前言:
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1、如图,AB、CD为圆O的两条直径,AB=12,且∠AOD=120°,点P为AD弧上一点(不与A、D重合),过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求∠EPF的度数.
(2)点P运动过程中,△OEF中是否有长度不变的边?若有,求出其长度;若没有,请说明理由.
解:(1)根据四边形的内角和易得∠EPF=60°.
(2)分别延长PE、PF交圆于点M、N,连接OM、ON、MN.如图:
由垂径定理可知,PE=EM,PF=FM,
所以EF是△PMN的中位线,
所以EF=1/2MN.
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得,
∠MON=2∠EPF=120°.
在△OMN中,MN=√3OM=6√3,
所以EF=1/2MN=3√3.
2、如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是AB弧上一个动点(不与点A、B重合),且OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为点D、E..在△DOE中是否存在长度保持的边?如果存在,请指出并求其长度;若不存在,请说明理由.
解:连接AB.由垂径定理易得,CD=DB,CE=EA,
所以DE是△CAB的中位线,
所以DE=1/2AB.
在Rt△AOB中,AB=2√2,
所以DE=1/2AB=√2.
二、圆中的最值
3、如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=75°,AC=6.点D是AB边上一个动点,以CD为直径作圆O,分别与AC,BC边交于点F,G.求线段FG的最小值.
解:在△ABC中,∠A=45°,∠B=75°.
所以∠ACB=60°.
连接OF,OG.
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得,
∠GOF=2∠ACB=120°,
所以△GOF是顶角为120°的等腰三角形.
所以GF=√3OF.
要使GF有最小值,只需OF有最小值.
而OF=1/2CD,所以当CD取最小值时GF有最小值.
根据垂线段最短易知
当CD⊥AB时,CD有最小值.
此时CD=√2/2AC=3√2. OF=1/2CD=3√2/2.
FG=√3OF=3√6/2.
反思:在解决动点问题时,要善于抓住运动过程中的不变量.比如本题中虽然点D的运动引起点O、F、G的位置不断变化,而且圆的半径也随之而变化,但只要牢牢抓住∠FOG=2∠ACB=120°这一不变量,问题的脉络就开始清晰起来.
4、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=6,BC=8.点D、E分别是BA,BC边上的动点,且DE=6。以DE为直径作圆O,交AC边于点G,H。求线段GH的最大值。
由题可知,虽然题中圆的位置不断变化,但是圆的半径始终不变。线段GH是圆O的一条弦,要使GH有最大值,只需GH的弦心距(即圆心O到GH的距离)最小即可。由此,问题的关键转化为求圆心O到AC边距离的最小值。因为AC的位置固定,所以确定圆心O的轨迹就成为解决本题的关键(再次转化)。由题可知点O是DE的中点,且∠DBE=90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得BO=1/2DE=3.所以点O在以B为圆心,3为半径的圆上(确切地说,在以B为圆心,3为半径的1/4圆上)。如图:
如图,过点O作OF⊥AC于点F,过点B作BK⊥AC于点K,连接OB,BF.
则OB+OF>=BF>=BK.(当点F与点K重合时取等号)
易知BK=24/5,所以OF>=BK-OB=24/5-3=9/5.
连接OG,如下图:
在Rt△OGF中,OG=3,OF=9/5,
所以GF=12/5.
根据垂径定理可得,
GH=2GF=24/5
所以GH的最大值为24/5.
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