一、平抛运动规律及其推论

1．平抛运动

(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。

(2)性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

(3)研究方法：运动的合成与分解。

可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

(4)运动规律：

①速度关系：

②位移关系：

2. 两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。

【典例1】如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )

A．小球水平抛出时的初速度大小为(gt)/tan θ

B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ/2

C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长

D．若小球初速度增大，则θ减小

【典例2】(2016·浙江卷)如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )

【典例3】如图所示，为物体做平抛运动的x－y图象，在曲线上任意一点P(x，y)的速度方向的反向延长线交于x轴上的A点，则A点的横坐标为( )

A．0.6x

B．0.5x

C．0.3x

D．无法确定

【典例4】

冬季奥运会中滑雪比赛惊险刺激，如图所示。一滑雪运动员在倾斜雪道顶端以水平速度v0＝10 m/s飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿态进行缓冲使自己只保留沿斜面的速度而不弹起，雪道倾角θ＝37°，倾斜雪道长L＝50 m，高h＝30 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，除缓冲外，运动员还可视为质点。过渡轨道光滑，其长度可忽略不计。如果运动员在水平雪道上滑行的距离为196.3 m，已知运动员与雪道间的动摩擦因数一定，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求；

(1)运动员落到倾斜雪道上的点与飞出点间的距离；

(2)运动员落到倾斜雪道瞬间沿雪道的速度大小；

(3)运动员与雪道间的动摩擦因数。

二、平抛运动的题型总结

1．斜面上的平抛运动

（1）顺着斜面平抛(如图)

方法：分解位移

x＝v0t

y＝0.5gt2

tan θ＝(y)/x

可求得t＝(2v0tan θ)/g

（2）对着斜面平抛(如图)

方法：分解速度

vx＝v0 vy＝gt

tan θ＝(v0)/vy＝(v0)/gt

可求得t＝(v0)/gtan θ

【典例5】

如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v2，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α2，若v1＞v2，则( )

A．α1＞α2 B．α1＝α2

C．α1＜α2 D．无法确定

【典例6】 (多选)(2016·陕西安康二模)横截面为直角三角形的两个相同斜面顶点紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示。两小球分别从O点正上方A、B两点以不同的初速度分别向右、向左水平抛出，最后都垂直落在斜面上。已知OA＝4OB，下列判断正确的是( )

A．飞行时间之比tA∶tB＝2∶1

B．飞行时间之比tA∶tB＝4∶1

C．初速度之比vA∶vB＝2∶1

D．初速度之比vA∶vB＝4∶1

2. 半圆内的平抛运动(如图甲)

由半径和几何关系制约时间t：

h＝0.5gt2

R＋＝v0t

联立两方程可求t。

【典例7】

如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比(v1)/v2为 ( )

3. 多体平抛运动问题

（1）若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

（2）若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。

（3）若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。

【典例8】(多选)如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )

A．a的飞行时间比b的长

B．b和c的飞行时间相同

C．a的水平速度比b的小

D．b的初速度比c的大

【典例9】甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的初速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是( )。

A. 同时抛出：且v1<v2 B. 甲比乙后抛出，且v1>v2

C. 甲比乙早抛出，且v1>v2 D. 甲比乙早抛出，且v1<v2

4. 平抛运动中的临界问题

平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。求解这类问题的关键是确定临界轨迹，当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受竖直高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。

分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。

【典例10】 (2015·课标全国Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )

【典例11】 一阶梯如图13所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g 取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是( )

A. m/s<v≤2 m/s B. 2 m/s<v≤3.5 m/s

C. m/s<v< m/s D. 2 m/s<v< m/s