定义式相比，只是左右调换了，但思路不同，这里是等号，而非定义。现在将右边的导数符号看成两个微分相除，根据二元函数的全微分 （不明白？请参看本公号之前的文章：“适合高中生和大一新生的通俗微积分：导数、微分、偏导和全微分”）上式除以微分 得 同样得到上述方向导数的表达式，过程更简单。

以上是按照二元函数来讲的，因为基于二维曲面能比较直观的理解。对于任意多个变量的函数，其方向导数也是类似表示。例如函数 的方向导数为 其中 分别是 与 轴的夹角。

回头看，一维曲线（一元函数）为什么没有方向导数？因为它的自变量只能沿唯一的数轴方向变化，不需要定义方向导数。

讲了半天的方向导数，它有神马用？它给出空间曲面任一点处，沿某个方向的坡度。说到这里，很容易想到一个问题，那个坡度最大的方向是哪个？对应的坡度又是多少？

1.5 方向导数的最大值

由于方向是通过余弦函数来体现的，余弦函数属于 ，因此有的人就简单的认为，方向导数的最大值是

对吗？不妨用前面提到的抛物面来检验一下，由其函数表达式 ，考察点 处的最大方向导数，上式给出的值为4。但显然，抛物面的坡度的最大值是旋转抛物线 （或 ）在对应旋转半径处的导数。由于点 对应抛物线的旋转半径是 ，故得抛物线在此处的导数为 所以，上述方向导数的最大值 肯定是不对的！实际上，任意方向与数轴夹角的余弦之平方和必为1，否则该方向是不存在的，因此也不可能有上述那个值！例如上述抛物面，不存在与 轴的夹角都为零的方向。

下面来看，这个最大的方向导数到底是什么。

根据矢量的点乘，三元函数的方向导数可写成 由于 ，故后面括号中的矢量的模为1，它是一个沿着某个 方向的单位矢量 。而矢量点乘沿某方向的单位矢量，就是矢量在该方向的投影。故上式表明，矢量 在 方向的投影就是函数 在该方向的方向导数，即 而矢量沿任意方向的投影的大小不会超过自身的模，因此，方向导数的最大值就是上述矢量的模，即

例如，对旋转抛物面 ，在点(1,1)处，该值为 与旋转抛物线在该处的导数相同。

好了，我们找到了这个模取最大值时的方向导数，它的模就是曲面在对应点的最大坡度，而它沿任意方向的投影即为沿该方向的方向导数。

1.6 梯度终于登场了！

我们找到了一个非常重要的矢量，它给出空间中的一个特征方向。沿该方向，方向导数取最大值，也就是场函数的变化最快的方向。

很显然，这个矢量太重要啦！不错，它就是所谓的梯度！通常用 或者 表示，例如函数 的梯度记为 或 ，即开始时给出的(1.1)式 梯度是什么？简单的说，一个函数 的梯度 ，也是一个函数，但同时又是矢量，它在任意点的模是函数在该点的方向导数的最大值，而它在该点矢量的方向则给出函数取值变化最快的方向。

基于梯度的概念，可以把方向导数再总结一下：方向导数是梯度矢量在相应方向的投影值。也就是说，沿任意单位矢量 的方向导数总可表示为

基于此式，有两个常用的结论，一个是函数的沿某方向的微分，它等于梯度与自变量空间的矢量微分的点积，即

其中 。另一个是此式的积分形式，即 此式右边是梯度在 之间的曲线积分，左边总是函数 在这两点的函数差值，这说明梯度的积分与路径无关！实际上，这就是物理中的保守力的概念的来源。一种势能的负梯度是它对应的保守力，所以保守力做功与路径无关。

窃以为，除定义式(1.1)之外，上述(1.2)~(1.4)三个等式应该是梯度的核心与精华，你值得拥有。

还有两个值得注意的问题再提醒一下。

第一、梯度指向函数值变化最快的方向，确切的说，是函数值增加最快的方向，而不是减小最快的方向。只要按照梯度公式计算，自动会得到这个方向，后面一个关于点电荷电场的例子展示了这一问题。

第二、梯度是自变量空间中的矢量。例如函数 的梯度矢量如下图中箭头所示，它在 平面内，而非在曲面上。

1.7 其他坐标系中的梯度

上面讲的，似乎都只局限在直角坐标系，常用的柱坐标、球坐标系中的梯度又是怎样的呢？

首先必须明确，梯度与方向导数的关系也是独立于坐标系的，即：方向导数是梯度矢量在相应方向的投影值。据此，设有某正交坐标系，沿单位矢量 方向移动 的距离，函数变化 ，则必有

因此 ，前面刚提过这俩式子。

而函数作为坐标变量的函数，其全微分具有与直角坐标系相同的形式，正交坐标系中 的全微分的一般形式是 现在只要把该坐标系中的 找出来，让后比较这两个 ，就可以得到 的表达式了。

先看柱坐标系，如上图所示，从 移动到 点，可以看成是依次沿着 三个方向移动，根据矢量三角形法则，有

当 时，忽略高阶无穷小，则得 而柱坐标系中，函数的全微分为 将此 写成 的形式 按矢量的点积规则，则得梯度为

再看球坐标系，如下图所示

同样，根据矢量三角形法则，可得 取极限得 同理得球坐标系中的梯度表达式为

1.8 举几个例子

首先来看如何求函数的梯度，并据此求方向导数。

根据梯度与方向导数的关系，即(1.2)式 只要将梯度乘以某个方向的单位矢量，可以得到任意方向的方向导数。

例1：设有函数

其代表的曲面如下图。XOY面上一点 沿着三个不同的方向指向 , 和 ，对应的矢量分别表示为 ， 和 。 计算函数在 点沿这三个矢量的方向导数。

先算梯度，根据梯度表达式在 处的梯度为 它的模为 。

对矢量 ，它的值为 ，故其单位矢量为 故方向导数为 对矢量 ,它的值为 ，故其单位矢量为 故方向导数为 对矢量 ，它的值为 ，故其单位矢量为 故方向导数为 很显然，沿着 的方向导数最大，正好等于梯度的模，从图可知，曲面沿此方向上升最快，这就是梯度方向。

例2：以上述旋转抛物面为例，检验一下梯度与方向导数的关系。

抛物面函数 的梯度为

代入坐标(1,1)，得梯度的模为 正好就是抛物线 在旋转半径处（ ）的导数值，这说明旋转抛物面沿着该方向具有最大的方向导数，即为抛物面的梯度。

下面再从求方向导数的最大值来验证一下这个结果。

考察一个任意方向 沿此方向的导数为 依直觉，沿径向往外的方向应是抛物面上升最快的方向，此时 满足故得 代入坐标 得方向导数最大值为 。

对上述过程，有人可能觉得前面“依直觉”有点牵强，其实也可以纯粹推导得到，令方向导数为 的函数 寻找取极值时的 值，求导如下 则有 联立 得 与上述“依直觉“保持高度一致。

例3： 求点电荷的电场的梯度。

设真空中带正电 的点电荷处在原点，以无穷远处为电势零点，则距离原点 处的电势为

根据上述球坐标系中的梯度的表达式，得空间电势梯度为

前面负号表明梯度矢量沿向指向球心的方向，即电势增加最快的方向，这说明沿径向往外的方向，电势减小最快，而这正好就是正电荷的电场的方向。

1.9 梯度与等值线（面）

二元函数 给出一个曲面， 坐标相同的点在 面上描绘出一条平面曲线，称之为等值线。典型的例子如等温线，等高线。如下图所示，下部分为等高线。

如果是三元函数，则函数值相同的点满足 ，形成一个曲面，称之为等值面，典型的例子如电场的等势面。如下图所示，紫色的曲线就代表电场的等势面。

而对于更高维空间的函数，虽然在这里无法直接展示，但也同样具有相应维数的高维曲面作为等值面，与空间的梯度矢量处处垂直。

一般约定相邻的等值线（面）的函数差值相同，如前面山丘的等高线，每两条等高线对应的高度相差10个单位高度。

为什么等值线（面）与梯度有关呢？

它们都在函数的变量空间中，例如函数 的定义域 平面。梯度是矢量，在任何一点，它总是指向函数值的变化最快的方向，而等值线总是那些函数值相同的点组成的线（面）。

二者之间的一个重要关系是：等值线(面)与梯度处处相互垂直。

这可用反证法证明：假设不垂直，则梯度沿着等值线(面)的切线分量不为零，这会导致等值线(面)上两点之间存在函数差值，这与等值线(面)的本身的定义矛盾，故梯度必定与等值线(面)处处互相垂直。

当然，如果你要严格从数学上证明这个结论，其实也不难。

常用的依据是：两个非零矢量若相互垂直，则它们的点积等于零，反之亦然。

因此，我们只要证明梯度矢量和等值线(面)的切向矢量的点积的确为零即可。

但有人可能犯难了：这梯度矢量倒是知道了，就是 ，可等值线(面）的切向矢量该怎么得到呢？

以二元函数 为例，它的任意等值线为 它是一条位于XOY平面内的平面曲线。将这条线想象成一个粒子运动的轨迹，它的运动方程为 根据运动学可知，曲线上任何一点的速度 都沿该点的切线方向， 而这个速度就是上式对 的导数 ！换句话说， 的方向正好就沿着等值线的切线方向。

所以，只要能推得 就证明了上述命题了。

将 和 的表达式代入上式左边，得 看出来了吗？这不是就是求复合函数 的导数嘛！因此得 这下就亮了！因为前面说了 等于常数 ，因此 命题得证。

下面是静电场的等势面的例子。

如下图所示，两个等量异号电荷的等势线与电场线的分布情况，学过一点高中电场的同学都知道，均匀电场中一段距离上的电势差为

只有沿着电场方向移动，才会产生电势差，设移动矢量为 ，则引起电势改变的有效距离 是 在平行于电场方向的投影，由于电场指向电势降低的方向，所以有

当 时，上式即为 据前面提到的普遍规律 可知，电势的梯度为 ，即 即电场强度指向电势降低最快的方向，电势梯度方向与电场方向相反，等势面与电场线处处正交，如下图所示。

若将 两边积分便得到 也就是 左边为单位正电荷从 移到 后，电势能的减少量（初始值减去后来的值）， 右边是电场力对单位正电荷所做的功，因此得到一个常见的结论：电场力做的功总是等于电势能的减少量。

上述分析，若从 出发，直接利用前面提到的梯度的三个精华与核心的关系式，则更加直抒胸臆，简单明了。

1.10 梯度与路径搜索

梯度给出了函数值变化最快的方向，这话当然没错，但是这句话并不具有绝对实用性，什么意思？简单的说，梯度只能给出局域变化最快的方向，并不能直接给出长距离上的函数变化最快的方向。假若你说：梯度给出高维曲面上下降最快的路径，那就大错特错了。如下图，这条路径就是按照各点梯度给出的矢量连成的路径，显然，它并不是最短的路径。

一座连绵起伏的山，若在它正下方海拔为零的平面 上定义函数 ， 用它表示对应坐标处山的的海拔高度。对平面上一点，朝不同的方向走，山的高度的变化趋势是不同的。

若理想的路径的指标只有一个，就是距离尽可能的短。这就要求高度在所行进的方向上是变化最快的。怎么比较不同方向，山的高度值变化的快慢？

有两种等价的方法。可以在坐标空间中沿着不同方向移动相同的距离，找出高度变化最大所对应的方向；也可以规定相同的高度变化值，然后找出坐标空间中移动的最短路径的方向。不过，在上述判断方法中，只有当移动的距离足够小，所判断出的方向才越接近真实的梯度方向。

老丁、老郑和王局一起从山顶下山，如果要求他们从山上每下降一定的高度 ，所走的路径最短，当这个规定值 非常小时（比如10米以内），他可将逐步的位置坐标代入山表面函数的梯度中，得到一个移步的方向。老丁据此方式下山，他沿着由一系列局域的最短路径连接而成的路径下山，如下图中绿色曲线。

等老丁下山之后，他发现王局和老郑早就在山脚等候多时。原来老郑按 规划最佳路径，结果所走的路比自己的短多了，而王局知道半山腰处有电梯，并且去电梯的路显然已经修好了，肯定也蛮近的，因此他直接走大路到半山腰，然后乘电梯直落山脚。

当然，上述例子中的山应有一种理想的表面，不会出现各种悬崖和无法跨越的沟壑，尽可能的光滑，可理解为是一座“数学上可微分的山”（看看下面这幅草原美图感受下），否则老丁没法按照那么小的 来规划他的最佳路径。

利用等势面也可以解释上述问题，例如下图所示为一山峰的等高线，从山地 处出发到山顶 的路径中，处处与等高线保持正交的绿色路径是最接近梯度方向，即绿色路径，处于相邻等高线之间的每一段均是最短的那个距离，但其总长度明显却不是最短的那个。

由本例可知，虽然梯度函数给出了局域的最短路径，但在经过一个长距离的积累之后，这个路径一般不是最短的那一个。

为什么会这样呢？因为梯度并不是与一段空间对应的，而是与每个点对应的。而实际的最短路径必定是在全局背景下考虑的。局部最短和全局最短不可能兼得，只能适当调和。

这的确是一个深刻的哲理，就好比一个人习惯低头走路，小心翼翼，每一步都走的很扎实很稳当，可一抬头才发现，前面不远处是一道无法逾越的峭壁。有的人为了争得眼前的蝇头小利，失去了获得未来更大成就的机会，而有人只着眼于远大的目标，不注意活在当下的细节，失去健康，功亏一篑。

1.11 梯度下降法

考虑一个简单的问题，寻找函数 的最低点的位置，注意，我在这里用了“寻找”一词，你就别指望用已学的二次函数的那些伟大经验方法了。我们需要用一种算法，让计算机帮我们完成任务。

计算机擅长快速的，重复的按照程序来做事，你可以这样安排它：

1. 在数轴上随机取一个值，如 ，得 。

2. 在10左右各取一个点，比如9和11，得 和 ，由于 更小，所以应向负轴方向继续寻找。

3. 取一个稍小的 值，将所得值与上一步比较，如果仍减小，则重复此步，若几乎不变，则最后的 值即为最终结果，结束程序。

上面这件事看起来挺容易，但要做好的话，还挺不容易。有没有一种根据函数值下降的方向，自动获取下一步的坐标的方法呢？有，其实还不少，其中有一种叫做梯度下降法。

当函数只有一个变量时，梯度和导数是同一个东西，即 。根据梯度的意义，它的方向与函数增加的方向一致，故 的符号与函数值增量的符号一致，当它为负时，函数值减小，而当它为正时，函数值增加。

因此，在原坐标上减去一个与梯度值符号一致的数，就能确保自变量总是往函数值减小的方向移动，即按照下式更新坐标

其中 是一个合适大小的正数。

我们用上面的函数来检验一下， ，取 ，假设初值 ，迭代过程如下：

若初始值为 ，迭代过程为： 可见，按照这种方式更新自变量，函数值是一步步减小的，如下图所示，最终逼近函数的最低点位置 。

有人可能注意到上面迭代的一个细节，自变量移动的步伐越来越小，这是因为越靠近函数极值的地方，梯度越来越小，如下图所示，越靠近极值处，切线的斜率越小。这是梯度下降法的一个优点，因为在离最低点比较近的时候，本来就需要放慢脚步慢慢靠近，如果步子迈得太大，可能越过了最低点，而跑到了另一侧，形成左右反复而不能足够接近最低点。

当然，上述梯度前面的系数 的取值很重要，它是用来控制移动的步长的，此处就不扯太多了。

以上根据一元函数说明了梯度下降法，对于二维以上的情形，道理是一样的。只不过，此时梯度不再是简单的导数了，而是一个矢量，但此时的数据点也是一个矢量，通过减去梯度的 倍，逐步更新坐标如下

形式上与一维情况是一样的，下面举一个二维的例子说明一下。

问题：寻找 的最低点。

，取 。

设初始坐标为 ，迭代过程为：

在 上的移动情况如下图所示，在约30次迭代后成功逼近最小值处。

下图动画展示了曲面上的点移动的情况，请凝视并自行脑补梯度下降四字之内涵。

实际研究中，人们经常把寻找系统各种最优解的问题转换为寻找一个高维空间中的函数的最小值的问题。其中最重要的任务是，如何从空间中的某一点通过一条合适的路径，高效的逼近那个函数的最小值的位置，梯度下降法只是其中一个常用的算法，还有很多其他的方法，如牛顿法等，梯度在其中都扮演了非常重要的角色。

1.12 向量有梯度吗？

先说明下，向量与矢量是一回事，分别是数学和物理中的两种叫法。

大多数情况下，我们只会涉及普通的标量函数的梯度。但在数学上，标量可看作一维向量。若平等的看待向量各个分量，对每一个分量，都像标量的梯度那样定义梯度，那么就自然而然的定义了向量的梯度。

例如，考虑向量 分量 按标量一样有梯度 ， 和 也一样。

问题是，怎么用这三个分量的梯度表示 的梯度呢？

可能有人意识到：矢量的梯度运算既不是点乘，也不是叉乘，那就直接仿照标量的梯度那样，二者之间什么也不写，记为 ，因此有

由于 是微分算子， ， 和 是常量，因此上式就是 现在的问题是，这里的三个分量的梯度本身也是矢量，它们与 , 和 之间应该按照什么规则来运算呢？

其实，既然我们知道，矢量的梯度就是它的分量的梯度，现在无非是把它表示出来罢了，那就就先放下思想包袱，管他什么规则呢！先直接写出来再说！

那好吧，继续写 再硬着头皮继续写 写到这里，可能你会觉得奇怪，这里的 ， 都是些神马东西啊？

抓住一点：我们这不过是为了把矢量的梯度表示出来罢了！因此它应该就是一种整体符号，是的，它就是并矢。

你可将它理解为与 ， 差不多的东东，不过现在一共有9个，代表9个基矢，至于为什么是9个，那是因为我们的空间是3维的。

你还可把3个单位矢量放在一起，例如 ，一共组成27个类似的基矢。它们的线性组合就是张量。如果 个放在一起，那就有 个基矢，对应的张量称之为 阶张量。

因此，并矢是二阶张量，矢量是一阶张量，标量是零阶张量。

如果空间不止3维，例如是4维，则相应的 阶张量就有 个基矢。

但是很显然，这种多项式的表达看起来很繁琐，既然只是一种符号表示，我们完全可以写得更简洁优雅！

一般采用矩阵的方法来简化这种多项式，例如矢量 它的分量排成一个有序列，即为矢量的矩阵表示

类似的，一个并矢，也可用矩阵来表示。例如上面的 的矩阵表示为 正如你看到的，这个矩阵中的元素排列，与多项式中的基矢的系数的排列不同，仔细看发现是有规律的：即依次对每行顺时针旋转90度，然后从左到右依次排列，这种操作叫做转置。例如，矩阵 的转置记作 ,很显然，它们的元素有如下对应关系。 还记得前面提到的关于梯度的三个核心精华关系式吗？这里再看下编号为(1.3)的式子，即

既然 和 都是矢量，根据矩阵乘法规则，我们将上式写成矩阵的形式 而矢量的梯度也有类似的关系，之所以说“类似”，因为矢量的梯度与坐标微元 之间不是普通的点乘运算，因为得到的结果是矢量的全微分，它仍然是矢量！用矩阵表示如下看到这里，有人可能恍然大悟了：这不就是全微分中的雅可比矩阵嘛？的确如此！实际上，若逐项求出矢量的分量的全微分，并将结果中的那些项按顺序排成矩阵，很容易就得到了雅可比矩阵。

至此可得结论：矢量的雅可比矩阵的转置就是它的梯度的矩阵形式。

实际上，标量的梯度是上述规律的特殊情况，而对二阶以上的张量来说，其规律也是类似的，它的梯度是更高维的矩阵。

扯半天，你是不是对这里的梯度的意义还是有点懵？其实你想多了，矢量也好，甚至高阶张量也好，与标量的梯度一样，它的梯度还是归结于各个分量的梯度。只是为了简洁，搞了这么一套矩阵的方法来表达，一切不过是为了写起来和看起来更方便罢了。

关于梯度就说这么多吧，不知各位看官理解如何？梯度对大多数学过微积分或者普通物理的人来说，基本都知道是怎么回事，但恐怕没真正理解透。当然，本文不是写给那些对梯度熟烂于胸的人的，对于那些刚刚学了一些高数，或者学完但还没怎么用的人，本文还是值得仔细看一看的。

本文所用到的一些数学知识，比如矢量、导数和微分的概念，高中就学过，这个没问题。可能有些人对偏导，泰勒展开，全微分和矩阵这几个东西不太熟悉，但我想说，这是学过高数最起码的要求，如果你对这些知识还不了解，你可得先花时间看下相关内容。

好了，接下来看看散度是什么。

2. 什么是散度？

散度(divergence)，常用符号 表示，定义为哈密顿算子与一个矢量函数的点乘，在直角坐标系中的表达式为

那么，怎样才能更直观的理解散度呢？它有什么具体的物理意义呢？

诸君且再次听我慢慢道来。

2.1 从通量说起

日常中，人们需要记录空间流过的流体的量，例如，水库泄洪的水量。但更多时候，人们需要监测流体流动的快慢，例如单位时间内，有多少流体流过去了？

如上图所示，设水流过一个横截面积为 的管子，水的密度为 ，运动速度为 。显然，在 的时间内，任一截面左侧长为 的管内的水都将流过该截面，即 这就是 时间内流过 截面的流体的量。人们习惯用单位时间内流过 面的流体的量描述流体穿过 的快慢，称之为通量（Flux），即 若将截面看做沿法向往右的矢量 ，定义流体速度矢量 以表示单位时间，单位面积上流过的流体质量，则 上面考虑通量过于简单，更一般的情形是，流体的速度不均匀，并且 不是平面而是曲面，如下图所示。

这种情况下，将曲面看作是多个细小的平面 拼接而成的，每一个细小的平面的通量仍可按照上述简单的情形来计算 对上述结果求和，当细小的平面数趋于无穷时，所得曲面积分即为通量 ，即

上述积分的一个问题是，曲面任何一点的沿法线的两个相反方向都可选作面积矢量方向，换句话说，曲面的左和右、上和下、前和后没有绝对的差别。即使我们对某特定曲面，可人为约定所有点的面积矢量都指向某一侧，但对任意非闭合曲面，却无法统一约定。

因此，对非闭合曲面，通量可正可负，因人而异。但对闭合曲面，通量的符号是否可统一确定呢？

考虑一个球形容器，表面均匀分布无数个小孔，水从球内经小孔往外流出，同理，可得容器表面 的通量为

很显然，与非闭合的曲面不同，闭合曲面内外是可区分的，故可以统一约定面积矢量的方向。人们统一约定：由内向外的法向作为面积矢量的方向。根据这个约定，若某处流体向曲面外流出，则该处的通量为正，否则为负。

如图，一个不断冒水和漫水的玻璃圆筒，它的侧面不透水，故通量为零；下底面有水进入，通量为负；上底面有水漫出，通量为正。

上述是用真实的流体——水来做例子说明的。但实际上，任何矢量 都可以代替真实的流体速度矢量 来计算这种积分。即，任何矢量 都可定义通量 典型的例子是电场强度 ，电场并非流体，但我们可将电场看成一种假想的流体，对任意闭合曲面形成的通量叫电通量，用 表示，即

2.2 通量的源

上面玻璃圆筒底部的有水不断冒出来，上面不断有水漫出来，你很容易想到，冒出的水时刻与漫出的水是等量的。再看下面这个灯泡，每时每刻，灯泡发出的能量，如果不考虑被空气吸收，都流过包围灯泡的某个面。

你应该知道我想说什么了，是的，流体的通量总是有源可溯的。曲面上净流出的通量总是由曲面内某种源贡献的。正电荷就是静电场的源，它像西游记中的蜘蛛精的肚脐眼一样，不断往外射出无数电场线。

如果反过来，流体不断流入曲面呢？那说明曲面内部也有一个源，不过是负的源，也称作汇，乃汇聚之意。它像一个漏洞一样，不断吸入从曲面外进入的流体。

下面动画中，瀑布的水不断注入下方的深潭，深潭是瀑布的汇，因为包围深潭的曲面的通量为负。类似的，静电场的汇就是负电荷，它看起来好像不断将电场线从外面拉进去销毁掉。

可见，这里的“汇源”可不是什么“汇聚五洲英才，源通四海财富”之意哦。

流体的源并不是只有一个点，而是分布在曲面包围的空间中，如下图中，无数迸发的火药就是出射的烟花流体的源。

显而易见，源的强弱决定了通量的大小。打个比方，有炸药发生了爆炸，形成向外扩散的气流，气流被推动的快慢取决于爆炸的威力，也就是炸药的量。它的量越大，它的冲击力导致空气朝四面八方流出的量越大。很显然，他们（空气流量与炸药量）之间就是一种通量与源的关系。

那么这个源能否量化的表示？当然！从朴素的因果关系看，闭合曲面上每时刻的通量都来自内部空间的源的贡献，如果对通量做时间积分，即从通量开始到结束的全过程求和，那得到的应该就是源的贡献总量。

例如上面那个灯泡，从它开启到关闭，所有穿过玻璃罩的光和热，也就是通量的时间积分，数量上就是光和热的源，它就是灯泡的用电量。

按此理解，若通量稳定不变，闭合曲面内部的源在任一时刻的总的贡献就是该曲面任意时刻的通量。

但若通量随时间变化，则任一时刻曲面的通量，并非其内部的源在此刻的贡献量。因为从内部各点发出的贡献抵达闭合曲面需要时间，所以通量的计算在时间上是滞后的。例如，太阳表面每时刻的辐射，来自那些同时到达太阳表面，但发生于不同时刻和不同地点的热核反应的贡献之和。

顺便说一下，在电磁学里，由于电荷分布或电流分布的变化，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用，一般用所谓推迟势来描述。

好了，你大概明白了，通量是由曲面内部所有的点集体贡献的，这种基于点的贡献就是通量的源。关于“源”的本质，在后面2.6节讲完关于通量的一个有趣的性质之后，你可能会更加明白一些。

2.3 源的强度——散度

既然曲面 上的通量 都来自曲面包围的空间 内的源的总贡献，那么将这个通量除以 ，即 ，就是空间各点的源的贡献的平均值（源的平均强度）。

然而，空间内的源的强度并非均匀分布，所以这种求平均的做法意义不大。

更何况，根据前面所讲，由于时间的滞后性，对任一时刻内部空间的源的总贡献来说，它本身无法通过计算包围曲面的通量来获得。

能否想办法获得源在空间任一点的贡献呢？

若得到位于某点的一个无限小的闭合曲面 的通量 ，由于此时不存在时间滞后的问题，则该通量就是该点的源的贡献。

然而，凭直觉，当曲面 无限小时，其通量必然为零，即

因而，空间各点的源的贡献也必然为零！怎么办？

有了！参照上面提到的求平均值的做法，将 除以相应的 ，即

这不就是源的平均强度的极限值吗？是的！

回想一下，在运动学中，瞬时速度的概念就是在平均速度的基础上通过如下极限来引入的 因此，很自然的，这个平均强度的极限就是源在该点的强度。代表点附近单位体积内贡献的的通量。

在数学上，这个量叫做 的散度，用 表示。这就是散度的定义，即

对流体来说， 是速度场，即为 ，那么它的散度是空间点附近单位体积的表面上，在单位时间内，流出或流入的流体的量。

注意，这里有一个细节问题需要澄清一下。

有人提出，上述流体的速度场的的散度也可以说成

空间点附近单位体积内，在单位时间内，增加或减少的流体的量。

虽然在绝大多数情况下，这两种说法是一致的，因为一般流体传输量是守恒的，例如质量、能量等。但广义上说，这是不一定的。因为你无法确定某个量是否能凭空产生或消失。例如，只有我们确信了电荷守恒这一点后，才据此得到电流的连续性方程——后面回头讨论。

到此，你大概基本理解散度的含义了，它代表通量的源的强度，或者简单的说，散度是通量的体密度！在后面的2.6节中，当你了解到通量的一个有趣规律之后，这一点看起来更清楚。

那么，该如何得到散度的表达式呢？

2.4 散度的表达式

如下图，设矢量 分布于空间中，有个极小的长方体的中心位于点P处，现计算 对此长方体的表面形成的通量。

对长方体的六个面逐一计算，先考虑上图中左侧面 的通量 侧面 中心位于P点左侧，距离为 ，该处矢量 为 由于长方体极小，上述矢量 值代表 上各点的 值。而 对应的法向方向向左（注意：闭合曲面的法向规定为由内向外），所以 所以上面的通量 可近似表示为 同理，与 正对的 的通量近似表示为 这两部分加起来得到 由于长方体的体积正好是 故 当 时，必有 ，上面的 就变成 ，即 上式右边正好是偏导数 的定义，故得 同样的分析，另外的两对侧面也分别有类似的结论 将此三式相加得 由于 故 上式左边正好是上节给出的散度的定义，故得 这就是散度在直角坐标系中的表达式。

根据del算子的定义，上式右边为 ，故散度最简洁的表达式为

2.5 柱坐标与球坐标下的散度

先看柱坐标系的情形。

如下图，位于点P 附近，上下表面以蓝色标识的体积元 为 现考查它表面的通量。

表面 的面积矢量为 ，其中 的值为 而 中心处的场矢量 为

故通量为 ，即 同理，表面 的通量为 故此两表面的通量之和为 令 在上式两边同除以 得 当 时 ，上式中 变为 ，根据偏导定义，即 类似的，可得前后两个面的通量之和与 之比的极限 因为柱坐标的z轴与直角坐标一样，故上下两个面的情况与直角坐标相同，即 全部加起来得到 根据散度的定义，上式即为柱坐标系中的散度： 对于球坐标的情形，一样的套路，下面我图画好了

依样画葫芦，得到球坐标系中的散度表达式为

过程略去，读者可自行推导试试。

需要说明的是，上节(2.3)式是矢量的散度的一般表达式，任意坐标系下的表达式都服从它。

2.6 高斯定理

关于散度，一个最重要的应用是，通过它，我们可将一个复杂的闭合曲面积分化为一个体积分。要理解这个问题，就要学习高斯定理。

在讲高斯定理之前，先来看通量的一个有趣的性质。

假设一个闭合曲面 内部的体积为 ，现将 看成由若干小块 , 拼成的，每一个小块的表面形成的通量分别为 , ，则容易证明， 的通量 等于这些小块的表面的通量之和，即

下面以 为例来说明。如下图，体积 被切成 和 两部分。 的表面由 和切面 构成，而 的表面由 和切面 构成，图中给出了各个面的法向矢量。

先来看两个切面 产生的通量，分别用 和 表示。由于它们不是闭合曲面，所以法向可任意选择，这里选择向右为正方向，由于两个切面实际上重合在一起，它们的通量一样，即 但对闭合曲面来来说，法向矢量应向外，所以 的切面的矢量应该向左，因此， 的表面的通量中，切面部分贡献的通量应为 。

故得 和 表面的通量分别为 而整个 的表面的通量显然等于 和 的通量之和，即 联合以上三式，很容易发现

因此，总通量等于两部分体积的表面的通量之和。

若将 看成更多，甚至无穷多块拼成，上述结论当然还是成立的。

是不是觉得通量有点像质量？

是的！只不过通量有正负之分，但实际上广义的质量也可为负。

所以，通量与散度的关系，类似于质量与密度的关系，因为质量也等于内部各个部分的质量之和，每一个部分的质量都占一部分体积，密度就是质量与体积的比，正如散度是通量与体积的比。

因此，散度的含义看起来更加清晰，它就是通量的体密度！

讲到这里，突然意识到，前面2.2节“通量的源”中所说的源就是将空间分成无限小的子块时，各小块的表面积的通量。换句话说，源的本质是无限小闭合曲面的通量。源与通量的关系，类似于质点与质量的关系。

将此规律按照通量的定义写出来就是

式中 是指切出的小块 的表面。

好了，现在据此推导高斯定理。将上面的关系式右边稍作变形 上式右边方括号内的部分，在 若无限小时，正好是散度。将 看成无数个无限小的小块拼成，则可得 每个此式右边是在每一个小块都趋近于无限小时的求和，这正好符合三重积分的定义，因此 这就是高斯定理，也叫散度定理。

根据此定理，矢量场的通量可以化为它的散度的体积分。后面将举例说明它的应用。

2.7 一个例子——静电场

前面提到，形成通量以及散度的矢量 并不一定与流体速度有关，可以是任意其他的常矢量，例如静电场的强度 。

静电场是静止的点电荷激发的，考虑真空情况，表达式为 静电场满足叠加原理，即 设空间中有点电荷 ，一闭合曲面 将其包围。

考察曲面上微元 ，它与该处的电场强度之间的夹角为 ，故该微元面积的电场通量为 式中 是微元面 沿着垂直于电场方向的投影面积，它满足 其中 是 对球心（也就是点电荷）张开的立体角，代入上式得 积分得整个闭合曲面的电场通量为

因此，点电荷 在包围它的任意闭合曲面上的电场通量为 。

那么，若某闭合曲面 并未将点电荷 包含在内，则该电荷对 产生的电场通量是多少呢？简单分析可以得出，答案是零！

如图所示，点电荷 在闭合曲面 之外，画任意闭合曲面 包围电荷 ，并与 相交。曲面 的电场通量分为两部分，即 根据前面已知结论， 的通量为 。

而 与 合成的闭合曲面将 包围，故电场通量也为 ，即 注意，之所以此处 贡献的通量为 ，因为 现在与 构成闭合曲面，与它属于 的一部分相比，它的法向反向了。

同理， 与 一起将 包围，故电场通量也为 ，即 以上两式相减得 ，证明了结论：处于闭合曲面外的点电荷对曲面的电场通量没有贡献。

考虑到前面提到的电场强度的叠加性，现在可以得出静电场的高斯定理：任意曲面的电场通量等于所包围电荷的代数和除以 ，即 若电荷在曲面 内连续分布，则上式右边应通过对电荷密度积分来获得，即 将此式与散度定理比较，由于 是任意的，故可知 这是静电场的高斯定理的微分形式。意即：静电场的散度等于电荷密度除以 。

根据正负电荷的不同情况，高斯定理中的电荷或电荷密度相应的取正或负。因此，由于正电荷激发的电场指向四周，而负电荷相反。因此，对闭合曲面来说，内部正电荷的电场将从内往外穿过，而负电荷则相反。所以，正电荷为包围它的闭合曲面提供正的通量，负电荷相反。

若采用电场线来描绘电场，则可更加直观的理解上述规律。

根据法拉第的电场线的概念，既然电场可用电场线描绘，若按照一定的比例画电场线，使单位面积内条数在数量上正好等于电场强度的大小，即 那么就有

也就是说，电场通量可被看作为电场线的条数。

如果某点有正电荷或负电荷，包围该点的无限小闭合曲面必有电场线流出或流入；反过来，如果某个点有电场线冒出或消失，则该点必然有正电荷或负电荷。换句话说，电场线不会在没有电荷的地方中断。

这样，我们就很容易理解这样一个事实：层层包裹着电荷的不同曲面必定具有相等的电场通量。虽然前面已经证明了这个结论。

可以想象，当你站在曲面外看时，正电荷的电场线就从曲面射出，而负电荷的电场线则从外面吸入。基于这样一种物理图像，我们将正电荷称作电场的源，而将负电荷称作电场的汇。

当然，如果从激发电场的角度来说，无论正负电荷，都是电场的源。

2.8 另一个例子——电流的连续性方程

上面讲了真空的静电场的散度，它对应的量是电荷的空间密度 除以 。

现考察电流密度 的散度。

电流密度是电荷流体的速度场矢量，即

其中 是电荷的空间密度，它等于单位体积载流子个数 与载流子带电量 的乘积， 是电荷运动的速度。

根据散度定理有 上式左边——作为通量，它给出的是单位时间内流出闭合曲面 的电荷量。

如果电荷不能被创造，也不能被消灭，即电荷是守恒的，那么除了电荷转移之外，没有其他改变电荷量的途径。因此，单位时间内，穿过曲面流出的电荷量与内部空间电荷的减少量必定相等，即

负号代表电荷流出。而曲面 包围的体积 内的电荷量可以为表示为 故得 将此式与散度定理比较得 由于 是任意的，故 这就是电流的连续性方程。

如果每个地方的电荷都不随时间变化，即上式右边为零，那么得 这就是稳恒电流满足的基尔霍夫定律。

2.9 散度的物理意义

从散度的表达式——(2.2)式或更一般的(2.3)式来看，散度乃场矢量的分量的偏导之和，但这到底代表什么意思呢？

有人说，这代表了场矢量随空间坐标的变化率。但这种仅从数学式表面的理解并无多大帮助，并且极易与梯度混淆，而导致理解错误。

例如，点电荷的电场既然随坐标变化，从直观上看，在任一点的偏导好像不应该为零，因此应该有散度？是这样吗？

数学计算最可靠，咱们来算一下就知道了。

因为点电荷的电场分布具有球对称性，用球坐标更方便，表达式为 根据前面给出的散度在球坐标系中的表达式，计算得 与(2.6)式给出的结果一致。

其实这也难怪，散度的表达式只是严格计算的数学方法，它才不需要直观呢！

那么，我们就从别的角度来看散度的意义吧。

第一个角度，散度的定义式，即(2.1)式虽然它也是抽象的，但只要你思考多了，谁敢说你不能把抽象看成你大脑中清晰的形象呢？

这里的极限表示曲面无限缩小到那个点，也即是从那个点有场产生，换句话说，如果散度不为零，就意味着那个点成为场的源头，它激发了场，而这个场因为具有源，而称为有源场。

例如太阳内部，凡是热核反应的点，散度不为零，就是辐射源。水池底部，凡是冒水或漏水的孔眼，散度都不为零，就是水的源。

对真实的流体的速度场 ，其散度在数量上就是空间某点单位体积内流体的增加或减少量。例如电流密度 的散度就是流体密度的减少率。

第二个角度，散度定理，即(2.4)式 其实，本质上讲，它和(2.1)式是差不多的。不过它更清晰的给出了这样一幅图像：穿过曲面的场的通量实际是源于曲面内部空间中某种物质的贡献，而这种物质的密度 由这种场的散度给出。

简单的说，散度就是某种物质的密度。

当然，物质实际上往往并不存在，但我们仍然可以想象有一种物质，例如对电场电场来说，根据上一节静电场部分所讲，这种物质就是电荷——虽然电荷并非真正的物质。

对静电场来说，(2.4)式具体化为(2.5)或(2.6)式，电场背后的这种物质就是电荷，而电荷的密度 就是电场的散度——既然取合适单位制可让 等于1。

那么，什么情况下，散度成为真实物质的密度呢？

答案是万有引力场。

考虑质点 产生的万有引力场

由于与静电场形式相同，都具平方反比的形式，仿照前面电场的情况，很容易导出 可见，引力场的散度是真实物质在空间的分布密度。若选择合适的单位制，散度就是物质密度本身。所以，质量是引力的源，宇宙中所有具有质量的粒子都能产生引力。但相比粒子间其他作用，引力的强度很小，故一般可忽略。

再回到散度定理。闭合曲面的通量由曲面内部空间中的某种“物质密度”——散度的体积分决定，即使外部也存在这种“物质密度”，不会对曲面通量产生贡献。换句话说，曲面的通量源于内部的源的贡献，与不属于曲面内的源无关。

如果把场线看作是流体速度场，你站在一个闭合曲面外面，从哪个曲面冒出流体，你自然认为这些流体都源于哪个曲面中的一些流体源；如果有流体进入这个曲面，你也会认为曲面内包含了一个流体源，不过它是负源，或者称作汇。

多年前某个冬日的下午，我忍着饥饿听高数老师讲高斯定理。好不容易熬到下课，饥肠辘辘的我冲进食堂，一个个可爱的肉包子映入我的眼帘。显然我强烈的感受到这种不断从包子内散发出的诱惑力，而它们那顶部呈现辐射状花纹更加暗示了它们的含肉量极大——散度！

我顿悟了。

从一颗香喷喷的包子里发出的诱惑力由包子里的肉量来决定，与包子外面的肉量无关。

2.10 拉普拉斯算子

散度是哈密顿算子与矢量点积，如果这个矢量是某个标量的梯度，那么就导致了梯度的散度，在直角坐标系中就是通常用 来代替 ，称之为拉普拉斯算子。它将一个标量函数 映射为另一个标量函数， 给出函数 的梯度的坐标变化率，为了叙述方便，我们称之为函数的Laplacian。

如果空间只有一维，Laplacian退化为二阶导数。也就是说，一元函数的二阶导数可看作是Laplacian的一个特例，这有助于理解Laplacian的意义。

对一元函数 来说，如果局部是线性的，那么梯度就是常数，而梯度的导数为零，也就是 ；如果是非线性的，局部有两种可能，凸或凹，而梯度——函数增大最快的方向，分别指向和背离该点，对应的 分别小于零和大于零，这一点也可借助函数的极值的规律获得。

而对二元函数 来说，如果它的局部是平面，当然就属于 的情况。这说明函数 所描述的场是均匀变化的。对多元函数来说，也是这样。

而对凹点或凸点，Laplacian取正或负，它源于场函数的梯度的散度为正或负。如下图所示，凹点附近，场线为向外射出的箭头——源；凸点附近，场线为向内射入的箭头——汇。

就拿电场来说把，若某点电势满足根据 ，得 ，空间在该处没有电荷。不过，这不代表电场是均匀的。

同样对电场来说，根据 ，可知

因此，电势函数的凸点附近有正电荷，而凹点附近有负电荷。这是显然的，当以无穷远处电势为零参考点，正电荷附近电势为正，负电荷附近电势为负嘛。

为了看清Laplacian的意义，下面我们来看一个点从凹点移到凸点过程中Laplacian变化。

当它位于凹点时，周围都比它高，它的Laplacian大于零；随着这个点移向凸点，周围出现比它还低的点，但比它高的点还占多数，这导致它的Laplacian减小；直到抵达某个平坦位置——确切的说是坡度恒定的位置，这个点周围比它低的点与比它高的点一样多，它的Laplacian变为零；然后逐渐的，它周围比它低的点逐渐占上风，Laplacian小于零；直到当它出现在凸点处时，周围所有点都比它低，Laplacian取负值。

可见，Laplacian可直观的被理解为场的平均变化率，即曲面上某点与附近各点连线的斜率的平均值。

当场函数往下凹时，则场的平均变化率为正，反之为负。对那些均匀变化的场，它将描绘一个平面——不是水平面，场函数的平均变化率为零。而若场在某点的平均变化率为零，则场在该点的值可用附近各点的平均值来代替。

Laplacian是图像处理领域重要的数学工具之一。

例如，它常被用来检测图像边缘。其基本原理是，当图像平滑的变化时，Laplacian接近0；而当图像强度明显变化的区域，Laplacian的绝对值较大。

再例如，它还被用于增强图像，调整图像亮度和颜色的过渡等。

拉普拉斯算子的应用非常广泛，但篇幅有限，就不再过多涉及了。

3. 什么是旋度？

旋度(curl)，常用符号 或 表示，定义为哈密顿算子与一个矢量函数的叉积，在直角坐标系中的表达式为

那么，怎样才能更直观的理解旋度呢？它又有什么具体的物理意义呢？

前方水流湍急，各位请系好救生衣，跟着我完成这次惊险的冲浪。

3.1 从曲线积分讲起

很多场合下，人们需要获得某个量沿着一条曲线的积累。

最简单的例子，为了得到一条曲线的长度，从起点开始，顺着曲线画出首尾连接的折线，如下图所示。

只要这些折线足够短，那么这些折线的长度之和就是曲线的近似长度，即 若要得到足够足够精确的长度值，每段 必须非常小，当它们趋于无穷小时，就得到准确的长度，此时上式就变成积分，即 再来看物理中做功的例子。设以物体质量为 ，与水平地面间的摩擦系数为 ，则摩擦力在物体发生 的位移时做功为 其中 ，即 的方向，代表积分的绕行方向，它沿曲线的切线方向行进，顺时针或逆时针，一旦选定， 的方向在整个积分路径上是连续的。换句话说， 不会在任何位置调转反向，例如下图就给出了一个逆时针的积分方向。

设做功路径为曲线 ，由于无限短的曲线与其弦长大小一致，因此 则做总功为 这些例子就是所谓的曲线积分，可统一表示为 表示某个量 对曲线的积累。对曲线的长度来说， 为常数1，积累得到长度；而对做摩擦力做功来说， 是力，积累得到所做功。

摩擦力做功有点特殊，对一般力来说，它的方向并不一定沿着轨迹的切线方向。既然只有沿着切线方向的分力做功，当用矢量 代替上式中的 时，只要将 也用 代替，即可保证依然得到做功的值，而好处是，我们可以将上述曲线积分写成矢量形式，即

很显然，只要将 记作 的切向分量，即 可回到标量形式的曲线积分。

由于有向线元 ，因此曲线积分也经常简写为

3.2 一种特殊的曲线积分：环量

人们习惯将闭合路径上的曲线积分称作环量。

例如，一个闭合线圈的质量就是它的线密度 所导致的环量，即 物理上最常见的例子是变力做功，在一个随坐标变化的力 作用下，质点沿闭合路径 运动，则做功就是力所导致的环量，即 对一个任意的环量，用来做曲线积分的 是一个任意的场函数，即 因此，环量是指场矢量沿曲线的积累，确切的说是场矢量沿切线的投影值与曲线微元的乘积的总和，用矢量的语言说就是场矢量与路径上逐点所对应的微分矢量的点乘之和！ 既然环量是两个矢量点乘然后积分，那么得到的总是一个标量。有人将环量理解为场矢量自身沿曲线积累所得，这是不对的，因为那将得到矢量。还有人将曲线自身的微元矢量积累看做环量，即 ，这也不对，这只是将全部的曲线微元矢量累加起来，结果恒为零！

最著名的环量来自电场强度和磁感应强度。学过大学物理的人知道，静电场对空间任意闭合回路积分都为零，而感生电场的场线本身是闭合的，所以它的环量可以不为零。磁场不分种类，都是闭合曲线描绘的，因此磁感应强度的环量可以不为零。

注意，很多人张口就来：“磁场的闭合回路积分不为零”，这是不确切的，磁场的环路积分到底是不是零，取决于你的积分路径。实际上，当你的积分路径中没有穿过任何电流时，积分当然等于零。

如果你问我，环量代表什么物理意义？这需要根据具体情况来说。例如当被积函数是某种物质的线密度时，环量就是物质的质量。当你将涡旋电场沿一个闭合路径积分时，你得到了一个电动势，因此感生电场的环量是电动势。

对一般情况，环量并不代表什么确切的含义。它就是场矢量在闭合路径上的一种空间积累！如果你想起功的定义——力对空间的积累，你大概可以将环量理解为某种广义的“力”对闭合路径所作的“功”。

3.3 环量背后的对应者

那么，为什么在数学上，环量是一个重要的东东呢？

如果你认为一个圆的周长是环量，周长增大当然会导致面积增大。所以，凭直觉可知，环量与其包围的空间内的其他量相关。例如，腰围是反映脂肪总量和脂肪分布的综合指标。

回想前面讲过的通量，根据高斯定理，通量必然与引起它的某种流体源的体积分对应。类似的，环量也有它的对应者。

一个最直观的例子，旋转的陀螺具有沿轴向的角动量，角动量与陀螺内部点的速度（速度场）之间形成一个右手螺旋关系。既然如此，速度场的环量必然与垂直于速度场所在平面的某个量之间存在一个等式关系。

另一个例子是如下图的一个漩涡喷泉的例子，从底部冒出的水绕中心在水平面内旋转，水面不断上升，水的速度导致的环量与上升的水面之间存在一个等量关系。

如果上面的例子只是让你隐隐的感觉是那么回事，即存在一个环量的对应量，那么下面两个例子就非常明确了。

第一个例子是，通电导线周围出现绕着它的环状磁场线，磁场与电流成右手螺旋关系。理论表明，磁感应强度的环量与电流之间只相差一个比例系数，而电流不就是电流密度所形成的通量吗？

第二个例子是，当空间中出现感生电场时，必然存在一个与该感生电场成螺旋关系的磁场时间变化率。显然，感生电场的环量必然与那个变化的磁场所引起的一个量之间具有等量关系。学过电磁学的人知道，这个由磁场导致的量就是磁场随时间变化率的通量。

看起来，环量似乎总是与一个通量有关？没错！环量的背后必然对应一个通量，确切的说就是以环为边界的曲面上的一个通量！

如果说，闭合曲面的通量对应它包围空间的体积分，那么闭合路径的环量对应它包围曲面的曲面积分。简言之，环量之于面积分，犹通量之于体积分也！

也许你对上面讲的这些还不太明白，没关系！你现在只要确信：环量的地位犹如通量一样重要，并且有一个潜在着用来替代它的东东存在，它应该是一个与环路关联的一个面积分。

下面先来看环量的一个重要性质。

3.4 环量的一个重要性质

还记得在散度部分，我们证明了这样一个结论：将任意形状的体积 分成若干个更小的体积 时，这些更小的体积的外表面的通量 之和等于整个体积 的外表面的通量 ，即

环量也有一个类似的性质。如下图，回路abcda的环量等于afgda和fbcgf的环量之和。

这很容易看出，中间那一条竖线在左右两个回路中的积分方向相反，因此贡献的积分互为相反数，彼此抵消。故得：

如果考虑更复杂一点的情况，这个结论也是成立的，如下图，4个回路的环量之和等于整个回路的环量。

推而广之，若将整个闭合回路分割成很多个小的区域，如下图，整个回路的环量可以看作是它内部包含的无数个小的回路的环量之和。

写出来就是 若将一个闭合回路包围的面无限细分为无限小的区域，上式中的求和就变成积分了，即 一个有限大小的闭合路径上的环量，可以看成是由无数个同方向的微元路径上的环量累加形成的。

想象你推着一个东西在地面转了一个圈，你不是做了功嘛！然而，你可能想不到的是，按照这种环量的累加思想，就在你转的那个大圈内，此刻正涌现出无数个小漩涡，你所作的功都来自这些小小的漩涡之中涌动的涟漪。

其实，这一条性质早就被法国物理学家安培发现了，他提出：天然磁性是基于内部的无数个分子环流同向排列而形成的。如下图，这些无数个分子环流合在一起，在磁铁的表面形成一个大的环电流——磁化电流。

与此相关的，安培还发现了以他的名字命名的“安培环路定理”，此乃后话，暂且不表。

3.5 旋度的定义

既然一个闭合路径对应的环量，可以看作是其包围的面内无数个小的环量的总和，那么自然而然的，你可能会想：将一个闭合路径的环量除以它包围的总面积，是不是就可以看作是单位面积上的平均环量呢？即

这就是单位面积上的平均环量。环量是一种描述物理量沿闭合路径的积累，那么这个平均值就代表单位面积的边界上拥有的平均积累。但很显然，这个平均值的意义不大，因为面上的环量的分布一般不是均匀的。

与前面讲“通量的源的强度”类似，既然平均值没啥意义，那就来研究一下任意点附近无限小的闭合路径的环量，虽然边界也是无限小，但面积也趋于零，所以它们的比值将是一个有限值，即

既然闭合曲面已经缩至其内部的一点，上面这个式子就给出了环量赋予空间的密度，由于除的是面积，所以是面密度。

看到这里，你可能已经发现了，这套路似曾相识，对啊！这模式与散度定义式(2.1)何其相似哦！

难道真的就要这样定义旋度了？

差不多，其实这的确可以看作是旋度定义的基本思想。

但是，比起散度，旋度的定义还有一点不同，它涉及方向，换句话说，它必须被定义为矢量，而不是标量！

为什么呢？

前面提到了，这个所谓的密度是面密度。然而空间任一点的面即使大小一样，也可以有不同的方向，在不同的方向上，这个密度自然有差别的！

上面算出的极限，只是沿着你指定的某个方向的平面上的环量密度，而不代表一般情况。

实际上，在前面有关通量概念中已经讲过，物理学中的面被定义为矢量，你用来求上面那个极限的面 在你心目中必定是有方向的！对一个确定的闭合路径来说，以它为边界的面积矢量约定为与积分绕行方向成右手螺旋关系，例如下面这个面积方向向上。

那么问题就来了，旋度就其本意，只应与某个点关联，但上面的极限表达式却将其局限于仅仅表示闭合路径 包围的面 上的环量密度！

所以，旋度本身是一个场矢量，只不过它沿着 单位矢量 的投影值是上面那个极限，按此理解， 的旋度如果用 表示，那么它应该满足

所以，旋度是一个矢量，它在你所关注的的积分回路的右手螺旋方向上的投影值，等于该回路包围的面积上的环量密度。

这就是旋度的定义！

是不是有点怪怪的？的确！有人怀疑这个定义不够把旋度确定下来，还有人认为上面那个 是不是应该乘在等号右边，当然不是，记住：旋度只由场矢量 决定，只与所在点的坐标有关！

至于旋度的表达式，还没来得及讲呢！下面就来了。

3.6 旋度的表达式

如下图，设矢量 分布于空间中，有个极小的长方体的中心位于点P处，现计算 对此长方体的六个面中可视的3个面 , 和 拼成的面 的边界 （图中用红线标出）上的环量。

根据上节证明的关于环量的性质， 面的边界 的环量等于所包含的三个分区的边界（设分别记为 ， 和 ）的环量之和，即

整个路径的环量应该可以因此而求得。

现在来计算 ，即图中平面 的边界的环量。

为了看的更清楚，画出从 轴向下俯视的 如下，它的四条边分别用a、b、c和d表示。下面依次对这四条边沿着箭头做积分。

a边的线积分为

由于我们考察的积分路径极小，因此上述结果约为 类似的，我们得到其他三边的线积分约为 因此环量 为 其中 考虑到面积 ，上式可写成 故得 的值为即 当 时上式取极限得 同理，如果分析上面长方体右侧面边界的环量，可得 而分析正前面的边界的环量，可得 根据上面关于旋度的定义，它在某个确定的积分回路的右手螺旋方向的投影值等于该回路面积上的环量密度的极限值，这说明 这说明在直角坐标系中， 的三个正交分量分别就是这三个环量密度的极限值，故得旋度的表达式为

熟悉矢量叉乘法则的人一眼看出，旋度正好是哈密顿算子与矢量场 的叉乘，即 如果利用行列式的运算规则，旋度可以记为

不过，这只是直角坐标系中的旋度的表达式，对于常用的球坐标系和柱坐标系，后面也给出一个简单的推导。

3.7 斯托克斯定理

前面提到的 的表达式，当 时，即为一个微元路径的环量同理可得 和 而既然 当 时，上式两边都是无穷小量，写成微分形式 所以 对此式在 包围的任意曲面积分，即得 上的环量。

如果用矢量表示面积，并规定它的方向与其边界上的积分方向成右手螺旋关系，那么上述 对应的矢量可以写成 因此环量可写为 而作为一个环量，它是相应的闭合路径上的曲线积分，即

因此得到等式 这就是数学中抬头不见低头见的斯托克斯定理， 它的二维形式也叫格林公式。

这个定理的冠名者是爱尔兰著名物理学家斯托克斯，但实际上他并不是这个定理的发现者。这事说来话长，这里就不谈了。不过可以确定的是，麦克斯韦1854年就是因为证明这个定理而获得剑桥大学的数学学位，并且神奇的是，他一生最伟大的贡献离不开这个神奇的定理，对此，本文后半部分将作简单介绍。

斯托克斯定理告诉我们：矢量场在任意闭合路径上的环量等于它的旋度在以相同路径为边界的任意曲面上的通量。

闭合回路积分往往比较复杂，而斯托克斯定理的一个重要作用是，这类积分可用一个面积分来替代，可能会令问题变得简单。

你看到了，前面说过的那个隐藏在环量背后的通量找到了，它就是矢量场的旋度在闭合路径包围的面上的通量！

3.8 柱坐标系和球坐标系中的旋度

这一节的套路与3.6节如出一辙，其实没什么值得好说的，考虑到完整性还是简略的讲一下，不感兴趣可以跳过。

先看柱坐标系的情况。

如下图，设矢量 分布于空间中，有个极小的体积元的中心位于点P处，现计算 对此体积元的3个分别用白色，黄色和蓝色标出的面 ,ΔSθ和 拼成的面 的边界 （图中用红线标出）上的环量。

与前面的方法类似，先计算 边界 的环量 。

为了看的更清楚，画出从 轴向下俯视的 如下，它的四条边分别用a、b、c和d表示。下面依次对这四条边沿着箭头做积分。

注意到a、b、c和d的长度分别为 这四边的线积分近似分别是 环量 近似为上述四个积分之和，则在 上的环量密度近似为 其中 当 和 都趋于零时即为

类似的分析可得 以及 按照旋度的定义，以上三个极限值分别等于旋度与对应的三个单位矢量 , 和 的乘积，即柱坐标系中旋度的三个分量！

而柱坐标系与直角坐标系一样也是正交系，因此得旋度表达式为

再看球坐标系中的情况。

考虑球坐标下的某体积元，如下图所示，三个平面可视表面分别标记为 , 和 ，它们构成被红线包围的曲面 。

只要按照前面类似的方法来分析，不难得到球坐标下的旋度的表达式。我觉得没必要重复讲。我相信，认真读了前面内容的读者应该也知道怎么做，如果我重复讲，可能说我啰嗦——当然我很高兴有人这么说，因为这说明他真的懂了！

看一本书时，若你觉得那本书有些地方反复的啰嗦讲类似的东西，那说明你已经深谙那背后的套路了！

所以，就直接给出球坐标系中的旋度表达式吧，你可以自己推导一下。

球坐标系中的旋度为

3.9 积分与路径无关的条件

曲线积分很多时候是令人头疼的一件事，因为你必须沿着给定的路径，从起点一直积分到终点。

那么，有没有简化的办法呢？

比如说，我们需要将某个积分沿着下面这个函数给出的路径（图中蓝线所示）进行，有没可能用沿着绿色或红色线的积分来替代呢？

这就是数学中的积分的路径的独立性问题，它回答曲线积分在什么条件下与路径无关的问题。

你可能会觉得我扯得有点远，明明在讲环量与散度，怎么会扯到这个问题上去？

其实，前面讲到的斯托克斯定理正好提供了回答这个问题的思路。

斯托克斯定理告诉我们，对单连通的域上的光滑的函数（这句话的意思后面讲），闭合路径积分等于它的旋度对路径包围的曲面的通量积分。 如果某个矢量场 的旋度为零，那么 对任意闭合路径的积分不都为零吗？

没错！

而一旦场函数对任意闭合路径积分都为零，则必然导致它的积分与路径无关！

这一点很容易理解，因为你总可以将一个不闭合的曲线的始末端用另一条任意曲线连接形成要给闭合路径，如下图所示， 曲线 与 构成闭合路径 。

若它的环量为零，则 意味着这两条曲线的曲线积分互为相反数，故 而 可任意选择，这样画出的路径也是任意的，这说明只要积分的始末位置相同，曲线积分就相同——积分与路径无关！而这是由 的旋度为零所导致的。因此场矢量函数的旋度为零将导致场函数的积分与路径无关。

当然，前面提过，由于斯托克斯定理是针对单连通的域上的光滑函数来说的，因此上述由旋度为零推得曲线积分与路径无关的结论并不是普遍的。

是不是觉得好抽象？其实很简单！

回到之前我们用的一张图，我们已经证明了，整个区域的边界上的环量等于内部包含的全部无限小的环量之和，而每个微元环量就是旋度乘以微元面积。既然内部各点旋度都为零，那么这些无限小的环量都为零，因此整个边界上的环量必然为零。

所以，重力和静电场力之所以不做功，就是因为，当它们推着质点划过空间形成一条闭合路径时，轨道包围的任何曲面没有激起一点旋动，自然就没有积累任何功了。

但上面这个结论依赖一个简单的前提，那就是你的闭合路径内部不能有孔洞，比如下图中左边这种域是可以的，而右边这种域就不满足要求。

其实道理很简单，域的内部，所有彼此靠近的微元环路在临近点处的环量是相互抵消的。但最靠近边界上的每个微元回路与域边界相切的点处的环量将保留下来，这些点连成一条线，其总环量刚好就是那个闭合的外边界的环量，这就是“整体环量等于内部所有环量之和”的由来。

如果现在中间冒出一些孔洞来，那完蛋了，因为那些孔洞的边界上也会有环量的积累，导致前面提到的那个”整体环量等于内部所有环量之和“的性质不再成立了！那么，斯托克斯定理也就不再成立了！

当然，你要问我，现实世界中的一个力场，是否存在这种孔洞？坦白讲，其实我也不知道，不知道黑洞算不算？知道的人一定要告诉我。

至于为什么要求是光滑的函数，其实就是要求函数可导，既然斯托克斯定理里面一堆求导，如果导数都没有，巧妇难为无米之炊啊！

如果你问“光滑”这个说法是咋来的，为什么用来表示可导，建议阅读本公号之前发的一篇文章“适合高中生和大一新生的通俗微积分：导数、微分、偏导和全微分”。

因此，严格来说，我们不能由旋度处处为零，得出任意闭合路径的积分为零的结论，除非场是由单连通的域上的光滑函数描述的。

但是，反过来的说法——"任意闭合路径的环量都为零，则旋度必为零"是普遍成立的。

在物理学中，某个力做功是否与路径无关，决定它是不是保守力。 换句话说，如果一个力是保守力，那么它必定在空间任意闭合路径都不做功。

那么，根据上面那个逆命题可知，保守力场的旋度必定处处为零。例如万有引力，静电场力都是保守力，所以它们的场都是无旋场。

关于保守力的问题，可阅读本公号之前发过一篇文章”什么是保守力“。

3.10 一些旋度的例子

看到旋度，大多数人马上想到诸如转动、漩涡和卷曲等，于是就认为凡是有旋度的地方，场必定都是弯曲的，代表 场的曲线必定都是闭合的曲线，是这样吗？

来举几个例子看看。

先来看一个可能已经反复出现在你的脑海中的例子，在水桶中旋转的水。很多人都想过，水的旋度必定与角速度有关，而且，角速度越大旋度必定也越大，这是一种直觉。

对不对呢？我们来看看。

假设水围绕某个中心在水平面内旋转，设角速度为 ，设零时刻水的角位置 为零，则任意时刻的角位置为 在直角坐标系中，水的位置为 假设水完全没有径向速度，因此上面的 与时间无关，求导得速度为 这就是水的速度场。

注意，什么叫场？就是坐标的函数嘛，有些力无法仅仅用坐标表示出来，例如洛伦兹力，所以不在讨论之列。

看看它的旋度，很简单 哦，看到了吧，角速度真的就负责提供了旋度，符合大多数人的直觉！

在流体速度分布的空间中，这种由旋度导致的东东叫涡度(vorticity)。本例中，它正好等于流体角速度的两倍。

如果你放一只带有转叶轮浆的小船到这个水中任意位置，小船的轮浆肯定会转动起来——注意，这里我不是说它随着水流走，它当然会，但它还会转动！不然怎么叫旋度呢？仔细看下面这个图，你会发现什么？

再看另一个例子，设水速分布为 这是一个速度大小随坐标变化，但方向却保持水平的水流，画出来大概是这样样子的。

绝对没有旋涡吧？看样子旋度似乎应该为零，然而按照旋度的表达式求得 涡度沿垂直纸面向外的方向，所以当放一只小叶轮在这水上，它会逆时针转起来，如下图所示。

虽然流体速度并无卷曲，但因为速度大小不是均匀分布，会导致一种转动力矩，导致叶轮转动。

从这个例子可以看出，即使场的分布方向是均匀一致的（例如上半部或者下半部区域），也就是说描绘场的场线是直线，但却依然产生了旋度！所以旋度并不总是被涡旋状的流体速度场所拥有，它还会深藏在表面看起来平直的速度场之下！就像平静的河水下隐藏的暗流，随时准备将你拽入那可怕的旋涡之中。

不过，风车的转动并非源自旋度。因为风是正对着吹来的，不会提供相应方向的旋度。所以风车转动与气流速度场的旋度关系不大。

再看一个例子，设有速度场为

这个速度场描绘出来是这个样子，看起来好像有一种涡旋的感觉吧？

然而根据旋度计算却得 是不是有点意外？

这个例子又告诉我们，场线即使是环形的，也不一定产生旋度。

总之，涡旋场与有旋场根本不是一回事。场自身场线的涡旋与场的旋度对应的漩涡也不是一回事，前者一般是明显的，广域的，而后者一般是隐藏的，并且是局域的。

3.11 电磁学中相关的例子

电磁学中有关旋度的最重要的定理是安培环路定理。它指出，真空中任意闭合回路上的磁场强度的积分，等于该回路中穿过的电流的代数和，即

如果电流是连续分布，就可以写成 其中 为传导电流的密度。这形式上实际就是斯托克斯定理，那么电流密度必然就是磁场强度的旋度，即 这就是安培环路定理的微分形式。它表明，空间有电流，必然有围绕它的磁场线；反过来，空间有磁感应线，必然有电流穿过它包围的面。

前面提到过，麦克斯韦曾证明了斯托克斯定理，他那开挂的学术人生中最伟大的两个工作，正好与这个定理有关。

第一个工作是发现感生电场。

根据法拉第电磁感应定律，穿过闭合回路的磁通量发生变化，就会导致回路中产生感应电动势，其大小等于磁通量的时间导数的负值，即 这里面包含了两种情况。一是导体切割磁力线，二是磁场本身发生变化。前者叫动生电动势，后者叫感生电动势。

对动生电动势来说，由于导体切割磁力线，其内部的带电粒子受到的洛伦兹力的一个分力做负功（请阅读本公号之前的文章：“安培力为什么可以做功？”） ，而另一个分力做正功，不断提供一个非静电力，形成电动势。

然而，对感生电动势来说，没有洛伦兹力了！无法解释电动势的来源，因为电动势必须依赖一个非静电力，即 动生电动势中， ，但对感生，这个 是什么？

麦克斯韦提出了感生电场的猜想，他认为磁场变化，会导致一种不需要电荷的电场，这就是感生电场，它的场线是闭合的，因此可以提供一个非零的闭合回路积分，它就是感生电动势。

他能提出这个猜想，得益于对斯托克斯定理的运用。下面讲一下。

当导体回路不发生任何运动变化时， 根据法拉第电磁感应定律，电动势等于 麦克斯韦灵光一闪，根据斯托克斯定理，一个量 在某非闭合曲面的通量积分总可以化成另一个量 在该曲面边界上的环量，且 所以，必然存在一个以前不知道的场 ，它满足 麦克斯韦认为这个有旋度的场也是电场的一种，它源于变化的磁场，不需要电荷来激发，它就是感生电场！

麦克斯韦的第二个工作是发现了位移电流。

根据安培环路定理，磁场强度对闭合路径的积分等于以此路径为边界的任意曲面上的电流密度的通量，即 它告诉我们，磁场强度沿着任意闭合路径的积分，一定等于它的旋度（这里是 ）对以该闭合路径为边界的任意曲面的通量。

我们现在知道，安培环路定理其实就是斯托克斯定理嘛。既然它是一个数学定理，它必定永远是对的，因为数学是建立在公理上的逻辑体系。

换句话说，安培环路定理是绝对不能出问题的！

然而，麦克斯韦发现， 当面对非稳恒电流电路时，安培环路定理却偏偏就出了问题！

典型的非稳恒电流出现在电容器充电和放电过程中。如下图所示，在电容器充电的短暂过程中，存在一个非稳恒的电流。

但电路在电容器极板间是断开的，这将导致一个严重问题。

设我们考虑某绕过导线的闭合路径，如下图所示中的C所标识的圆形，以它为边界的曲面可以任意选择，图中选择了C本身围住的圆平面 ，以及跨过电容器左极板的曲面 。

根据圆面 ，可知 但根据曲面 却又有 但作为磁场强度的环路积分，它的值应该是确定的！

怎么办？

麦克斯韦相信，安培环路定理必须成立，现在出了问题，那必然是因为有一部分电流之前没有被我们发现，但它的确存在！

那么，怎么把这部分电流找出来呢？

既然问题出现在极板之间，那么就从极板之间入手。

麦克斯韦通过分析发现，无论充电还是放电，每时每刻，电容器极板之间存在一个与电流大小和方向都同步的物理量。它就是电位移矢量 的通量 的时间导数，即 于是定义 称之为位移电流。

如果认为这部分就是之前没被发现的那部分电流的话，那么完整的电流现在是 全也就是说，极板间电路虽然断开了，但电位移通量的导数和电流之和一起，作为一个整体 全 ，时刻保证了电流的连续性。

回到前面的矛盾，现在知道了，按照斯托克斯定理的要求，当对闭合曲面计算电流密度的通量时，位移电流的密度也应该考虑，即 故完整的安培环路定理是 因此，通过“发现”这个新的电流成分，安培环路定理的危机解决了！

3.12 到底什么是旋度？

看到这小节标题，是不是有点错愕？难道还没搞清楚什么是旋度？

那就让我来再说一遍吧。

环量代表某个矢量场在一个闭合路径上的积累。而旋度是指：当闭合路径无限收缩到一点时，这个环量在该路径包围的面上形成的密度极限值。

呃，你马上意识到，密度不是矢量，而旋度是矢量！所以上述说法不对？

其实谁说密度就一定不能是矢量呢？

电流密度都了解吧？它不就是矢量吗？它的表达式是 但其实，它的原始定义是这样的 看起来是不是与旋度有点类似？只不过这里的 不是环量罢了。

如果联想到上面提到的安培环路定理，电流密度不正好就是磁场强度的旋度吗？因此上式其实可以写成 看吧，电流密度的确就是一个无限小面元上的环量密度，这个环量就是磁场强度的环量。所以电流密度完全符合旋度定义的要求。

所以，说旋度是“环量在曲面上的密度的极限值”是没有问题的！

问题在于，应该怎么理解它的方向呢？

若直接根据电流密度的表达式，你会发现，电流密度的方向是导体内部某点处带正电的载流子的漂移速度方向，但这个方向在一般情况下是未知的，除非有人给出了载流子的速度场。

同样，旋度的方向也是不能未经计算而事先判断的！

但当你根据旋度的表达式计算空间某点的旋度时，你所得的旋度必定是一个确定的矢量！当进一步考察位于该点的某个朝向的有向面元 时，那个确定的旋度矢量必定在这个面元上产生一个投影值，而它就是那个面元上的环量密度！

对位于空间同一点处的不同微元面，环量密度各不相同。而矢量投影得到的值不会比自身的模更大！因此，任意点处的旋度的模应该是该点处所有微元面上环量密度的最大值！

所以，什么是旋度呢？旋度是空间点上拥有环量面密度最大值的一个矢量！

打个比方，一只花卷，表面正上方处有最明显的卷曲，这个最大的卷曲程度就是花卷的旋度，它的方向朝上！

4. 麦克斯韦方程组中的散度和旋度

经典电动力学的基本规律是通过麦克斯韦方程组来描述的，若不考虑三个介质关系，共包含以下四个方程。

第一个方程描述电场的高斯定理。

它给出电场与电荷之间的关系。电荷是电场中静电场部分的源，对于感生电场来说，它是有旋的，它的场线是闭合的曲线，不对任何闭合曲面形成通量，是无源场。

按照高斯定理，场对闭合曲面的通量可以用它的散度对闭合曲面内的体积积分来代替，故有 这就是电场的高斯定理的微分形式。它表明，静电场是通过点电荷激发的，电荷密度是静电场的散度，而点电荷是静电场的源，静电场是有源场。

第二个方程描述电场的环路定理。 它给出电场的环量与磁场的变化之间的关系。 静电场是保守场，它是电势的负梯度，因此一定是没有旋度的，所以静电场的环路积分必定为零。但感生电场是由闭合的场线描绘的，它的旋度等于磁感应强度的时间变化率的负值。

根据斯托克斯定理，场对闭合路径的环量可以用它的旋度对闭合路径包围的曲面的通量来代替，故有 这就是电场的环路定理的微分形式。它表明感生电场是变化的磁场激发的，磁感应强度的时间变化率是感生电场的旋度，感生电场是有旋场。

第三个方程描述磁场的高斯定理。 这是麦克斯韦方程组中最简单的方程。它表明磁场是无源场，所以它对任意闭合曲面都不产生通量，因为磁场从来都不是从某个地方冒出来的，无论是传导电流、磁化电流还是位移电流激发的磁场，他们的场线都是闭合的曲线。

根据高斯定理，磁场的对任意闭合曲面的通量都为零，那说明磁场的散度为零，即 这就是磁场的高斯定理的微分形式。它表明磁感应强度没有散度，磁场没有源，是无源场。

最后一个方程描述磁场的安培环路定理。 它描述磁场强度与传导电流和位移电流的关系。传导电流和位移电流一起构成磁场强度的旋度。凡是有电流出现的地方，必有磁场的旋涡。

根据斯托克斯定理，磁场强度的旋度就是传导电流与位移电流之和，即 这就是磁场的安培环路定理的微分形式。 它表明磁场强度是传导电流和位移电流激发的，传导电流和位移电流一起构成磁场的旋度，磁场是有旋场。

四个积分形式的方程写在一起（订：第三式右边漏掉了=0）

四个微分形式的方程写在一起

end

让chatGPT解释相反数、倒数、麦克斯韦方程组的微积分形式

最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）

最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）

北京世界雕塑公园里的牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦

[中英双语]物理速成班-第37课-麦克斯韦方程组

何为梯度、散度和旋度 第一部分