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星系功率谱是宇宙大尺度结构定量化的基本统计量, 它不仅给出了结构形成中基本物理过程的特征空间尺度, 同时也包含着主导宇宙动力学演化的暗物质的物理特性, 以及宇宙中各种物质成分相对含量等重要信息. 正因为如此, 如何精确地测量星系的功率谱是宇宙大尺度结构研究中一重要课题。

标准的功率谱分析方法是把宇宙密度场按离散的平面波模式进行Fourier分解. 但这种方法的严重缺陷是, Fourier变换是平面波展开, 对非周期场, 它的基函数在一个有限体积内并不是正交的, 因而使得该变换在任何有限频段上的信息都不足以给出物理场的高空间分辨率分析。

此外, 对实际巡天样本, 还有下述因素使问题更复杂化: (ⅰ) 如何对不同样本区域的星系赋予最理想的权重; (ⅱ) 宇宙平均密度的不确定性, 使我们探测非常大的尺度上的密度涨落受到限制; (ⅲ) 密度扰动场在非线性区域的非Gauss特征造成的功率谱分析中的信息损失; (ⅳ) 如何合理地引入红移畸变效应。

此外, Fourier模的最优个数, 单一模功率谱的几率分布的不确定性, 以及功率谱估计的协变矩阵的计算可行性也是传统方法不可避免的困难。

基于K-L变换的像素化方法就是针对上述困难而提出的, 按照这种方法, 赋予观测数据最佳权重的空间函数的完备基是由星系密度涨落的相关矩阵的本征矢量构造的. 这样做可以不需要特别考虑与样本空间几何有关的窗口函数, 并可以得到具有最大信噪比的功率谱估计. 但K-L变换对大数据样本的处理受到计算可行性的限制。

另一种可能的途径是采用基于离散小波变换的多分辨分析。由于小波基函数的正交完备及紧支撑特性, 多分辨分析为任何物理场提供一局域化的多尺度分解。

正因为DWT具有这种同时描述结构的位置及尺度的特点, 它已被广泛应用于宇宙大尺度结构的统计研究中, 如Lyα吸收线丛的成团统计, 星系团结构及质量函数的标度律, 宇宙微波背景辐射和星系分布的高阶统计及非Gauss特征检测, 原初物质扰动谱的重构等等。

而基于DWT的星系功率谱分析, 我们将在多分辨分析框架下, 给出离散星系样本的DWT谱计算的像素化方法表述, 并进一步采用N体数值模拟方法对4种典型结构形成模型的DWT 谱进行统计检验, 同时考虑不规则巡天几何、选样率、径向选择效应以及红移畸变效应对DWT功率谱估计的影响。

假定{Ψi (x) }Ni=1i=1Ν构成Hilbert空间一正交完备基, 定义投影到Hilbert空间N个像素上的密度涨落为

其中ng(x)=∑iδD(x−xi)ng(x)=∑iδD(x-xi)为星系的数密度, 它为一连续密度场的Poisson采样:

式中λ (x) 为Poisson过程的强度, λ(x)=n¯g(x)(1+δ(x))λ(x)=n¯g(x)(1+δ(x)), 其中n¯n¯g为位置x上的星系平均密度, δ (x) 为密度涨落, 通常假定可以由一个均匀各向同性的稳态随机过程描述, 它满足〈δ (x) 〉ens=0, 并且在坐标空间协变矩阵为〈δ (x) δ (x′) 〉=ξ (x-x′) , 而在Fourier空间, 相应有〈δnδ"m〉=P (n) δnm, 这里, n代表格点化波数k=2πn/L, L为物理空间的尺度。

显然, d={di, i=1, …, N}构成基底为{Ψi (x) }的密度涨落表示, 容易看出,

并且, 协变矩阵为

其中N代表散粒噪声的贡献

信号项为

这里ΨˆΨ^ (n) 为Ψ (x) 的Fourier变换,

在像素化方案中, 功率谱可以由像素值的平方给出, 即

像素化函数集{ΨNiiΝ (x) }i=1的选取对功率谱估计的精度尤为重要. 关于基函数的选取及目前采用的各种统计方法, 如加权Fourier模, K-L模及球谐函数展开等及其相互比较。

一般地, 最优选择的基函数{ΨNiiΝ (x) }i=1应满足以下条件: (ⅰ) {ΨNi (x) }i=1构成正交完备基, 这确保了像素值{di}Ni=1i=1Ν包含密度场的所有统计性质; (ⅱ) {ΨNi (x) }i=1在相空间为局域化的, 即在物理空间和波数空间同时具有紧支撑; (ⅲ) 可以避免积分约束, 这要求Ψi (x) 和单极模垂直, 即∫Ψi (x) dx=0, 或Ψˆ(0)=0.Ψ^(0)=0。

多分辨分析的中心思想是可以将任意函数在不同尺度的分辨率上进行逼近. 例如, 对星系分布ng(x)=∑iδD(x−xi)ng(x)=∑iδD(x-xi), 可以按多分辨空间的剖分

进行分解, 其中VJ, WJ分别代表尺度为J的尺度和小波空间. 到尺度空间VJ0的投影给出了尺度J0尺度上的星系计数统计, 而Wj给出了空间尺度为L/2j的密度涨落, 这里L为星系的巡天深度。

为书写方便起见, 不失一般性, 本节中我们在一维情形下给出小波功率谱的像素化表述. 在 (10) 式的意义下, 对星系的密度涨落δg=ng(x)/n¯g(x)−1δg=ng(x)/n¯g(x)-1, 其分离小波展开为

其中DWT展开系数ε˜ε˜jl可以由下式求出:

在子空间Wj, 由方程 (12) , 我们可以得到2j个展开系数djl=ε˜jldjl=ε˜jl. 若δg (x) 为各态历经的, 则2j个像素值djl可以看作密度场在尺度j上的2j次独立测量, 并构成一统计系综. 在这种情形下, 协变矩阵的估计式为

按照像素化方法的思想, j尺度上的功率谱可以由2j个独立测量的平方平均给出, 即

它包括散粒噪声和信号两部分的贡献。

信号功率为

其中过滤函数为

ψˆψ^ (n) 为小波生成函数的Fourier变换. 对Daubechies 4小波, Wj (n) 相对于n=0具有对称分布的峰分布. 主峰的位置在±np≈±0.75。

由于∫Wj (n) dn=1, 显然, Wj (n) 可以看成窗口函数, 由于Wj (n) 具有局域化特征, (15) 式意味着S¯¯S¯j实际上为Fourier功率谱的带平均. 对给定的尺度j, 相应的带中心频率为

带的对数宽度保持常数, Δlogn=Δnp/np, 其中Δnp为主峰的宽度, 由于Wj (n) 的主要能量集中在左右对称分布的主峰上, 主峰宽度可以定义为|ψ (np) |2Δnp=1/2. 对D4小波, Δnp=0.7。

散粒噪声贡献为

对体积极限样本, 星系平均数密度为常数n¯g(x)=n¯gn¯g(x)=n¯g, 显然N¯¯¯j=1/n¯gΝ¯j=1/n¯g. 一般地, 考虑到ψj, l具有紧支撑,

其中D为Daubechies小波的阶数. 在小尺度极限下, n−1≪Lc,Lc=n¯g(x)/n¯′g(x)n-1≪Lc,Lc=n¯g(x)/n¯′g(x)为星系数密度n¯n¯g (x) 变化的特征空间尺度, 这样, 选择函数ϕ(x)=1/n¯g(x)ϕ(x)=1/n¯g(x)在间隔Ij, l上近似为常数, 进一步地, 由 (18) 式, 噪声项可以简单估计为

结合以上讨论, 经散粒噪声修正后的功率谱估计为

可以称为星系的DWT功率谱. 最后需要提到的是, 由于小波基函数的空间平均值为零, 自动满足上节中提到的积分约束条件。

在星系形成的引力不稳定性理论框架下, 复合期后, 物质的扰动谱可以写成:

其中T (k) 为转移函数, Pi (k) ∝kn为原初扰动谱, n=1对应标度不变的Zeldovich-Harrison谱. 在冷暗物质主导的结构生成模型中, 转移函数的计算有很多作者讨论过. 本文中我们可以采用BBKS[10]的拟合公式:

其中

其中波数k=2π/λ的单位为h·Mpc-1。

对于扰动功率谱, 我们采用σ8归一化. 对于σ8的取值, 我们采用理论模型预言的富星团丰度和观测之间的拟合所给出的关系:

基于稳定成团假设, Peacock和Dodds给出了一个拟合公式, 可以较精确地从线性功率谱中求得非线性功率谱. 记Δ2 (k) =k3P (k) /2π2, 非线性功率谱可以表示为如下形式:

其中的非线性拟合公式为

所用参数为

其中neff为线性功率谱的有效谱指数, 具体功率谱的不同波长的谱指数可由下式求得:

宇宙学参数在非线性功率谱中的体现, 主要为影响功率谱P和增长因子D (z) =ag (z) , 其中g (z) 可以由以下的拟合公式给出:

其中

这里Ω0为宇宙密度参数, ΩΛ=Λ/3H02为宇宙学常数, ΩK=1-Ω0-ΩΛ为曲率参数. 于是, 由这一组拟合公式可以讨论各种参数的非线性功率谱, 以及非线性小波谱。

基于已给出的Fourier功率谱, 我们计算了4种典型的CDM模型中相应的DWT谱, 模型的具体参数由表1给出。

模型

Ω0

h

Λ0

Γ

σ8

OCDM

0.3

0.7

—

0.21

0.85

ΛCDM

0.3

0.7

0.7

0.21

0.85

SCDM

1.0

0.5

—

0.5

0.55

τCDM

1.0

0.25

—

0.25

0.55

表1 模型的参数

图1分别比较了这4种模型的线性和非线性DWT谱, 为直接看出DWT分解尺度j对应的物理尺度, 按j对应的中心频率在图中标出了波数k的大小。在三维情形下, 对边长为{L1, L2, L3}的长方体, j={j1, j2, j3}对应的中心波数为

图1 4种模型的线性 ( (a) ) 和非线性 ( (b) ) 理论DWT谱

文中考虑边长为L的立方体情形, 并在空间各方向取等尺度, 即j1=j2=j3. 这样有kj=2π2jL3√npkj=2π2jL3np. 由图1可以看出, 各模型的线性和非线性DWT谱的变化行为和Fourier功率谱相近, 即在大尺度线性区域完全一致, 而在小尺度非线性区域有明显的差别。

对ΛCDM和OCDM模型, 其线性谱简并, 但非线性谱由于各自具有不同的非线性增长模式而退简并。

采用N体数值模拟方法对DWT谱的测量进行统计检验. 在模拟中, 粒子数和网格的数目均取为1283, 模拟空间为边长256 h-1·Mpc的周期性立方体. 对未受扰动的均匀粒子分布, 采用所谓的“玻璃”构型。

原初扰动由Zeldovich近似产生. 在整个模拟过程中, 密度及力的网格赋值和插值均采用三角形粒子云方法. N体引力体系的宇宙学演化按标准P 3M方法计算进行. 模拟的初始红移为zi=20, 力的软化参数在共动坐标系中保持不变, 取为网格大小的15%, 即300 h-1·kpc. 演化的总积分步长为400。

为考虑宇宙噪声对统计结果的影响, 对每种模型, 我们分别实现十组模拟样本. 对生成的每组样本, 我们按估计式计算其经非线性演化得到的z=0的DWT功率谱. 计算结果分别由图2给出, 图中误差棒为10个样本的1σ涨落, 实线代表由非线性功率谱得到的DWT谱的理论值。

显然, 模拟样本给出了和半解析非线性模型相一致的结果, 这说明Peacock等人给出的非线性拟合公式可以很好地刻画功率谱的非线性演化。

另一方面, 由于DWT谱自动选择了按对数间隔分布的Fourier模的数目, 并且小波基的局域化性质确保了按小波分解的扰动模的独立性, 这样, DWT谱的估计较少受到非线性模-模耦合的影响. 反映在图2上, DWT谱具有稳定的1σ误差分布. 这种特点将在包括各种观测效应在内的统计检验中表现出来。

图2 由模拟样本重构的4种模型的DWT谱

本节中我们考虑径向选择效应对DWT谱估计的影响. 对流量极限样本, 选择效应由星系的光度函数给出. 考虑到我们的目的是检验径向选择效应的影响, 为简单起见, 采用无偏袒的星系形成模型。

在这种假设下, 可以直接按照光度函数对暗物质样本进行Poisson采样, 并构造星系的模拟样本. 作为例子, 光度函数采用Bj波段的Schechter形式:

其主要参数选取APM-Stromlo亮星系巡天的数值:

此外, 我们对样本进行L=0.067L*的低光度截断;考虑到由上式给出的径向选择效应后, 我们在OCDM模型中生成极限星等分别为18m和19m的两组样本, 每组样本包括10次实现. 在图3中, 我们同时给出了理论小波谱及考虑到径向选择效应后模拟样本的DWT谱, 其中理论DWT谱如实线所示。

可以看出, 总体上, 有径向选择效应的模拟样本的DWT谱和理论模型可以很好地吻合. 而对于两组模拟样本相比较而言, 极限星等为19m的样本给出的DWT谱的误差棒明显小于18m的样本, 并和宇宙噪声给出的统计涨落相当。

图3 考虑径向选择效应

由于标准Fourier分析是定义于全空间的整体变换, 对有限体积样本, 得到的Fourier功率谱实际为真实功率谱和一个窗口函数的卷积. 而窗口函数取决于巡天的几何形状, 通常没有简单的消除卷积的方法, 对实际巡天样本, 常常讨论和其巡天几何有关的带窗功率谱。

由于这样的处理缺乏其普适性, 这就给不同巡天样本之间的比较, 或对同一巡天, 但不同天区的样本处理带来了实际困难。

另一方面, 受益于小波变换的局域性特点, 几何效应只影响局部的边界小波系数;由于DWT变换系数同时给出了尺度和空间的信息, 对任一尺度上的DWT变换, 它可以自适应调整空间采样尺度, 以保证统计系统具有最大的采样数目。

在这种情形下, 和边界几何相关的小波系数在对功率谱的贡献中只占很小的比重, 这就使DWT谱几乎不受几何效应的影响。

在实际计算中, 对复杂的巡天几何, 可以采用以下算法. 即将巡天样本嵌入一体积为Vcubic的立方体中, 设样本的体积为Vsample, 定义一体积填充因子η=Vsample/Vcubic, 则样本的DWT谱可以估计为Psample=η-1Pcubic, 其中Pcubic为基于立方体的三维DWT变换得到的功率谱。

这样, 填充因子的引入实际上将对立方体的平均约化为对有效体积或有效DWT模数的平均. 在Pcubic的计算中, 为平滑样本的几何边界效应, 可以在样本之外立方体中按样本的选择效应做随机填充。

由于DWT系数和平均密度无关, 在填充区域, 扣除Poisson噪声后的局域DWT谱ε˜ε˜2jljl2几乎为零, 边界区域的ε˜ε˜2jljl2也很小. 因此经过随机填充后, 巡天几何及边界效应对DWT功率谱估计的影响不大。

作为直观的例子, 我们就对已生成的流量极限的星系样本进行一些几何上的处理, 并考察DWT谱估计方法的适用性. 我们分别考虑两种情形. 在第1种情形中, 考虑观测上空洞效应, 即在样本中随机地挖掉32块体积, 挖去的体积约占总体积的1/2。

在第2种情形, 我们将样本拓展为 (400 h-1·Mpc) 3, 原来样本所占体积约为1/4. 两种情形得到的DWT谱分别在图4中给出. 显然, DWT谱的估计几乎不受几何及边界效应的影响。

图4

受星系本身的本征速度的影响, 观测到的红移巡天样本不可避免地会有红移畸变, 进而影响星系的成团分析. 在大尺度上, 由于星系的整体运动, 使得功率谱幅度增大, 而小尺度上星系团内的随机运动则降低了功率谱的幅度. 采用Peacock和Dodds给出的拟合公式来讨论红移畸变对功率谱估计的影响。

其中Ps (k) 是红移空间的星系功率谱, 而Pr (k) 是物理空间的物质密度功率谱. b是偏袒因子, G (y, β) 可以表示为

其中σv为一维速度弥散, β=Ω0.6/b为红移畸变参数. 以上方程利用了小尺度上速度弥散符合Gauss分布的假设. 对于大尺度上的红移畸变效应, 则用下式来表述:

采用N体数值模拟样本对红移畸变效应进行统计检验. 考虑星系的径向本动速度, 首先将极限星等为19m. 00的模拟样本转化到红移空间. 进一步地, 采用上节所讨论的DWT谱估计方法, 计算模拟星系样本在红移空间的功率谱。

表1所列举的4种典型CDM模型的样本DWT谱如图5所示. 为考察红移畸变效应的对非线性功率谱的改正因子, 即方程 (41) 和 (42) 的适用性, 取本动速度弥散σv为唯一的自由参数, 然后对图5的数值模拟结果作最小二乘拟合. 拟合曲线由图5中的实线给出, 同时, 最佳拟合参数σv也在图中相应标出。

必须注意到, 方程 (41) ～ (43) 实际包括两个隐含假设, 一是修正因子G (y, β) 来源于对密度扰动波矢和径向方向的夹角的空间平均, 再就是密度扰动的平面波近似, 即等效假设观测者处于无穷远处. 在这种情形下, 本动速度弥散的拟合值相对于样本的真实数值将估计偏高. 考虑到这种效应, 显然, 比较数值模拟样本给出的估计约为300 km·s-1, 以上模型给出了本动速度弥散合理的拟合值。

图5 考虑红移畸变效应

(ⅰ) 本文中我们在离散小波分析框架下, 给出了星系功率谱估计的像素化表述, 即引入了基于小波分解的DWT功率谱. 对具有径向选择效应的离散星系样本, 我们给出了包括散粒噪声修正的DWT谱估计式。

由于小波基函数在物理空间和波数空间同时具有局域化特征, DWT谱实际为Fourier功率谱的窄带平均, 同时在宇宙密度场的各态历经假设下, DWT谱可以自适应地选择空间取样尺度, 并通过对局域功率谱的空间平均, 实现对系统的平均。

(ⅱ) 采用数值模拟方法, 对DWT谱估计式进行了统计检验, 其中包括实际巡天样本中不可避免的径向选择效应、不规则巡天几何和选样率、以及红移畸变效应. 数值结果表明DWT功率谱可以广泛适用于各种巡天样本, 并较少受到观测效应及宇宙噪声的影响。

特别是, 通过引进的体积填充因子, DWT谱可应用于具有复杂巡天几何的样本, 并给出和巡天几何无关的功率谱估计. 正因为这种普适性, 可以对不同巡天样本得到的DWT谱进行直接的比较, 或用理论模型进行拟合。

(ⅲ) 值得注意的是, 在二阶统计上, DWT谱实际为小波系数协方差矩阵的对角元的平均, 而对非对角元, 它代表小波系数的非局域相关. 非局域相关有几个重要性质, 首先, 它由密度扰动场的非Gauss特征主导。

由于密度扰动场的非Gauss特征来源于非线性演化阶段的模-模耦合, 对它的探测将为我们检验结构生成模型提供附加的统计特征. 其次, 对宇宙密度扰动场, 非局域相关随相对距离的增加迅速衰减, 即具有所谓的准局域特征。

因此, 协方差矩阵为准对角矩阵. 在这种情形下, 密度场的二阶统计特征近似由对角元及近对角矩阵元完全决定. 显然, 在统计意义上, 小波分解可以实现对密度场的数据压缩. 另一方面, 和快速Fourier变换类似, 离散小波变换也存在快速算法。

因此, 基于小波分解的二阶统计适用于建立大样本的统计模型, 这就为从功率谱中直接测量宇宙学参数提供了一种快速估计算法. 最后, 由于DWT谱的测量误差由非对角元决定, 而准局域特征意味着空间各处的DWT谱估计具有弱相关性, 它确保了在中心极限定理下, DWT谱的统计近似满足Gauss分布。

结果是, DWT谱的测量几乎不受密度场非Gauss特征的影响, 并获得无偏估计. 关于对观测样本如Las Campanas 和PSCz巡天样本的DWT 谱测量和宇宙学参数估计将在后续的工作中给出。

《The amplitude of mass fluctuations in the universe》

《Non line are volution of cosmo logical power spectra》