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北湖实验人可老师

九上：求格点图形中角的正弦的通法

原

题

再

现

如图：格点三角形ABD，求 sinA

考

察

知

识

本题是要构建直角三角形，在RT△中利用三角函数求解，

通用方法是利用等积法求解（当然用正弦面积公式最快）

可以延伸到先求sinA,再由三角函数的定义求cosA,tanA.

解

题

思

路

方法1：巧解法

构建直角三角形

在RT△ABC中

sinA＝BC/CA

=√2/2√5

=√10/10

解

题

思

路

方法2：等积法

构建直角三角形

S△ABC=1+9/2-1=9/2(皮克公式）

S△ABC=1/2×AB×CD

=1/2×3√2×CD

CD＝3√2/2

在RT△ADC中

sinA＝DC/AD

=（3√2/2）/（3√5）

=√10/10

解

题

思

路

方法3：通用法

正弦面积公式法

S△ABC=1+9/2-1=9/2(皮克公式）

S△ABC=1/2×AD×AB×sinA

所以：9/2=1/2×6√5×3√2×sinA

sinA＝√10/10

思

路

延

伸

如图：格点三角形ABD，

求 cosA或者求tanA

同上求得：sinA＝√10/10

重新构建直角三角形

再利用三角函数的定义可求

sinA＝√10/10

cosA＝3√10/10

tanA＝1/3