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二元二次多项式怎么因式分解?

周游一生数学教育教学 372

前言:

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二元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f(a,b,c不全为零)如何因式分解呢?

这里以x^2+4xy-12y^2-x+26y-12为例介绍一种方法——仨十字相乘法,即连续三次运用十字相乘法进行分解。

这种方法的步骤是:

第一步,用十字相乘法把二次项

x^2+4xy-12y^2

分解为(x-2y)(x+6y);

第二步,用十字相乘法把只含x及常数项的二次项式

x^2-x-12

分解为(x+3)(x-4)。

注意这里对x^2的分解要保持与第一步的分解相同;

第三步,用十字相乘法把只含y及常数项的二次项式

-12^2+26y-12

分解为(-2y+3)(6y-4)。

这里要注意两点:

(1)对y^2的分解要保持与第一步的分解相同;

(2)对常数项-12的分解要保持与第二步的分解相同;

第四,把第二步和第三步常数项相同的因式分别并为一个因式,同时相同的常数项只写一个,

即把(x+3)与(-2y+3)并为一个因式,得

(x-2y+3);

把(x-4)与(6y-4)并为一个因式,得

(x+6y-4).

则x^2+4xy-12y^2-x+26y-12

=(x-2y+3)(x+6y-4)。

说明:上述第一步、第二步和第三步中,如果某一步不能分解或不能满足条件,则说明该多项式是不能分解的。

上述分解用十字相乘法可表示为如图1:

如果把常数项的分解多写一遍,则可以显得更加直观明了(如图2所示)。

例如,分解因式:x^2-3xy+2y^2+11x-17y+30。

解:如图3所示,则

原式=(x-2y+5)(x-y+6)。

练习:分解因式:

(1)x^2+4xy+3y^2+x+5y-2;

(2)2x^2+3xy+y^2-26x-21y+80;

(3)x^2-y^2+6x+18y-72.

标签: #编程对多项式进行因式分解