0 引言

三维集成技术主要利用芯片之间的硅通孔(Through Silicon Via，TSV)垂直互连来实现立体堆叠芯片间的互连，以降低互连延迟、提高电路性能，从而使集成电路和系统集成度不断提升的发展趋势得以延续[1-3]，成为拓展摩尔定律并实现微系统集成的主要方式[4-5]。

随着三维集成技术的发展，芯片叠层内的TSV数量越来越多，邻近效应对TSV电阻的影响越来越大，进而使TSV上的信号衰减变大，影响系统性能。因此，对TSV导体阵列交流电阻的分析成为三维集成电互连设计与分析技术领域的重要课题。

国内外学者对邻近效应下导体交流电阻进行了研究。FILIPOVIC D等对带有屏蔽层的三相线间的邻近效应进行了研究[6]，利用级数展开法和点匹配法计算了三相线的交直流电阻比以及屏蔽层的功率损耗。赵文生等利用部分元等效电路法对高密度硅通孔阵列的交流电阻进行了求解，得到硅通孔阵列的阻抗矩阵[7]。

本文提出了一种计算TSV阵列交流电阻的方法，该方法在对TSV横截面剖分和确定剖分节点电流强度的基础上，利用三角单元插值来计算TSV的交流功耗，通过交直流功耗比计算TSV的交直流电阻比，进而得出邻近效应下TSV的交流电阻。该方法可以实现对任意规模、任意排布方式、不同电流频率及电流强度激励下的TSV阵列的交流电阻的计算。利用MATLAB编程对算法进行仿真，并将数值结果与商用求解器ANSYS Q3D的结果进行对比，实验结果表明，该算法的结果是可信的，且算法性能较好。

1 电流分布的计算及图形剖分介绍

计算TSV导体阵列电流分布示意图如图1所示。

图1中，M为待求电流强度的点，O点为TSV圆心，P点为待求电流分布的TSV内任意一点。假定阵列中TSV的间距足够大，所以外部TSV的电流分布对目标TSV电流分布的影响，可以等效为其中心处总电流对目标TSV电流分布的影响，则TSV内部的电流分布为[8]：

式中其中σ为TSV的电导率，f为电流的频率，μ0为真空磁导率；Ik、rwk、Sk、rk分别为编号为k的TSV的总电流大小、导体半径、横截面面积、待求点到圆心的距离；Jn(x)为n阶贝塞尔函数；j代表复数的虚部；θ为待求点相对水平方向的夹角；为TSV中心连线与水平方向的夹角。

TSV横截面的三角剖分单元采用网格剖分工具DistMesh[9]生成，DistMesh剖分后返回三角单元的顶点连接关系及顶点的坐标信息。对TSV横截面采用均匀剖分的结果如图2所示。

2 交流电阻的计算

邻近效应可以导致TSV电阻的增长，从而增加其功率损耗。电阻的增长可以通过交直流电阻比来衡量，如式(2)所示：

其中r为TSV半径，S为积分区域，i(x，y)为TSV的电流密度分布。从式(2)的形式可以看出交直流电阻比即交直流功耗比，与电流分布相关。由于对电流强度i(x，y)直接做积分运算比较困难，因此，将计算区域进行离散，分别计算每个剖分单元的值，然后将所有单元的值求和进而得到分子、分母积分表达式的近似值，如式(3)所示：

式中n为三角单元的个数，SΔk为第k个三角单元的积分区域，单元内部的电流强度分布利用插值法计算。

以图3所示的三角单元为例，设A、B、C三点的电流强度分别为iA、iB、iC，则P点的电流强度值为[10]：

由于面积表达式中包含绝对值符号，因此对上述积分表达式进行处理，推导其可积的变换形式。以三角单元ΔPAB为例，其三个顶点构成的行列式为二元初等函数为：

上式在定义域R内处处可微，且SΔPAB的值大于0。假设上式值的符号在ΔABC中有变化，根据处处可微可知，在ΔABC内部存在一点P使得SΔPAB的值为0，这与SΔPAB>0相悖，因此式(10)在ΔABC内部符号不变，有如下积分关系：

对ΔABC内动点P做积分运算时需对单元进行区域划分，取顶点中x坐标值为中间值的顶点为起始点，做与水平方向垂直的线段，线段将三角单元划分为左右两个积分区域，如图4所示。

三角单元中边AB、AC、BC在平面直角坐标系中表达式分别为：

因此有：

当所有积分项的值确定后，即可得到TSV的交直流功耗比，进而得出其交直流电阻比，已知TSV的直流电阻为：

3 算法的实现

利用MATLAB编程实现了计算导体的交直流电阻比的算法。

计算TSV阵列交直流电阻比的算法伪代码如下：

这里假设所有的输入参数都是合法的，输入参数中R为TSV半径的集合，I为TSV的激励电流大小的集合，f为激励电流的频率，O(x，y)为TSV中心坐标的集合。输出参数Ratio为交直流电阻比集合。代码中第(3)步为对TSV横截面的三角剖分，剖分完毕后返回顶点坐标矩阵q和顶点编号矩阵t，q中每一行记录了顶点的横坐标x和纵坐标y，t中每一行记录了三角单元的顶点序号，该序号与q中的行号一一对应。

4 实验结果分析

本节针对均匀排布的TSV阵列的交流电阻进行分析，在同频同相的激励电流下，分别给出了趋肤效应下的交直流电阻比及趋肤效应和邻近效应共同影响下的交直流电阻比，并对不同位置的TSV的交直流电阻比之间的差异进行了分析，阵列模型示意图如图5所示。

阵列的基本参数为：导体半径15 μm，金属材料为铜，电流大小0.01 mA，电流频率1 GHz。

首先设定阵列的间距为100 μm，利用上一节推导的结果，计算阵列交直流电阻比，结果如图6所示。

图6(a)为考虑趋肤效应和邻近效应下的交直流电阻比，图中横轴下的数字代表TSV的编号。

图6(b)为只考虑趋肤效应时的交直流电阻比，由于是均匀阵列，因此趋肤效应下的电阻比相同；但在考虑邻近效应时，由于不同位置的导体受到总的影响不同，因此交直流电阻比值不同。从图6中可以看出，图6(a)中间导体的电阻比值与图6(b)中的相当，这是因为由于导体阵列的对称性，中间导体所受邻近效应的影响互相抵消；而处在边角处的1、3、7、9号导体受到邻近效应相叠加，其影响相对显著，电流分布集中在外侧的角落中，所以交直流电阻比是阵列中最高的。

现将TSV的间距缩小为50 μm，以观察交直流电阻比的变化，结果如图7所示。

图7(a)为考虑趋肤效应和邻近效应下的交直流电阻比，图7(b)为只考虑趋肤效应时的交直流电阻比。从图中可以看出，由于间距的缩小，邻近效应更加显著，阵列四角处导体的交直流电阻比增大。然而趋肤效应不受间距的影响。图7(a)中，由于导体阵列的对称性，中央的导体所受到的邻近效应相互抵消，因此其交直流电阻比基本没有上升，而其余导体的交直流电阻比值有所增加。

5 算法有效性的验证

本节以邻近的两个TSV为例，将本文算法的解和有限元法商用电磁场求解软件ANSYS Q3D的仿真结果进行对比，来验证算法求解的可信性。

图8给出了不同频率下交直流电阻比值的对比。求解参数为：TSV半径15 μm，TSV间距100 μm，TSV高度200 μm，电流激励0.01 mA，电流频率1 GHz~5 GHz，TSV金属材料为铜。图中结果误差小于3%，曲线基本拟合。

图9给出了不同TSV间距下交直流电阻比值的对比。求解参数为：TSV半径15 μm，TSV高度200 μm，TSV间距100 μm~200 μm，电流激励0.01 mA，电流频率1 GHz，TSV金属材料为铜。图中结果误差小于4%，曲线走势基本相同。

误差的主要来源为本文采用插值法计算TSV的功耗，功耗为一近似值，而TSV的交直流电阻比由交直流功耗比计算得出，因此结果存在一定的偏差。

6 求解时间及内存使用情况对比

为检验算法的求解效率及资源消耗情况，将本文算法的求解时间和内存使用情况与ANSYS Q3D进行对比。求解参数为：TSV半径15 μm，TSV间距100 μm，电流激励0.01 mA，电流频率1 GHz，TSV金属材料为铜， ANSYS Q3D中TSV高度200 μm。求解时间对比见表1。

从对比结果来看，本文算法的求解效率较高于商业求解器ANSYS Q3D。

求解时内存使用情况对比见表2。

对比结果表明，本文算法的内存使用量远远小于商用求解器ANSYS Q3D的结果。这主要是因为本文算法是在二维平面内进行求解，且只需计算并存储剖分单元顶点处的电流强度，内存空间的消耗比较小。

7 结束语

本文提出了一种基于重心插值法计算TSV阵列交流电阻的方法，推导出了三角单元交流功耗计算表达式，从而将交直流电阻比表达式中的积分运算简化为代数运算，进而使TSV交流电阻的计算成为可能。利用该方法研究了邻近效应对TSV阵列交流电阻的影响，实验结果表明，在同频同相的激励电流下，阵列边缘处的TSV交流电阻最大。基于代表性算例，将本文算法的结果与商用软件的分析结果对比，二者结果的误差在5%内，证明算法求解结果是可信的。最后，将本文算法的求解时间和内存使用情况与商用求解器进行了对比，结果表明本文算法的性能优于商用求解器。基于该算法，可构建三维系统级封装设计平台中的设计快速验证专用模块。

参考文献

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[10] KAI H.Barycentric interpolation[M].NewYork：Springer International publishing，2014.

作者信息:

赵景龙，缪 旻

（北京信息科技大学 信息微系统研究所，北京100101）