自然数列中挖去合数的方法

为了得到数列中的素数，就要挖去数列中的全部合数。

挖去合数有各种各样的方法，

我使用的办法是“素因子试除法”

这种方法的原理是：素数在自然数中以自身数值等距离产生无穷的素因子合数。

下面就这一方法作简单介绍。

为方便起见我们只讨论尾数为1,3,7,9的自然数列，这些自然数是素数和合数的有机结合。

这些合数的素因子有3/7,11/13/17/19,23/2931/3741/43/47,51/53/57...Pi-1,Pi Pi+1,,,。

(一) 素因子Pi在数列中生成的第一个合数 iM0 以及在后面相关项中生成其它合数iMk 的规律。

1. 尾数为1的自然数列

Mn = 10 N+1 N=0，1，2，3 ,,, ∞

这些自然数是素数和合数的有机结合。这些合数的素因子有

3/7,11/13/17/19,23/2931/3741/43/47,51/53/57...Pi-1,Pi Pi+1,,,,

这些素因子可生成数列的全部合数。

为方便起见，素因子P3生成的合数标记为3M，对应的N值标记为3N，

素因子P7生成的合数标记为7M，对应的N值标记为7N,,, 素因子Pi

生成的合数标记为iM，对应的N值标记为iN,,,

1) 用试除法找到素因子Pi在数列中生成的第一个合数 iM0

下面列表给出用试除法找到的素因子3 /7 /11 /13 /17 /19...Pi

在数列中生成的第一个合数 iM0 =10iN0+1，以及生成第一个合数

iM0 时 N 的第一项数值 iN0：

iN0 = (iM0-1)÷10 ( iM0 去除尾数留下来的数值 )

生成第一个合数iM0时N的第一项数值 iN0

这是关键的第一步。因为用试除法找到第一个合数 iM0 以及 iN0 后，则素因子Pi在数列后面相关项中生成其它合数iMk时, iMk / iNk的数值遵守下面的规律

iNk=iN0+kPi k=0,1,2,3,,,∞

iMk=10iNk+1 i=3,7,11,13,17,19,,(素因子Pi的数字)

2) 下面列表给出iNk以及iMk的规律：

2. 尾数为3的自然数列

Mn = 10N + 3 N =0,1,2,3,,,∞

1) 素因子Pi在数列中生成的第一个合数iM0时，iM0/ iN0的规律：

iM0=10iN0+3

iN0=(iM0-3)÷10 (iM0 去除尾数留下来的数值)

生成第一个合数iM0时N的第一项数值 iN0

2) 素因子Pi 在iM0/ iN0后面相关项中生成其它合数iMk时,

iMk/ iNk的数值遵守下面的规律：

iNk=iN0+kPi k=0,1,2,3,,,∞

iMk=10iNk+3 i=3,7,11,13,17,19,,(素因子Pi的数字)

iMk/ iNk的数值规律

3. 尾数为7的自然数列

Mn = 10N + 7 N =0,1,2,3,,,∞

1) 素因子Pi在数列中生成的第一个合数iM0时，iM0/ iN0的规律：

iM0=10iN0+7

iN0=(iM0-7)÷10 (iM0 去除尾数留下来的数值)

iM0/ iN0的规律

2) 素因子Pi在iM0/ iN0后面相关项中生成其它合数iMk时,

iMk/ iNk的数值遵守下面的规律：

iNk=iN0+kPi k=0,1,2,3,,,∞

iMk=10iNk+7 i=3,7,11,13,17,19,,(素因子Pi的数字)

iMk/ iNk的数值规律

4. 尾数为9的自然数列

Mn = 10N + 9 N =0,1,2,3,,,∞

1) 素因子Pi在数列中生成的第一个合数iM0时，iM0/ iN0的规律：

iM0=10iN0+9

iN0=(iM0-9)÷10 (iM0 去除尾数留下来的数值)

iM0/ iN0的规律

2) 素因子Pi在iM0/ iN0后面相关项中生成其它合数iMk时,

iMk/ iNk的数值遵守下面的规律：

iNk=iN0+kPi k=1,2,3,,,∞

iMk=10iNk+9 i=3,7,11,13,17,19,,(素因子Pi的数字)

iMk/ iNk的数值规律

(二) 挖去素因子Pi生成的全部合数

1) 下面在尾数为1的数列中以素数P3/P7.../Pi为例来说明：

素数P3在第一个合数21后面的第三项生成第二个合数51，以后每隔3项再生成另外一个合数：

它们分别是81,111,141,171,201，，，一直到我们想要的最后一个合数为止。

素数P7在第一个合数91后面的第七项生成第二个合数161，以后每隔7项再生成另外

一个合数：

它们分别是231,301,371,441,511.. 一直到我们想要的最后一个合数为止。

素数Pi在第一个合数后面第Pi项生成第二个合数10(iN1+Pi),以后每隔

Pi项再生成下面另外一个合数：

它们分别是10（iN1+2Pi）, 10（iN1+3Pi）, 10（iN1+4Pi）,...一直到我们想要的最后一个合数为止。

用这种方法，从头到尾，从小到大，一个接一个地除去所有的素因子Pi的全部合数(有一些素因子合数可能重复)，我们就得到了数列中遗留下来的所有素数。

2) 素因子Pi在自然数列中生成合数 iMk时的 iNk：

iMk=10iNk+Xi iNk=iNk0+kPi Xi=1,3,7,9

素因子Pi在自然数列中生成合数 iMk时的 iNk

素因子Pi在自然数列中生成合数 iMk时的 iNk

3) 挖去以上这些素因子合数，我们就得到了数列中留下来的素数。

自然数1000以内素数列表如下：（166个不包含2,5）