素数的音乐：黎曼猜想

如果要求任何一位数学家提名数学中最重要的未解决问题，回答几乎肯定是“黎曼猜想”。这个困扰了人们一百多年的难题，是问某个特定方程的所有解是否有一种特殊的形式。

因此，答案肯定是“是”或“否”这两者之一。虽然这个问题隐藏在现代抽象数学那茂盛的森林中，它却是起源于几乎同数学一样古老的问题——素数的分布模式。

素数的概念就不多做介绍了。根据欧几里得的证明，我们知道素数是无穷无尽的，下面是他的证明的现代形式。

假设存在一个最大的素数，称为P。他把从2到P的所有素数相乘，

这样；N=2*3*5*7*…*P

我们看到N+1明显比P大，如果N+1不是素数它必然是素数的乘积。又因为N是P与之前所有素因子的乘积，所以N+1必然不能被任何素数整除，所以不存在最大的素数，即素数是无穷的。

黎曼猜想是什么？

这是它的一般表达式：ζ（z）=1/1^z+1/2^z+1/3^z+…

ζ函数读作zeta函数，它为什么跟素数有关呢？这还要从欧拉说起，看完它的来源也就明白了。

我们知道计算无穷和就是将每一项数相加直至无穷，而它们的结果也通常是难以计算的。但如果一个无穷级数有特别简单的结构时，我们就能找出它的求和公式。

例如，无穷和

S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/2^n，设X=1/2

代入上式得

S=1+X+X^2+X^3+X^4+…+X^n。我们容易发现当X大于零小于1时，这个几何级数具有有限的和。

然后把级数每一项都乘以X，得到

XS=X+X^2+X^3+X^4+…

两式相减：我们得到

S-XS=1，简单化简S=1/1-X。简单了解了无穷和，我们来看欧拉是如何发现ζ函数的。

了解了调合级数具有无穷大的和，欧拉思考“素数调和级数”，他想知道所有的素数的倒数相加是有限还是无穷的？

设所有素数倒数的和为H，所有正整数倒数的和为M，就有：

H=1+1/2+1/3+1/5+1/7+…

M=1+1/2+1/3+1/4+…

他将M式中每一项加上指数S（也在之后将此函数命名为ζ函数），然后得到

M=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…。他将M分解为两部分，第一部分是所有素数项，第二部分是所有非素数项，就像下面这样。

M=【1+1/2^s+1/3^s+1/5^s+…】+【1/4^s+1/6^s+1/8^s…】

容易发现当s大于等于1时，前一部分的和是无穷大，根据前面的例子建立的几何级数公式

1+x^2+x^3+…=1/1-x，其中X大于0小于1

所以当s大于1时我们设X=1/P^s，同前面一样，M也就是ζ（s）就可以写成：

ζ（s）=1+1/P^s+1/P^2s+1/P^3s+…=1/1-1/P^s

他发现上式的无穷和可以写成另一种表达式，将它改写为无穷乘积：

ζ（s）=1/1-1/2^s*1/1-1/3^s*1/1-1/5^s*…

其中右边的乘积是取所有形如1/1-1/P^s的项，其中P是素数。欧拉发现当他将这个无穷乘积写成单一的无穷和时，式中的每一项都取如下形式：

1/P1^k1s…Pn^kns。

这里P1到Pn是不同的素数，k1到kn是正整数，根据算术基本定理，每个正整数都能被表示成P1^k1…Pn^kn，所以这个无穷乘积恰好可以转化为无穷和1+1/2^s+1/3^s+1/5^s+…

欧拉将无穷乘积与素数联系了起来，可作为实数到实数到函数，它没有丰富的几何结构来进一步研究素数的分布模式。基于这种考虑，黎曼迈出了关键性的一步。

他用复数z代替实数s，使ζ（z）函数的值也变成复数。

根据素数定理，我们知道当x取较大的数时，素数的密度Dn被1/lnn所逼近，黎曼发现了密度函数Dn与方程ζ（z）=0的解有密切的关系。

他对函数ζ（z）的零点（方程的解）作出了大胆的猜测。他首先注意到-2，-4，-6…都是零点。也就是说，当z是复偶数时，ζ（z）=0。又接着证明了除了这些实数外，ζ（z）还有无穷多个复数零点。

他猜测，所有这些其他的零点都可以表示成z=1/2+ib的形式，其中b为实数，就是说这些所有复数零点的实部都是1/2。

黎曼证明了如果ζ（z）的所有复数零点都有实部等于1/2，则密度函数Dn与对数函数1/lnn（它是指数函数e^n的反函数）。曲线的差异程度以一种系统的随机方式变化。这意味着虽然无法准确地预测下一个素数会出现在哪里，但总的来说素数的分布模式还是非常有规律的。

黎曼猜想与万维网

对黎曼假设的证明会让来我们了解更多素数模式的信息，这些信息不仅对数学而言非常重要，对于现代生活的重要组成部分，即网络安全也有极大的影响。

我们每次在银行使用取款机或在互联网上进行商业交易时，都是依靠素数的数学理论来确保交易安全。下面作一解释。

如今的加密系统都是由两部分组成：一个加密程序和一个“密钥”。前者是一个计算机程序，后者通常是秘密选中的数字。加密程序对信息进行加密，使得加密的文档只有用密钥才能解开。现已发展了好几种加密方法，其中获得最多支持的是RSA系统，它是由三个发明者名字的首字母命名。

RSA系统本质上使用的解密密钥包含两个很大的素数（每个100位）由用户自己挑选。公开的加密密钥就是这两个素数的乘积。系统的安全性也依赖于这样的事实：至今还没有对大数快速进行因子分解的方法。当今最强大的计算机在几天内能分解的最大数不过100位左右。所以用两个100位素数的乘积，即一个200位的数作为密钥是非常安全的。

由于黎曼猜想告诉了我们如此多关于素数的信息，对这一猜想的证明很可能使因子分解方法有一个巨大突破，而并不在假设它成立，我们需要的是证明过程中发现的有关素数的新理论方法，所以它的含金量也远比一百万美元的大奖要高。

黎曼猜想成立吗？

通过计算机，数学家成功的证实了黎曼猜想对于ζ函数的前15亿个零点都成立。生活中能提供这种数据足以让许多人信服了，但数学不是这样。因为数是无穷的，因此也有大量可能性使不符合黎曼准则的零点存在。或许这样一个零点是存在的，只是它实在是太大了！大到任何计算机都无法处理。

不过大多数数学家相信黎曼的猜想是正确的。

1972年美国数学家蒙哥马利发现了一个公式，它描述了临界线（x=1/2）上ζ函数零点之间的间距。而后一位法国数学家写出了一组方程，这组方程规定了一个假设的量子系统，这个系统把所有素数都作为它的组成部分。

他还证明了这个系统有着对应于临界线上所有零点的能级。如果能证明除了这个能级对应的零点外没有其他零点，那他就证明了黎曼猜想。这也将是第一次用量子物理学的方法解决纯数学问题。