1、自变量趋向有限值时函数极限定义

对于一个函数f(x)

all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε

就称lim(x->a)f(x)=A

也就是说，对于任意小的一个数ε，都会存在一个范围，这个范围就是a的δ去心邻域，也就是0<|x-a|<δ，这个范围里面多有函数值和A之间的“误差”都小于A，就称A是x趋向于a的极限

2、性质

（1）唯一性

（反证法）可以参考前面数列极限的证明方法

（2）局部有界：lim(x->a)f(x)=A, 则exist δ>0 M>0, 当0<|x-a|<δ 时，|f(x)|<=M

这个相比较数列极限全部有界来说证明方法较简单

由函数极限定义可知在0<|x-a|<δ这个范围内f(x)与极限A的“误差”不超过ε，所以当M=max{|A+ε|,|A-ε|}时，|f(x)|<M (0<|x-a|<δ)

（3）保号性：如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常数δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>0，反之也成立。

证(A>0时)：

∵lim(x->a)f(x)=A

取ε=A/2>0 (ε可以任意取，越小越好)

exist δ>0

当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε

即|f(x)-A|<A/2

可得f(x)>A/2>0

即证在0<|x-a|<δ这个范围内，f(x)都是大于0的。

3、Notes

（1）x->a并不是x=a

（2）x->a包括x->(a+0),x->(a-0)

（3）lim(x->a)f(x)与f(a)无关！！！

（4）lim(x->a)存在的充分必要条件是 f(a-0),f(a+0)存在且相等

4、自变量趋向于无穷大函数极限

（1|正无穷）If all ε>0, exist X>0, 当x>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->+∞)f(x)=A

（2|负无穷）If all ε>0, exist X>0, 当x<-X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->-∞)f(x)=A

（3|无穷）If all ε>0, exist X>0, 当|x|>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->∞)f(x)=A

5、例题

例1：lim(x->2)(3x+1)=7

all ε>0 |(3x+1)-7|=3|x-2|<ε <=> |x-2|<ε/3

exist δ=ε/3

当 0<|x-2|<δ时, |(3x+1)-7|<ε

∴lim(x->2)(3x+1)=7

例2：lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

all ε>0 |(2x^2-x-1)/(x+1)-3|=2|x-1|<ε <=> |x-1|<ε/2

exist δ=ε/2

当 0<|x-1|<δ时, |(2x^2-x-1)/(x+1)-3|<ε

∴lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

例3：lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2

all ε>0 |(2x^2)/(x^2)-2|=1/(x^2)<ε <=> |x|>1/(√ε)

exist X=1/(√ε) (ps：前面对于趋向无穷时定义就是用X表示的)

当|x|>X时 |(2x^2)/(x^2)-2|<ε（无穷情况是|x|>X,正无穷情况是x>X,负无穷情况是x<-X）

∴lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2