【知识要点】要点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．

要点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；

③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．

要点三、加减消元法解二元一次方程组

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组

【例1】用代入法解方程组：

.

【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.

【答案与解析】

解：

将①代入②得：

③

去括号，移项，合并，系数化1得：

④

把④代入①得：

∴ 原方程组的解为：

【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.

举一反三：

【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.

【答案】3，﹣2.

【例2】用代入法解二元一次方程组：

【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x的系数为1，所以把方程②中的x用y来表示，再代入①中即可.

【答案与解析】

解：由②得x＝5-y ③

将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，

解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2

所以原方程组的解为

．

【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．

举一反三：

【变式1】与方程组

有完全相同的解的是（ ）

A．x+y－2=0

B．x+2y=0

C．(x+y－2)(x+2y)=0

D．

【答案】D

【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则 x= ， y= .

【答案】3,2

类型二、由解确定方程组中的相关量

【例3】方程组

的解

的值相等，则

的值是 .

【思路点拨】将

代入上式，可得

的值，再代入下面的方程可得

值.

【答案】1

【解析】

解：

将

代入②得

，再代入①得

.

【总结升华】一般地，先将k看作常数，解关于x，y的二元一次方程组再令x=m或y=m，得到关于m的方程，解方程即可．

举一反三：

【变式】若方程组

的解x与y相等，求k.

【答案】将

代入上式得

，再代入下式得

.

【例4】若方程组

的解为

，试求

的值.

【答案与解析】

解：将

代入得

，即

，

解得

.

【总结升华】将已知解代入原方程组得关于

的方程组，再解关于

方程组得

的值.

类型三、加减法解二元一次方程组

【例5】直接加减：(芜湖)解方程组

【思路点拨】注意到方程组中y的系数互为相反数，可将两个方程直接相加即可消元．

【答案与解析】

解：①+②，得6x＝18，解得x＝3．

将x＝3代入②，得4×3-3y＝11，解得

．

所以原方程组的解为

．

【总结升华】如果两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，可将两个方程直接相加或相减，即可消去这个未知数．

【例6】先变系数后加减：

【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使两个方程中x的系数相等，然后再相减消元．

【答案与解析】

解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．

将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．

所以原方程组的解为

．

【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．

举一反三：

【变式】解方程组：

【答案】

解： (1)×3：6x+15y=21 (3)

(2)×2：6x+4y=10 (4)

(3)－(4)：11y=11

y=1

代入(1)：2x+5=7

2x=2

x=1

∴

【例7】建立新方程组后巧加减：解方程组

【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组．

【答案与解析】

解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1． ③

②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5． ④

解由③、④组成的方程组

得原方程组的解为

【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解．

【例8】先化简再加减：解方程组

【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．

【答案与解析】

解：①×10，②×6，得

③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．

将y＝3代入③，解得x＝4．

所以原方程组的解为

【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．

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