1 对数与对数表

先看下面两个等式：

(10^2)*(10^3)=10^(2+3)

(10^2)^3=10^(2*3)

似乎用某一种巧妙的方式可以将幂运算转换为乘运算，乘运算可以转换为加运算。

这种巧妙的运算就是对数表，对数是指数运算的逆运算，如a^x=N，x就是以a为底，真数N的对数。通过表格的形式建立真数与对数的对应关系，就是对数表。

常用对数是指以10为底的对数。

10的正整数幂的常用对数，等于真数里0的个数，如lg1000＝3；

正数的常用对数的首数，是真数的整数部分的位数减去1的一个整数。如lg97254的首数必然是4；

上述性质也是常用对数称为常用的原因（后面会叙述自然对数自然的原因）。

对数的运算法则：

log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N

log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

log(a) M^n=nlog(a) M

log(a)b*log(b)a=1

log(a) b=log (c) b÷log (c) a

利用常用对数表对乘、幂的化简运算：

真数表由首列、首行组成，其它是对应的对数。

2 历史上寻找对数的底的过程

以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb。

但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：

2.1 真数的考量：所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方（科学记数法）。

2.2 底的考量：那么只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么真数（取值0-1之间）取完对数就是负数，不够直观）。

2.3 这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。

2.4 为了避免这种缺点，底数尽量要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算:

（1-1/X）^1 = P1 ，

（1-1/X）^2 = P2 ，

……

那么对数表上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1、P2、P3、……之间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。

2.5 最后数学家纳皮尔用（1- 1/X）^X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/ X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。

2.6 让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）^X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。

3 试编码一个以1.0001为底的对数表

使用C++代码枚举：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;double di = 1.0001;void main(){	int n;	for(n=1;n<10;++n)		cout<<di<<"^"<<n<<"\t:"<<pow(di,n)<<endl;	for(n=9990;n<10010;++n)		cout<<di<<"^"<<n<<"\t:"<<pow(di,n)<<endl;	for(n=23020;n<23028;++n)		cout<<di<<"^"<<n<<"\t:"<<pow(di,n)<<endl;	 system("pause");}

运行后结果：

1.0001^1 :1.00011.0001^2 :1.00021.0001^3 :1.00031.0001^4 :1.00041.0001^5 :1.00051.0001^6 :1.00061.0001^7 :1.00071.0001^8 :1.00081.0001^9 :1.00091.0001^9990 :2.715431.0001^9991 :2.71571.0001^9992 :2.715971.0001^9993 :2.716241.0001^9994 :2.716521.0001^9995 :2.716791.0001^9996 :2.717061.0001^9997 :2.717331.0001^9998 :2.71761.0001^9999 :2.717871.0001^10000 :2.718151.0001^10001 :2.718421.0001^10002 :2.718691.0001^10003 :2.718961.0001^10004 :2.719231.0001^10005 :2.719511.0001^10006 :2.719781.0001^10007 :2.720051.0001^10008 :2.720321.0001^10009 :2.720591.0001^23020 :9.9931.0001^23021 :9.9941.0001^23022 :9.9951.0001^23023 :9.9961.0001^23024 :9.9971.0001^23025 :9.9981.0001^23026 :9.9991.0001^23027 :10

其中的一个值是：

1.0001^10000 :2.71815

其实就是lim(1+1/n)^n(n→∞）的雏形。

如果以此值为对数的底来编制一张对数表会怎样？

4 一个最大值问题

假设a*b=N

当a取什么值时，a^b的值最大？（a,b可以是小数）。

用一个C++程序来枚举一下：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;void main(){	int n=10; float i=0.1;	for(int k=1;i*k<=n;++k,i*k)	{		cout<<i*k<<"\t ^ "<<n/(i*k)<<"\t="<<pow(i*k,n/(i*k))<<endl;	} system("pause");}

输出：

2 ^ 5 =322.1 ^ 4.7619 =34.22772.2 ^ 4.54545 =36.01362.3 ^ 4.34783 =37.38782.4 ^ 4.16667 =38.38962.5 ^ 4 =39.06252.6 ^ 3.84615 =39.45042.7 ^ 3.7037 =39.5953 //最大值位置2.8 ^ 3.57143 =39.5362.9 ^ 3.44828 =39.30753 ^ 3.33333 =38.9407

当n取不同值时，满足a*b=n，a在2.7附近时，a^b的值最大。

n、i取任意值，如n=5，i=0.01时，也可以看到这种规律。

设f(x)=x^(K/x)，x>0，K是大于0的常数。对f求导，即可得x=e时f取极大值，也是最大值。

二进制存储的计算机，一个32位的的机器使用了32个1和0，也就是64个元素，可以表达2^32=4.29*10^9个精度的数字。同样是64个元素，假设表达成3^21.3=1.45*10^10，即使是3^21也有1.05*10^10个精度，也就是说，如果用三进制，可以有更多的组合，而四进制呢？组合数又变小了（其实e进制有最多的组合数）。

5 自然常数e

e^x的泰勒展开式，当x=1时，e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!。

自然常数e又叫银行家常数。是指当连续复利（计息分期无限扩大，且利滚利）时，本息和不会无限扩大，而是会趋于一个定值，这个定期就与e有关。

连续复利表达式：本金*（1+r/n）^(n*t)＝本金*e^(r*t)。其中r是利率，t是期数。

假设本金是1000，年利率是36%，期限是1年。可算得利息和是1360。

如果按月算复利，其本息和是1000*（1+0.36/12）^(12*1)＝1425.76。

如果按天算复利，其本息和是1000*（1+0.36/365）^(365*1)＝433.08。

如果是连续复利，其本息和是1000*e^0.36＝1433.33。

也就是，不管你怎样对1年进行细分，进行复滚利，其本息和并不会无限扩大，本金是1000，年利率是36%时，其本息和不会超过1433.33。

如果一群单细胞生物每24小时全部分裂一次，单位时间内，持续的指数增长所能达到的极限值就是e，这个值是自然增长的极限。

因为e=2.7182818284... ，极为接近循环小数2.71828(1828循环)，那就把循环小数化为分数271801/99990，所以可以用271801/99990表示为e最接近的有理数约率，精确度高达99.9999999(7个9)% 。

6 自然常数e的收敛性7 比较e^π 与π^e的大小

（e=2.71828……，π=3,14159……）

从上面的最值可以简单判断，e*π一定时，当底数接近2.7时，e^π有较大值。

也可从以下思路推理：

可以用计算器计算出相关值：

8 自然常数相关表达式与导数

(x^n)'=nx^(n-1)。

(a^x)'=a^xlnx。

(e^x)' = e^x，其导数（变化率竟然是自身）。

我们一般用指数增长来表示很快的一个增长速度，而指数增长中，其中底数是e的指数增长，是最快速的指数增长。

(logax)'=1/(xlna)。

(lnx)' = 1/x。

自然对数的变化率（导数）是最简洁的。

9 自然对数表与为什么用自然常数做为底

先看一下使用自然对数表的一个实例：

试想要编制一张对数表，如果知道了对数函数的变化率（导数），根据相邻很小间隔（如0.01）的真数就可以求出相邻的对数值，而自然对数函数的导数是所有对数函数中最简洁的：

最简洁的表达式：(lnx)'=1/x，大道至简，大道自然。

10 用c代码近似计算e值

10.1 用级数1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+...+1/n!+...近似e值

#include "stdafx.h"

#include <math.h>

int factorial(int j)

{

int sum;

if(j == 0)

sum = 1;

if(j == 0)

sum = 1;

else

sum = j * factorial(j-1);

return sum;

}

void main()

{

int i;

double sum1 = 0.0;

for(i=0;i<=12;i++){

sum1 = sum1 + (1.0/factorial(i));

}

printf("0: %d %d %f ",i,factorial(i),sum1);

}

//运行结果：0: 13 1932053504 2.718282

10.2 用公式lim(1+1/n)^n(n→∞)近似e值

#include "stdafx.h"

#include <math.h>

void main()

{

int i;

double sum1,sum2;

for(i=1;i<=10;i++){

sum1 = (1.0+(1.0/i));

sum2 = pow(sum1,i);

printf("%d %f ",i,sum2);

}

printf(" ");

for(i=90;i<=100;i++){

sum1 = (1.0+(1.0/i));

sum2 = pow(sum1,i);

printf("%d %f ",i,sum2);

}

printf(" ");

for(i=99990;i<=100000;i++){

sum1 = (1.0+(1.0/i));

sum2 = pow(sum1,i);

printf("%d %f ",i,sum2);

}

printf(" ");

}

1 2.000000

2 2.250000

3 2.370370

4 2.441406

5 2.488320

6 2.521626

7 2.546500

8 2.565785

9 2.581175

10 2.593742

90 2.703332

91 2.703495

92 2.703654

93 2.703810

94 2.703962

95 2.704112

96 2.704258

97 2.704401

98 2.704542

99 2.704679

100 2.704814

99990 2.718268

99991 2.718268

99992 2.718268

99993 2.718268

99994 2.718268

99995 2.718268

99996 2.718268

99997 2.718268

99998 2.718268

99999 2.718268

100000 2.718268

－End－