摘要：流体力学是力学和机械等专业本科生的一门专业基础课。由于其涉及数学、物理的概念多、公式复杂、理论抽象而实际应用广,是公认的难教、难学的课程之一。笔者提出了将流体力学与理论力学、材料力学、电动力学等其他力学课程交叉教学的方法,充分利用各门力学课程知识间的联系,使得学生在学习流体力学的同时复习其他力学的知识,通过对比深化理解流体、固体、刚体和电磁场,最终获得对力学学科的整体视野,增强教学效果。

关键词： 交叉教学 材料力学 流体力学 理论力学 电动力学

流体力学是研究流体在静止和运动状态下的运动规律及流体与固壁相互作用力的一门学科，在机械、能源、汽车、化工、航空、航天等诸多领域有着极广泛的应用[1]。该课程是力学、机械等专业本科生的专业基础课程。由于其涉及数学、物理、力学等内容，概念多，公式推导繁琐，理论性强，实际应用广，对学生综合利用知识的要求较高，是普遍公认的教师难教、学生难学的课程之一[2]。

笔者从2016年起承担宁波大学机械学院力学、机械和车辆三个专业的本科生流体力学课程的教学工作。这门课程是学生在本科期间唯一的一门流体课程。如何在有限的教学时间内深入浅出地讲解新理论，加深学生的理解，提高学生的积极性和主动性以增强教学效果，为学生后续的学习打下坚实的基础并培养研究能力，是当前流体力学教学工作者急需要考虑的问题。

课堂教学使我们意识到：学生在学习流体力学基础理论时感到困难往往是由于他们对以往学过的理论力学、材料力学等课程的基础知识和概念已经生疏。如果在讲授流体力学知识的同时，将其他力学课程的相关内容进行复习和比较，可以“温故而知新”。事实上，各门力学学科之间本身就具有很强的内在联系性，著名物理学家、量子理论创始人普朗克说：“科学是内在的整体。它被分解为单独的部分不是取决于事物的本质，而是取决于人类认识能力的局限性。实际上存在着由物理、化学，通过生物学和人类学到社会科学的连续的链条。”对于力学的各门分支学科而言，从概念、方法到公式、定理都具有巨大的相通性，完全可以在教学中融合交叉[3]。

在研究生面试和指导研究生科研的过程中，我们发现多数力学、机械专业的学生尽管在本科阶段学习过多门力学课程，但一两年后对这些学科只依稀记得几个专业名词，而将基本概念、方法几乎全部遗忘。造成这种现象的一个重要原因就是学生没有在各门力学学科的知识点之间建立起足够的联系，未能构建有效知识体系，从而造成迅速遗忘。如果在教学过程中让学生有机会对各门力学进行对比、分析，将会十分有助于知识的融会贯通，形成长期记忆。

当前流体力学与其他学科的交叉更多的是强调在科研方面，在教学方面的交叉研究相对较少。目前已知的仅有大连理工大学邹丽等[4]将流体力学教学与数学物理知识类比进行交叉教学的研究。笔者认为，流体力学与其他力学的交叉教学不仅可以触类旁通，而且有助于充分利用各门力学课程知识间的联系，使得学生获得对力学学科的整体视野，达到“一以贯之”的效果。以下是将流体力学与理论力学、材料力学、电动力学进行交叉教学的案例。

1、交叉教学的案例

1.1 流体力学和理论力学的交叉教学

流体力学概念和知识繁复，初学者往往会在各种公式推导的细节中花费大量精力，而缺乏对学科整体内容的把握。为了避免这种“只见树木，不见森林”的不良教学效果，我们尝试了以理论力学为出发点来导出流体力学知识。

理论力学是包括流体力学在内的其他各门力学的基础，两者的理论体系也存在诸多相似性(见表1)。在介绍流体力学基础理论时，我们参照理论力学，将主要内容分成：运动学、静力学和动力学三部分；在介绍流体运动学时，又将内容分成质点运动和微团运动两部分，并分别与理论力学中的点运动和刚体运动两部分对应；在介绍动力学时，将两门学科的方程都总结为质量、动量、动量矩和能量的守恒定律，并说明在理论力学中质量守恒已隐含(牛顿在《自然哲学的数学原理》提出的牛顿第二定律原始公式是F=d(mv)/dt，只有在质量为常数的条件下才能简化为理论力学中的常用形式：F=ma，故质量守恒已经隐含)，因此不需要单独写出。

笔者还介绍了其他流体力学知识和理论力学中知识点的关系。比如表1在具体介绍流体质点运动学时，将“质点”、“迹线”、“拉格朗日描述”、“物质导数”等基本概念从理论力学出发而导出，可以使得这些流体力学的重要概念从理论力学中找到源头，建立起知识的连续性。从课后作业中我们发现，这样的教学设计明显提高了学生对基本概念的接受程度。

表1理论力学与流体力学理论体系的对比

赫姆霍兹速度分解定理是流体微团运动学中最重要的知识

式(1)表示：流体微团运动可以分解为平移、旋转和变形三部分。其中涉及矢量分析、矩阵分解、实对称矩阵和反对称矩阵的数学理论及物理意义。理解数学推导过程中每一部分的物理意义是该部分教学的难点。在这部分内容的教学时，我们首先将流体微团运动学与理论力学中的刚体运动进行比较，使学生意识到平移和旋转是两者共同具有的部分，两者差别在于前者只是比后者多一个变形而已。而对于变形(线变形和角变形)的分析，学生已在材料力学学过，就不会感到太困难。这样在数学推导中，学生就会很容易明白参考点速度v(r)对应平移，反对称矩阵对应刚性旋转，而对称矩阵对应流体瞬间的变形。

1.2 流体力学和材料力学的交叉教学

材料力学和流体力学都以连续介质假设作为理论基础。在原苏联力学教学体系中，连续介质力学曾作为单独的一门课程[5]，但目前国内普遍将材料力学和流体力学分开教学。其实，将两者的基础部分特别是变形、本构理论来对比、交叉教学，不仅可以提升教学进度，而且可以加深学生对流体和固体的理解。

在流体微团运动学理论中，应变率张量的内容公式较多，初学者往往记不住各部分公式细节，更难以理解数学公式背后的物理意义。通常，力学和机械等专业的学生在学习流体力学之前都已上过材料力学的课程，对应力、应变的概念已有了一定程度的了解。我们在这部分教学过程中先让学生复习材料力学中应变理论的内容，然后让多名学生到黑板前推导应变矩阵并解释各部分的物理意义。由于有了材料力学的基础，多数学生在一定的提示下可以完成该部分的推导。然后通过设物质变形为无穷小而对时间求导，便可以由应变得到应变率。最后还比较了应变张量和应变率张量的数学性质：两者同为实对称矩阵，因此都具有主特征值、主轴、不变量等性质。

流体力学和材料力学都会涉及物质的本构方程。牛顿内摩擦定律和胡克定律分别是流体和固体最简单的本构方程。我们在介绍流体黏性时让学生从多个方面比较了两者的异同(见表2)，并向学生说明了流体与固体最重要的区别：在外加一定应力下，固体变形有限，而流体可以持续变形。流体和固体的本构对比还可以解决“先有应力还是先有应变”的争论：对于固体本构理论，通常是应力、应变同时存在；而对于流体，可以先有应力(只要有应变率)，后有应变。通过上述对比交叉教学，学生的课堂学习积极性有明显提升。

这种“在复习材料力学基础上导出流体力学知识”的教学设计在教学方法上改变了以往老师讲、学生听的单一模式，让学生参与到发现知识的过程中，最大程度发挥了学生自主性；在知识内容上将两门课程的知识有机结合起来，使得学生在复习原有知识的同时，轻松掌握了应变率张量推导的来龙去脉及各种数学性质。

表2胡克定律与牛顿内摩擦定律的对比

1.3 流体力学和电动力学的交叉教学

流体力学和电动力学具有很深的渊源。在历史上，流体力学的发展早于电动力学。牛顿在1687年出版的名著《自然哲学的数学原理》中已建立了前者的基本概念和理论[6]。1847年，汤姆逊意识到了电磁现象和流体运动的相似性[7]。而后受汤姆逊工作的启发，麦克斯韦将流体力学中通量、环流、散度和旋度等基本概念应用到电磁学中，在1873年发表的《电磁学专论》中正式提出了电动力学的基本方程[8]。

尽管力学、机械专业一般不设置专门的电动力学课程，但是学生大都在大学物理的课程中学习过电磁场和麦克斯韦方程组的基本知识。与历史上两门学科发展的顺序相反，理工科学生的大学物理课程一般放在大一，而流体力学课程则在大三，因此，了解麦克斯韦方程组的时间反而早于学习流体力学。介绍麦克斯韦建立电动力学理论的过程，不仅可以为学生展示流体力学和电动力学的历史渊源以及基本概念的相似性，还将十分有助于学生对两门学科的深化理解，并培养类比、联想等学习和研究能力。

在讲授流体速度场的理论时，旋度和散度是初学者感觉颇有难度的知识。它们不仅涉及标量、矢量、点乘、叉乘、梯度算子等数学概念，还具有深刻的物理意义。如：不可压缩流体的速度场散度为0，而流体速度场的旋度反映流体微团的刚性旋转。为了使得学生更好地理解这部分内容，笔者给学生复习了电动力学中的麦克斯韦方程组，并介绍了该方程组的发现历史：麦克斯韦精通流体力学，他将法拉第提出的“磁力线”与流体速度场进行类比，还受流体中的涡启发而提出“涡旋电场”[9]，从而建立了以他名字命名的方程组。该方程组被誉为人类历史上最优美的方程之一，而其基本概念都源自流体力学。在教学过程中，通过对比电流激发的磁场与涡的流线(如图1)，以及磁场散度方程∇·B=0与不可压缩流体的连续性方程∇·u=0，可以使得学生对电磁场与流场的相似性有进一步的了解。

图1电流激发的磁场与不可压缩无旋运动的点涡流场的对比

在介绍机翼升力理论中需要用到速度场环量的概念。为了加深学生对环量的理解，我们介绍了积分型麦克斯韦方程组的两个重要的环路积分：法拉第电磁感应定律和安培环路定理通过电磁场环路积分和速度场环量的对比，使得学生意识到环路积分具有的拓扑不变性，以及速度场环量深刻的物理意义。此外，还让学生比较了机翼的升力公式F=ρU×Γ和运动电荷在磁场中受到洛伦兹力的公式f=qv×B，分析了两者的相似性。从上述公式和图2中可以发现：两者受力的大小都与速度成正比，且受力方向与速度垂直。因此，两者具有高度的相似性，其背后的物理意义发人深省。麦克斯韦曾表示[10]：“对两个理念系统间的形式类比的认识比通过分别研究每个系统所能取得的知识更为深奥。”这种启发式的教学可以很好地调动学生的发散性思维，提高他们学习和研究的积极性。

图2机翼的升力与运动电荷受到洛伦兹力对比

2、教学效果

交叉教学取得了不错的教学效果。2018年，在笔者指导的本科生中有1人以第一作者在流体力学顶级期刊PhysicsofFluids上发表科研论文，另有4人次在国际和国内的流体力学会议上做了口头报告。在全国周培源大学生力学竞赛中，获得的全国奖项也从2017年的16项增加到2019年的33项。这显示了学生不仅对流体力学的学习更加积极主动，对其他力学课程知识的掌握程度也得到了很好的提升。

3、结语

流体力学和其他力学交叉教学的方法得到了广大学生的好评。2019年，笔者作为该课程的主讲教师被评选为学院“最受学生喜爱的青年教师”。这既是对本课程的肯定，也为后续的教学方法探索和改进积累了宝贵的经验。希望交叉教学方法能为其他讲授此课程的教师提供一定的帮助。