矢量分析(01)

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假如你热爱物理，那你一定不会对麦克斯韦感到陌生，他写出的方程组揭示出电磁相互作用的完美统一，以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。

那么接下来我们就将通过对于电动力学的探索来进入电和磁这个奇妙的世界。

笨笨要在这里先提醒一下各位阅读的小伙伴，作为电动力学专题的开篇内容，矢量分析显然是很重要但又很枯燥的，但是它将是我们揭示电磁世界的奥秘时所能用到的最棒的工具之一。

在本节内容中将不再对矢量的基本概念进行赘述。

矢量的基本运算

The basic operation of a vector

首先我们先简单的看一下矢量的运算规则。我们先给出一个三位正交坐标系中的三个矢量A、B、C：

我们可以简单的得到矢量点乘与叉乘的运算公式：

A·B=B·A=ABcosθ

AxB=-BxA；|AxB|=ABsinθ

此外，还有两个常用恒等式：

(1)A·(BxC)=B·(CxA)=C·(AxB)

(2)Ax(BxC)=B(A·C)-C(A·B)

对于(1)式，我们可以看到(BxC)所得到的向量，其的数值大小即代表以B、C为边的平行四边形的面积，其方向垂直与BC面，当这个向量与A点乘，Acosθ显然为该立方体BC面上的高，最后所得到的标量大小即为该立方体体积。对于B·(CxA)与C·(AxB)，我们也可用相同的思路证明其结果为该立方体体积，显然(1)式成立。

对于(2)式，我们进行简单的分析帮助记忆，(BxC)为垂直于BC面的向量，由于A也垂直于BC面，显然该向量与A所构成的平面与BC面垂直，当A与其叉乘，那么所得向量必然处于BC面，我们就可以用B、C两个向量将其表示出来。对于该式的证明过程如下：

梯度、散度、旋度

Gradient, Divergence, Rotation

在介绍梯度、散度、旋度之前，我们先引入一个小标志——∇，∇读作“del”或“nabla”，它是对场量作空间一阶偏导数运算的算符。

∇·∇=∇²，∇²是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符。

在直角坐标系中：

梯度：

那我们接下来来看看什么是梯度？梯度的本意是个矢量，既然是矢量那就是有方向的。一个函数在某一点的梯度所具有的方向便是该函数在该点变化率最大的方向，而变化率的大小恰好也是梯度的模（梯度的数值大小）。

我们假设有一标量场 φ(x)，则梯度记作：

gradφ=(∂φ/∂l) ·l

假如在三维空间中我们就有：

很显然，我们就有gradφ=∇φ

散度：

那么什么又是散度呢？散度简单讲就是指空间各点中矢量场发散的程度。由此我们可以得出，散度只有大小没有方向，若散度的取值为正则发散；若取值为负则汇聚。

举个例子，我们在空间中放入一个正点电荷，很显然，它所产生的电场是以它为源点向四周发散的，那么电场某一点的散度就表示该点发散的程度。假如我们画出电场线来表示电场，就不难发现，电场线越密集的地方就是散度越大的地方。在物理上，散度表示了场的有源性。

下面我们给出散度的定义：

当等式右边的ΔV不取极限时，分式表示的是矢量场f(x)在ΔV中单位体积的平均通量或平均发散量；当ΔV取极限时，便向一点收缩，若极限值存在，则称其为该点的散度，利用高斯定理，我们便能得到：

注意，当我们用nabla算符表示时，梯度和散度是不同的。梯度是∇f(x)，是矢量；散度是∇·f(x)，为标量。

旋度：

最后，我们来看看旋度是什么。设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小。一般说来，这两者的比值有一极限值，即记作单位面积平均环流的极限：

它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则，显然，旋度是一个矢量，是存在方向的。为此定义：

旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。当rot f(x)=0时，矢量场为无旋场。

举个例子，一根通电直导线所产生的磁场便是有旋场，我们可以来计算该磁场的旋度。而点电荷所产生的电场便是一个无旋场。

至此，梯度、散度、旋度都已经简单地介绍完成。也许有些小伙伴还有点迷糊，不过只要记住梯度的方向是变化最快的方向，梯度的大小是最大的变化率；散度我们靠点电荷来理解；旋度我们则靠通电直导线产生的磁场来理解。这样我们便会对电场与磁场有一个初步的熟悉，也会为我们之后进一步地深入探究铺平道路。

Next issue

下一期的电动力学专题我们还是得继续矢量分析的学习，我们将会掌握有关nabla算符的一些运算律以及常用公式，当然，这还是很枯燥的内容，但它会对我们之后的学习非常有用。

各位对电磁世界好奇的小伙伴，我们下期专题见啦，喜欢的话记得点一下关注呀！

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编 辑|笨笨

校 对|笨笨

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