# 一、以图 2-2 为模型，说明INSERTION-SORT 在数组 A=(31，41，59，26，41，58)上的执行过程。

文心一言：

以图 2-2 为模型，说明INSERTION-SORT 在数组 A=(31，41，59，26，41，58) 上的执行过程。

首先，将数组 A 中的每个元素 a[i] 插入到数组 A[i-1] 的后面，即 a[i] = a[i-1]+1。

接着，将数组 A 中的每个元素 a[i] 插入到数组 A[i-1] 的前面，即 a[i] = a[i-1]-1。

最后，将数组 A 中的每个元素 a[i] 插入到数组 A[i-1] 的左边，即 a[i] = a[i-1]+1。

因此，INSERTION-SORT 在数组 A=(31，41，59，26，41，58) 上的执行过程如下：

a[0] = 31

a[1] = 26

a[2] = 41

a[3] = 41

a[4] = 26

a[5] = 59

a[6] = 58

在这个过程中，数组 A 中的每个元素 a[i] 都被插入到了正确的位置。

chatgpt：

以下是在数组 A=(31，41，59，26，41，58)上执行 INSERTION-SORT 的过程：

1. 第一次迭代：

- i = 2, key = 41

- 将 41 与 31 比较，大于 31，则不进行交换，数组为 (31, 41, 59, 26, 41, 58)

2. 第二次迭代：

- i = 3, key = 59

- 将 59 与 41 比较，大于 41，则不进行交换，数组为 (31, 41, 59, 26, 41, 58)

3. 第三次迭代：

- i = 4, key = 26

- 将 26 与 59 比较，小于 59，则将 59 向右移动一位，数组为 (31, 41, 26, 59, 41, 58)

- 将 26 与 41 比较，小于 41，则将 41 向右移动一位，数组为 (31, 26, 41, 59, 41, 58)

- 将 26 与 31 比较，小于 31，则将 31 向右移动一位，数组为 (26, 31, 41, 59, 41, 58)

- 将 26 插入到正确的位置，数组为 (26, 31, 41, 59, 41, 58)

4. 第四次迭代：

- i = 5, key = 41

- 将 41 与 59 比较，小于 59，则将 59 向右移动一位，数组为 (26, 31, 41, 41, 59, 58)

- 将 41 插入到正确的位置，数组为 (26, 31, 41, 41, 59, 58)

5. 第五次迭代：

- i = 6, key = 58

- 将 58 与 59 比较，小于 59，则将 59 向右移动一位，数组为 (26, 31, 41, 41, 58, 59)

- 将 58 插入到正确的位置，数组为 (26, 31, 41, 41, 58, 59)

最终得到排序后的数组 A=(26, 31, 41, 41, 58, 59)。

# 二、重写过程 INSERTION-SORT，使之按非升序(而不是非降序)排序。

文心一言：

在 INSERTION-SORT 算法中，如果要按非升序排序，可以使用以下步骤：

将数据分成两个部分：要插入的数据和已排序的数据。

对要插入的数据进行排序。可以使用任何一种排序算法，例如冒泡排序、快速排序、归并排序等。

将要插入的数据插入到已排序的数据中。可以使用任何一种插入算法，例如直接插入、归并插入等。

重复步骤 2 和步骤 3，直到所有数据都被插入到已排序的数据中。

下面是一个示例实现：

```python

def insertion_sort(arr):

# 将数据分成两个部分：要插入的数据和已排序的数据

n = len(arr)

for i in range(1, n):

# 对要插入的数据进行排序

arr[i] = arr[i-1]

# 将要插入的数据插入到已排序的数据中

j = i - 1

while j >= 0 and arr[j] > arr[i]:

arr[j+1] = arr[j]

j -= 1

arr[j+1] = arr[i]

return arr

```

在这个实现中，我们首先将数据分成两个部分：要插入的数据和已排序的数据。然后，我们对要插入的数据进行排序，并将其插入到已排序的数据中。最后，我们重复这个过程，直到所有数据都被插入到已排序的数据中。

chatgpt：

以下是重写后的 INSERTION-SORT 过程，使其按非升序排序：

```

INSERTION-SORT(A)

1 for j = 2 to A.length

2 key = A[j]

3 i = j - 1

4 while i > 0 and A[i] < key

5 A[i+1] = A[i]

6 i = i - 1

7 A[i+1] = key

```

相较于原来的 INSERTION-SORT，该算法对第 4 行的判断条件进行了修改。在原来的算法中，判断条件为 `A[i] > key`，即当前元素大于待插入元素时，继续进行循环操作。而在这里，我们将其改为 `A[i] < key`，即当前元素小于待插入元素时，继续进行循环操作。这样就能够实现按非升序排序了。

# 三、考虑以下查找问题:

输入:n个数的一个序列A=(al，a2，……，an)和一个值v。

输出:下标i使得v=A[i]门或者当v不在A 中出现时，v为特殊值 NIL。

写出线性查找的伪代码，它扫描整个序列来查找 v。使用一个循环不变式来证明你的算法是正确的。确保你的循环不变式满足三条必要的性质。

文心一言：

chatgpt：

以下是线性查找的伪代码：

```

LINEAR-SEARCH(A, v)

1 for i = 1 to A.length

2 if A[i] == v

3 return i

4 return NIL

```

循环不变式：在每次循环之前，将会检查前 i-1 个元素是否与 v 相等，如果存在，则已经返回该元素的下标，否则返回 NIL。

循环不变式需要满足三个必要性质：

1. 初始化：在第一次循环之前，i=1。此时前 i-1 个元素为空序列，因此循环不变式成立。

2. 保持：假设前 i-1 个元素都不等于 v，在第 i 次迭代中，会检查 A[i] 是否等于 v。如果 A[i] 等于 v，则算法会返回 i；否则进入下一个迭代，此时前 i 个元素仍然都不等于 v，因此循环不变式仍然成立。

3. 终止：当循环终止时，有两种情况：(a) 找到了等于 v 的元素，返回其下标 i；(b) 遍历完整个数组后没有找到等于 v 的元素，此时返回 NIL。在两种情况下，循环不变式成立。

因此，根据循环不变式，可以证明该算法的正确性。

# 四、考虑把两个n 位二进制整数加起来的问题，这两个整数分别存储在两个n元数组A和B中。这两个整数的和应按二进制形式存储在一个(n+1)元数组 C中。请给出该问题的形式化描述，并写出伪代码。

文心一言：

题目描述：

给定两个n位二进制整数A和B，它们的和应按二进制形式存储在一个(n+1)元数组C中。请你编写一个算法，将A和B的和转换为二进制形式存储在C中。

算法步骤：

1.创建一个新的(n+1)元数组C，长度为n+1。

2.将A和B的值按位相加，并将结果存储在C的第一个位置。

3.将C的第一个位置后面的所有位置设置为0，以便存储下一个元素。

4.重复步骤2和步骤3，直到C的所有位置都被填充为0。

5.返回C的值。

伪代码：

```scss

function binarySum(A, B, C)

n = length(A)

for i from 0 to n-1

C[i] = A[i] + B[i]

end for

C[n] = 0

for i from n+1 to length(A)

C[i] = C[i-1] + A[i]

end for

return C

end function

```

该算法的时间复杂度为O(n+1)，其中n是A和B的长度。

chatgpt:

问题形式化描述：

输入：两个n元数组A和B，表示两个二进制整数；

输出：一个(n+1)元数组C，表示两个二进制整数的和。

伪代码如下：

```

BINARY-ADDITION(A, B)

1 let C[1...n+1] be a new array

2 carry = 0

3 for i = n downto 1

4 sum = A[i] + B[i] + carry

5 if sum == 2

6 C[i+1] = 0

7 carry = 1

8 else if sum == 3

9 C[i+1] = 1

10 carry = 1

11 else

12 C[i+1] = sum

13 carry = 0

14 if carry == 1

15 C[1] = 1

16 else

17 C = C[2...n+1]

18 return C

```

该算法从右向左逐位相加，使用变量 `carry` 记录上一位的进位。若当前位为 0 或 1，则直接将其加到对应的位置 `C[i+1]` 上，并将进位 `carry` 设为 0。若当前位为 2 或 3，则需要分别设置 `C[i+1]` 的值，并将进位 `carry` 设置为 1。在处理完所有位后，需要检查最高位是否有进位，若有则在 `C[1]` 上设置为 1，否则去掉最高位并返回。

# 五、给我画一个虎背熊腰的妹子

文心一言：