洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家Edward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象——蝴蝶效应。

洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：

该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度 x 与水平和垂直方向的温度变化 y 和 z 联系了起来。参数 \sigam 称为普兰特数，r 是规范化的瑞利数，b 和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。洛伦兹用数值解绘制结果图，并发现了混沌现象。

Python

代码如下

# -*- coding: utf-8 -*-from scipy.integrate import odeint import numpy as np def lorenz(w, t, p, r, b):     # 给出位置矢量w，和三个参数p, r, b计算出    # dx/dt, dy/dt, dz/dt的值    x, y, z = w    # 直接与lorenz的计算公式对应     return np.array([p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z]) t = np.arange(0, 30, 0.01) # 创建时间点 # 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同的初始值 track1 = odeint(lorenz, (0.0, 1.00, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0)) track2 = odeint(lorenz, (0.0, 1.01, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0)) # 绘图from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dimport matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)ax.plot(track1[:,0], track1[:,1], track1[:,2])ax.plot(track2[:,0], track2[:,1], track2[:,2])plt.show()

交互式三维视图

代码

洛伦兹吸引子轨迹

from scipy.integrate import odeintimport numpy as npfrom mayavi import mlabdef lorenz(w, t, a, b, c):# 给出位置矢量w，和三个参数a, b, c计算出# dx/dt, dy/dt, dz/dt的值x, y, z = w.tolist()# 直接与lorenz的计算公式对应return np.array([a * (y - x), x * (b - z) - y, x * y - c * z])t = np.arange(0, 30, 0.01)  # 创建时间点# 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同的初始值track1 = odeint(lorenz, (0.0, 1.00, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))track2 = odeint(lorenz, (0.0, 1.01, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))#绘制图形mlab.plot3d(track1[:, 0], track1[:, 1], track1[:, 2], color=(1, 0, 0), tube_radius=0.1)mlab.plot3d(track2[:, 0], track2[:, 1], track2[:, 2], color=(0, 0, 1), tube_radius=0.1)

微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler , Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常微分方程的近似计算得到的。