引言

在永磁电机的设计过程中，尤其是内置式永磁电机，无数的人深受电机电感计算的困扰，对其概念、作用、计算原理、计算方法、测试方法等模糊困惑。电机的基本电磁参数主要包括电阻、磁链等，经由电磁耦合关系，又衍生了各种电感、力矩系数、电势系数等众多参数。

所有参数当中，难于准确计算和测量的参数公认的是磁链和各种电感参数，因为这两种参数直接受到结构尺寸、电磁耦合、材料非线性特性等的影响，在电机运行时随时间、空间变化。小编本人虽然学习电机很多年，也深受其困扰。

本文是小编的个人理解和总结，分享出来给大家，希望通过我们广大会员的共同努力把电感的问题清晰明确，也欢迎广大会员指出本文中的错误与不足之处，后续会进行版本更新。另外关于电机绕组自感和互感的基本物理概念及二者之间的关系等，请参考我们论坛技术团队队长标准答案与本小编合作的名家讲坛《同步电机的电抗参数及基于磁场仿真的数值计算方法》一文，本文不再赘述。本文旨在从电感、磁链、磁导率的定义及坐标变换成立的假设条件出发来说明电感的计算问题。

1.电感的定义

电感的物理学定义为：单个线圈通以电流会产生磁场（磁通），我们将单个线圈通电后产生磁通的能力称为该线圈的自感。即：

（1）

式中λ为磁链，I为电流。

但在电机中，由于存在非线性铁磁材料，有将电感参数区分为视在电感和增量电感的必要，因为增量电感参数是准确描述电机动态特性的关键参数。同时电感也是控制器设计需要的关键参数。根据法拉第电磁感应定律，线圈两端的反电势为

（2）

对于带铁心的螺线管而言，λ仅为i的函数，因此∂λ/∂i可以写成dλ/di，然而对于更一般的磁路，λ除了是电流i的函数之外还与磁路的组成有关，比如可能出现多个激磁线圈，或者多个铁心，因此λ是一个多变量而不是一个变量的函数，因此偏微分符号应该保留。如果磁路是线性的，则λ-i曲线便是一条直线，无论实际工作点位于何处，∂λ/∂i所得的值都为常数，即得到了物理学定义的电感式（1），此为视在电感。对于一般的磁路，由式（2）可知，电感的通用定义为：

（3）

由上式确定的电感，即所谓的增量电感，如图所示运行点O处，曲线λ-i上O的斜率即为O点的增量电感。显而易见，运行点的任何一点改变都需要重新计算L的值。而λ0/I0对于电机而言则为静止状态下的电感，可以称为静态电感或者视在电感，即电机三相电流为直流，转子静止状态下的电感。但是电机在实际运行时，三相电流激励以及转子位置均为变化的，所以动态电感才有意义。

图1 绕组铁心磁化特性及工作点示意图

根据上式的定义，我们即可以对以下三种情况进行分析：

1）.变压器：在正常工作时，电机的电流在时刻变化，但他不旋转，所以他磁路磁阻变化仅由电流引起，即磁链是电流的单一函数，所以增量电感公式可以变为dλ/di。假设工作电流较小时磁路工作在线性区，增量电感与视在电感相等，dλ/di是常数；但是当电流逐渐变大，磁路饱和，λ—i曲线拐弯，增量电感小于视在电感。

2）.表贴式永磁电机：我们假设他整个磁路磁阻不随转子位置变化，那么当电机运行过程中，每个位置的磁阻依然只跟电流有关系，增量电感公式仍然可以变为dλ/di。假设当电流比较小的时候，线性区域还是视在电感等于增量电感，但是当有的运行点电流比较大的时候，磁路饱和进入非线性区，dλ/di变小。

3）.IPM电机：此电机的定子绕组磁链由两个因素决定，一是转子位置变化引起磁路磁阻的变化，二是电流变化引起的磁阻变化，因此该类电机磁链是转子位置及电流的函数λ（θ，i（t）），增量电感的偏微分符号也应该保留。

2.冻结磁导率技术

式（3）已经明确了增量电感的定义，从此公式可以看出，两种途径可以求解增量电感，一种通过di/dt方法，一种是通过磁链λ进行求解。因此需要考虑如何准确计算饱和状态下的磁链。

如何考虑磁场饱和的影响是当前电机设计中一个亟待解决的重要问题。近年来提出的冻结磁导率技术越来越多地被应用到电机负载电磁性能和参数计算中。研究表明，冻结磁导率技术可以用来精确分离各种电机负载状态下的电磁分量，如磁场、磁链、电感、转矩、转矩波动、反电势和端电压、弱磁性能以及径向力等均可以用冻结磁导率技术预测，并用来辅助电机及其驱动控制系统的设计。

因此，冻结磁导率技术为高性能电机的研发提供了一个全新的方法。本文只用此技术进行磁链和电感的求解，其他方面不做阐述。下面我们从磁链的定义出发，解释一下冻结磁导率的必要性。

如果N匝线圈中通过的磁通均是φ的话，则磁链的定义为λ=NΦ。而垂直通过一个截面的磁力线总量称为该截面的磁通量。

（4）

一般电机或变压器铁心截面上的磁通密度（也叫磁感应强度）B是均匀分布的，且垂直于各截面，则Φ=BA。电流产生磁场，但电流在不同介质中产生的B是不同的，为了表征这种特性，将不同的磁介质用一个系数μ来考虑，μ称为介质磁导率，则B与μ的比值只与产生磁场的电流有关了，即B=μH。进而可以得出：

λ=NΦ=NBA=μNHA

（5）

铁磁材料的BH曲线如图2所示：

图2 铁磁材料的BH曲线

电机运行于负载点1时，铁心的磁导率为μall；当永磁体单独励磁产生磁链时电机运行于点2，铁心的磁导率为μPM；而当定子电枢电流单独励磁产生磁链时电机运行于点3，铁心的磁导率为μi。由图2可知，电机在负载点1时的磁通密度Ball=μall*Hall=μall*(HPM+Hi)=B(FP,PM)+B(FP,i)。可见Ball≠BPM+Bi，由此说明，电机负载点1的磁链不能线性的分解为2和3之和。即当电机负载磁路饱和时不能认为负载点的总磁链可以分解为永磁体单独励磁产生的磁链与定子电流单独励磁产生磁链两部分。

因此在磁路饱和影响的情况下，若想准确计算出磁链，根据磁链定义需要准确的磁导率。而冻结磁导率的方法，能考虑磁场真实情况的同时，又将非线性场线性化。同时请大家注意，磁导率的定义并不是BH曲线的斜率，而是每一个点的割线斜率，所以冻结磁导率，仅仅是冻结了λ-i曲线上的一个点而已，比如将运行点1处的磁导率冻结之后，即μall被冻结了，则λ/I变为常数。

3.电感的计算方法

电感的通用定义解释清楚后，下面说明一下电感的计算方法。一说到电机的电感，大家首先想到的就是电机的交直轴电感，论坛里面关于电机参数的计算问题，交直轴电感的计算永远排在榜首位置，这个热点问题从来不会因为时间的长短而过时。但换个角度思考，电机的交直轴电感是应用经典的电机学双反应理论分析方法转换而来的数学模型变量，并非实际存在的量，因此应该从实际的电机相绕组电感出发去，分析计算电感。

3.1有限元计算电机相绕组电感的计算方法

随着计算机数值计算技术的进步，采用有限元法（FEM）计算电机电感参数成为了准确计算各种电机非线性电感参数的主要手段。小编主要使用的软件是Ansys maxwell，此软件比较高的版本，比如19，瞬态场已经可以选择计算三相绕组的增量和视在电感，同时注意早期的版本计算的都是视在电感。小编并不认识此软件的编程人员，但是咨询了其他软件的算法人员，以及查找此软件的帮助文件，大体对其计算原理有所了解。

有限元软件计算电机电感的原理为：

1.对每一个位置冻结磁导率，则此时的磁链仅与电流有关。并且冻结之后可以方便求取每相绕组的自感和互感，否则由于三相绕组同时施加电流激励，对于每一相绕组来说，自感和互感磁通难以区分。

2.以A相绕组为例，仅对A相绕组施加一个电流i，然后A相绕组匝链的磁链除以此电流即为A相绕组的视在自感，B相绕组匝链的磁链除以此电流即为AB绕组的视在互感。

如果上述第二步变为给A相绕组一个Δi，求取绕组两次磁链之差Δλ，用磁链之差Δλ除以电流之差Δi即为增量电感。则A相绕组匝链的磁链Δλa除以此Δi即为A相绕组的增量自感，B相绕组匝链的磁链Δλb除以此Δi即为AB绕组的增量互感。此种方法的原理应该与磁场储能的能量摄动方法计算电感的结果相同。

但是在此处小编有个疑问，不知是否走入了一个误区之中。对于本文第一节中提出的IPM电机，如果冻结磁导率，则仅能对每一个转子位置进行冻结，然后在这个转子位置上给一个电流扰动求解增量电感，给电流扰动的过程中，如果转子依然静止，那么仅仅考虑的是当前磁路组成由于电流变化引起的磁阻变换，如何考虑两次转子位置变换引起的磁阻变化呢？小编对此比较困惑，一是不知自己的思路是否正确，二是如果正确不知有限元是否考虑了。此疑问希望在未来能得到解答。当前状态下还是以有限元计算的结果为准。

3.2理想电机的交直轴电感计算方法

电机理论中，所谓的交直轴电感、以及坐标变换和矩阵分析，是在做出很多假设的条件下才有的概念。具体可以参考交流电机动态分析等书籍，均有明确的解释。满足这些假设条件的电机称为“理想电机”。什么是理想电机？

1．磁路为线性，不计磁饱和、磁滞及涡流，因而可以利用叠加原理；

2．气隙磁场在空间按正弦分布，忽略磁场的高次谐波；

3．不计定、转子表面齿槽的影响，不考虑齿槽效应；

4．定子绕组为对称三相绕组，电机结构对直轴和交轴这两条轴线都是对称的。

理想电感的矩阵变换如下：

在ABC坐标系中，绕组的自感和互感都包含一个平均值，另外还包含空间2次谐波项。互感的平均值为负值，且其绝对值约为自感平均值的一半（不计漏感的条件下）。理想电机中，自感和互感空间2次谐波的系数在数值上相等，这样才能通过坐标变换实现dq0坐标系下电感矩阵的对角化，也就是解耦且不时变，否则，即使做了Park变换和Clarke变换，电感矩阵仍然是耦合的（dq轴之间可以解耦，但与0轴不解耦），也是随转子位置改变而时变的。

最后一个重要问题，就是自感和互感2次谐波项的系数Ls2和Ms2，其实这两个系数也有正负之分，在普通同步电机中，直轴磁阻小，系数为正，而在IPM永磁同步电机中，直轴磁阻大，系数也可为负！

由此可见，对于表面式永磁同步电机而言，直接将自感平均值加上互感平均值（绝对值），就是交轴电感，也是直轴电感，完全用不着作2次矩阵乘法运算，因为此时空间2次谐波的系数Ls2和Ms2应该为零，也就是自感和互感为恒定值，此时，上述交直轴电感的数值应该很接近自感平均值的1.5倍！

而对于IPM永磁同步电机，假设有很强的凸极效应，则也用不着进行2次矩阵乘法运算，而是A相绕组与直轴对齐计算其自感最大值（Lmax），然后A相绕组轴线与交轴对齐，计算其自感最小值（Lmin），则两次计算得到的电感取平均值就是Ls0=0.5*（Lmax+Lmin），而两值之差的一半就是2次谐波的幅值Ls2=0.5*（Lmax-Lmin），然后根据公式直接得到交直轴电感的数值。（也可计算互感平均值及2次谐波的系数，2个计算位置考察BC相的互感即可）。

需要说明的是只有理想电机，其电感表达式才仅包含常数项和空间2次谐波项，因此才可以通过坐标变换进行解耦，使得时变的电感矩阵定常化！但是在有限元分析中，恰恰是迄今为止最不需要什么强制假设条件的数学模型，既考虑饱和，也容许非正弦，换句话说，有限元电机是“最不理想电机”，也是最实际电机。那么就需要思考：考虑饱和、凸极效应等情况下双反应理论是否还成立？

是否还可以用坐标变换这种方法计算得到交直轴电感？这点在传统理论分析中还未见分析，目前也很少见到这方面的文献。因此用有限元方法来求解考虑饱和时的交直轴电感，还是值得商榷的！

3.3饱和程度较小或空载情况下的交直轴电感计算

4.论坛中常见的计算方法解析

图3 空载和额定负载时的磁链波形

图4 Id0控制时的相量图