什么是动态规划

动态规划（Dynamicprogramming）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。

关于动态规划最经典的问题当属背包问题。

算法步骤

1、最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。

2、子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态

动态规划三要素

（1）问题的阶段

（2）每个阶段的状态

（3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。

应用场景

适用动态规划的问题必须满足最优化原理、无后效性和重叠性。

1.最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性 将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

实现代码

//java代码纯属自己练习,标准答案参考上面的c语言答案class solution{	public int getMax(){		int MAX = 101;		int[][] D = new int[MAX][MAX]; //存储数字三角形		int n; //n表示层数		int i = 0; int j = 0;		int maxSum = getMaxSum(D,n,i,j);		return maxSum;	}	public int getMaxSum(int[][] D,int n,int i,int j){		if(i == n){			return D[i][j];		}		int x = getMaxSum(D,n,i+1,j);		int y = getMaxSum(D,n,i+1,j+1);		return Math.max(x,y)+D[i][j];	}}

for(j=1; j<=m; j=j+1) // 第一个阶段 xn[j] = 初始值;  for(i=n-1; i>=1; i=i-1)// 其他n-1个阶段 for(j=1; j>=f(i); j=j+1)//f(i)与i有关的表达式 xi[j]=j=max（或min）{g(xi-1[j1:j2]), ......, g(xi-1[jk:jk+1])}; t = g(x1[j1:j2]); // 由子问题的最优解求解整个问题的最优解的方案 print(x1[j1]); for(i=2; i<=n-1; i=i+1）{  t = t-xi-1[ji];  for(j=1; j>=f(i); j=j+1) if(t=xi[ji]) break;}