前言

众所周知，算法题主要有两大难点，一是「实现」，即算法本身的难度；二是「思路」，即你能否想到使用这个算法来解决题目。

并且对于有一定刷题基础的同学来说，力扣上大部分简单、中等题所涉及的算法都是非常常见的算法，即算法本身不存在难度，最大的难点在于「思路」，即如何想到适合本题的算法。

而解决「思路」问题，除了大量刷题积累经验之外，还可以采用一定的「巧劲」，从时间复杂度这个角度入手筛选出合适的算法。而本文的主要目的就是向大家介绍这种「巧劲」是如何在具体解题过程中发挥作用的。

本文一共分成三个部分，具体内容框架如下所示：

​数据范围的隐含信息

如何确定一道题合适的时间复杂度？最简单、快捷的方式就是通过观察题目中的数据范围来确定。

不过你可能马上会反驳，力扣上并不是所有题目都有数据范围，那又该如何确定呢？

不要急噢，没有数据范围也是可以采用这种方式来思考的，我们会在「练习」部分进行详细说明。

言归正传，如何通过数据范围来确定合适的时间复杂度呢？

通常来说，在力扣上，Python 可以支持到 10^7 的时间复杂度；C++ 会稍微多一点，大概 10^7 - 10^8 之间。因此我们可以得到如下表所示的，数据范围与算法大致时间复杂度的对应表。

算法时间复杂度总结

通过数据范围得到时间复杂度后，我们需要对照下图筛选出适合的算法进行求解。

此处有两点需要注意：

1. 上图仅列出了时间复杂度较为固定的常见算法，而类似于动态规划、贪心、暴力等时间复杂度百变多样的算法并未列出。

2. O(logn) 的算法通常与 O(n) 的算法组合在一起，用于实现 O(nlogn) 要求的题目。

练习

在讲解具体题目之前，我们先明确一下根据时间复杂度做题的具体流程：

1. 根据数据范围选择时间复杂度

2. 根据时间复杂度选择对应的常见算法集合

3. 思考题目特征，从集合中选出合适的算法

4. 根据选出的算法求解题目

接下来我们从力扣「2020-04月 每日一题」中选取三道题用于该流程的练习。

力扣 1248. 统计「优美子数组」

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k。

如果某个连续子数组中恰好有 k 个奇数数字，我们就认为这个子数组是「优美子数组」。

请返回这个数组中「优美子数组」的数目。

示例 1:

输入：nums = [1,1,2,1,1], k = 3输出：2解释：包含 3 个奇数的子数组是 [1,1,2,1] 和 [1,2,1,1] 。

示例 2:

输入：nums = [2,4,6], k = 1输出：0解释：数列中不包含任何奇数，所以不存在优美子数组。

示例 3:

输入：nums = [2,2,2,1,2,2,1,2,2,2], k = 2输出：16

数据范围

1 <= nums.length <= 500001 <= nums[i] <= 10^51 <= k <= nums.length

解决过程数据范围 => 时间复杂度

本题的数据范围到达了 50000，因此我们将时间复杂度划定在 O(n) 的范围内。

时间复杂度 => 常见算法集合

根据上述「常见算法 & 时间复杂度」图，我们可以划定本题的算法集合。由于此题明显是数组上操作的问题，因此我们仅列出 O(n) 范围内关于数组的算法。

差分、前缀和、双指针、桶排序、单调栈、单调队列

思考题目特征 => 从集合中选出合适算法

仔细观察题干，可以发现本题有两大关键特征：

1. 连续子数组

2. 子数组内恰好有 k 个奇数数字

如果对「前缀和」算法有所掌握的话，凭借这两大特征不难确定此题可以用「前缀和」求解。

令 sum[i] 表示数组第 0 个数到第 i 个数中奇数的个数，因此区间 [l, r] 符合题意，当且仅当下式成立：

​由此我们可以令 mp[x] 表示有多少个节点 i 满足 sum[i] = x。然后从左向右枚举，当求得第 i 个点的 sum 值后，更新 mp[sum[i]] 数组，并计算有多少个 l 满足区间 [l, i] 符合题意。累加答案即可得到最终结果，具体实现可参看下述代码。

C++ 代码实现

class Solution {    vector<int> mp;public:    int numberOfSubarrays(vector<int>& nums, int k) {        int sum = 0, ans = 0, n = nums.size();        mp.resize(n + 2, 0);        mp[0] = 1;        for(auto y:nums){            if(y % 2) sum++;            mp[sum]++;            if(sum-k >= 0) ans += mp[sum-k];        }        return ans;    }};

力扣 面试题 08.11. 硬币

题目描述

硬币。给定数量不限的硬币，币值为 25 分、10 分、5 分和 1 分，编写代码计算 n 分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上 1000000007)

示例 1:

输入: n = 5输出：2解释: 有两种方式可以凑成总金额:5=55=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: n = 10输出：4解释: 有四种方式可以凑成总金额:10=1010=5+510=5+1+1+1+1+110=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

数据范围

​0 <= n (总金额) <= 1000000

解决过程数据范围 => 时间复杂度

​本题的数据范围到达了 1000000，因此我们将时间复杂度划定在 O(n) 的范围内。再仔细观察一下「常见算法 & 时间复杂度」图，可以发现由于只有 4 种面值的硬币，因此 O(nm) 的背包也是可行的。

时间复杂度 => 常见算法集合

根据时间复杂度与「常见算法 & 时间复杂度」图，我们可以划定本题的算法集合。由于此题明显与图论、字符串等算法无关，因此我们仅列出 O(n) 、O(nm) 范围内有一定可能性的算法。

差分、前缀和、双指针、桶排序、单调栈、单调队列、背包问题

思考题目特征 => 从集合中选出合适算法

仔细观察此题，可以发现如下几个特征：

1. 四类硬币

2. 每类硬币数量不限

3. 求组成 n 的方案数

如果对「动态规划」有一定熟悉度的话，基本可以确定此题就是「动态规划问题」，因此本题具有很明显的「子结构」性质。

然后再根据之前确定的时间复杂度 O(n)、O(nm)，以及我们选出的算法，基本可以确定该动态规划问题的状态，只有如下两种：

1. f[i] 表示用四种硬币组成 i 分的方案数，属于典型线性 DP

2. f[i][j] 表示用前 i 种硬币组成 j 分的方案数，属于背包问题

再仔细思考两种状态的转移方程，可以发现第二种采用背包思路的 DP 状态更适合解决本题，且由于硬币个数不限，因此是经典的「完全背包」问题。

所以我们可以直接列出如下的转移方程（coin[i] 表示第 i 类硬币的面值）：

f[i][j] = f[i-1][j]f[i][j] = f[i][j] + f[i][j-coin[i]]

可以发现，f[i][j] 的数值主要由 f[i - 1][j] 与 f[i][j - coin[j]] 得到，因此我们可以压缩掉第一维，即采用滚动数组的方法，得到如下方程：

f[j] = f[j] + f[j-coin[i]]

由于「完全背包」是背包问题中的经典模型，因此更具体的细节，大家可以参考下述代码。

C++ 代码实现

class Solution {    vector<int> f;    int coin[4] = {25, 10, 5, 1}, mod = 1e9+7;public:    int waysToChange(int n) {        f.resize(n + 2, 0);        f[0] = 1;        for(int i = 0; i < 4; i++)            for(int j = coin[i]; j <= n; j++)                f[j] = (f[j] + f[j-coin[i]]) % mod;        return f[n];    }};

力扣 56. 合并区间

题目描述

​给出一个区间的集合，请合并所有重叠的区间。

示例 1:

输入: [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]解释: 区间 [1,3] 和 [2,6] 重叠, 将它们合并为 [1,6].

示例 2:

输入: [[1,4],[4,5]]输出: [[1,5]]解释: 区间 [1,4] 和 [4,5] 可被视为重叠区间。

​解决过程数据范围 => 时间复杂度

现在我们来解决最开头提到的那个问题，「力扣上并不是所有题目都有数据范围，那又该如何确定呢？」。此题就属于没有数据范围的题目，并且在很多面试题中，也都是没有数据范围的，这时应该怎么办呢？

根据经验，对于此类没有数据范围的题目，我们通常需要自行从小到大枚举数据范围，一般从 O(n) 开始枚举，并且大部分的题枚举到 O(nlogn) 时就能找到合适的算法。

因此对于此题，我们暂且将时间复杂度限制在 O(n) - O(nlogn) 之间。

时间复杂度 => 常见算法集合

有了时间复杂度之后，我们就可以根据「常见算法 & 时间复杂度」图划定算法集合。由于此题明显与图、计算几何、字符串无关，因此我们可以大致确定如下的算法集合。

​差分、前缀和、双指针、桶排序、单调栈、单调队列、堆、ST 表、线段树、树状数组、排序

​思考题目特征 => 从集合中选出合适算法

仔细观察此题，可以发现本题题意很明确，就是合并重叠区间，那怎样的区间算重叠呢？

现有两个区间，分别为 [l1, r1]、[l2, r2]，假设 l1 <= l2，则当 l2 <= r1 时，两个区间发生重叠。

此时再根据上述选出的算法集合，一一排除、筛选，不难发现本题可用「排序」解决。即对于所有区间，按照左端点排序，然后从左到右枚举所有区间，对于区间 i 来说，l[i-1] <= l[i]，则我们只需判断 l[i] <= r[i-1] 是否成立。如果成立，则合并两个区间，否则不合并。

由此我们便可以通过「排序」算法解决此题，具体的代码细节如下所示。

C++ 代码实现

class Solution {    vector<vector<int>> ans;public:    vector<vector<int>> merge(vector<vector<int>>& intervals) {        sort(intervals.begin(), intervals.end());        for (auto y:intervals) {            int l = y[0], r = y[1];            if (!ans.size() || ans.back()[1] < l)                ans.push_back({l, r});            else                ans.back()[1] = max(ans.back()[1], r);        }        return ans;    }};

总结

​最后，我们来总结一下「数据范围」=> 「最终算法」的总体过程，如下图所示。

除此之外，还需注意，从「数据范围」入手思考「最终算法」只是获取题目思路的手段之一，并且在上述流程图中，「根据题目特征，筛选算法」是最为关键的步骤，这不仅要求做题者具有「挖掘题目特征」的能力，更要求做题者对于「常见算法」要有一定的熟悉度。

也正是因为这个原因，「常见算法 & 时间复杂度」对应图是具有个人特征的。每个人由于掌握的算法不同，「常见算法 & 时间复杂度」图也各不相同，因此希望大家能够有意识地构建属于自己的「常见算法 & 时间复杂度」图，并在刷题的过程中，不断更新，不断完善。力求能够在遇到自己掌握范围内的算法题时，一举击破。

最后的最后，祝大家刷题愉快，能力蹭蹭蹭往上涨。

ps：力扣六月「每日一题」打卡活动继续，希望大家在接下来的打卡活动中继续保持刷题好习惯，不断提升技术实力！

本文作者：Gene_Liu

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