线性代数中为何要引入向量来研究方程组，笔者尝试从三个角度来解释。

1. 研究无数个解之间的关系的必要性

从矩阵的层面看，线性方程组可表示为AX=b的形式。若系数矩阵A可逆，则AX=b存在唯一解并且，可以对其增广矩阵(A, b)实施一系列的初等行变换，将其转化为(E, A-1b),因而获得解.

但实际应用中，我们很可能遇到系数矩阵A不可逆的情况。比如：方程组所含方程的个数m不等于未知数的个数n, 导致系数矩阵A不是方阵，因而不可逆；或者即便系数矩阵A是方阵，但其行最简形不是单位矩阵E，因而不可逆。

若系数矩阵A不可逆，则AX=b可能有无数个解。因此，有必要研究无数个解之间的关系。

考虑到AX=b 的解X是列矩阵，因此引入一个专门的名称—列向量。

2. 比较无穷多个解的丰富度的必要性

考察下列线性方程组的解。

有无数解的两个方程组

方程组(1)和（2）都有无数个解。

若想要比较方程组(1)和（2）的无数个解的是否一样多原来的知识体系无法找到一个合适的指标来刻画。因此，有必要补充新的知识点维度，提升知识结构。

而维度需要用到向量空间中向量的线性相关与线性无关。

3. 从更细致的角度研究方程组的必要性

由于从矩阵层面研究线性方程AX=b，无法完成有无数个解的情况下，对解的一般表达式的探究。因此，有必要像庖丁解牛一样将系数矩阵A剖分得更细，从更微观的角度来深究。比如，将系数矩阵A按列分块就是一种可行的方法。

比如将方程组(2)的系数矩阵按列分块如下

方程组的系数矩阵按列分块

则方程组(2)按分块乘积可将方程组AX=0表示为

向量层面对方程组(2)的表达

因此， 方程组(2)可从向量层面表示为：右边的零向量可表示为方程组左侧的系数矩阵的列向量组β1 ,β2 ,β3 ,β4的线性组合。

更一般地，可将系数矩阵A按列分块为，其中为列向量。

因此，从向量的层面，方程组AX=0可表示为.因此，AX=0有解，意味着：方程组右边的向量0可表示为左边系数矩阵的列向量的性组合。

因此，从向量的层面，方程组AX=b可表示为.因此，AX=b有解，意味着：方程组右边的向量b可表示为左边系数矩阵的列向量的性组合。

以上是笔者目前看来线性代数中引入向量的三个原因，欢迎您的批评和讨论，也期待您分享更多的原因和您的观点。