《二次函数》全章复习与巩固

【学习目标】

1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴 ( 公式不要求记忆和推导 )，

并能解决简单的实际问题；

【知识网络】

【知识点梳理】

1、二次函数的定义

一般地，如果 y = ax2 + bx + c ( a , b , c , 是常数，a ≠ 0 )，那么 y 叫做 x 的二次函数 .

注：

如果 y = ax2 + bx + c ( a , b , c 是常数，a ≠ 0 )，那么 y 叫做 x 的二次函数．

这里，当 a = 0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 .

2、二次函数的图象与性质

（1） 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

几种特殊的二次函数的图象特征如下：

（2） 抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点 .

① a 的符号决定抛物线的开口方向：

当 a > 0 时，开口向上；

当 a < 0 时，开口向下；

|a| 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

② 平行于 y 轴 ( 或重合 ) 的直线记作 x = h .

特别地 ，y 轴记作直线 x = 0 .

（3） 抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 中，a , b , c 的作用：

1. a 决定开口方向及开口大小，这与 y = ax2 中的 a 完全一样 .

2. b 和 c 共同决定抛物线对称轴的位置 .

由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = -b/2a，故：

① b = 0 时，对称轴为 y 轴；

② b/a > 0 ( 即 a、b 同号 ) 时，对称轴在 y 轴左侧；

③ b/a < 0 ( 即 a、b 异号 ) 时，对称轴在 y 轴右侧 .

3. c 的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y 轴交点的位置 .

当 x = 0 时，y = c，

∴ 抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点 ( 0，c )：

① c = 0 ，抛物线经过原点；

② c > 0，与 y 轴交于正半轴；

③ c < 0，与 y 轴交于负半轴 .

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b/a < 0 .

（4） 用待定系数法求二次函数的解析式：

① 一般式： y = ax2 + bx + c ( a , b , c , 是常数，a ≠ 0 ) .

已知图象上三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式 .

② 顶点式：y = a（x - h）2 + k ( a ≠ 0 ) .

已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .

③ 交点式：已知图象与 x 轴的交点坐标 x1 、x2，通常选用交点式：

y = a（x - x1）（x - x2） （a ≠ 0）. （由此得根与系数的关系：x1 + x2 = -b/a , x1x2 = c/a）.

注：

求抛物线 y = ax2 + bx + c（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：

配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

3、二次函数与一元二次方程的关系

函数 y = ax2 + bx + c（a≠0），当 y = 0 时，得到一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （a≠0），

那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，

因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 .

(1) 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 △ = b2 - 4ac > 0 ，则方程有两个不相等实根；

(2) 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 △ = b2 - 4ac = 0 ，则方程有两个相等实根；

(3) 当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 △ = b2 - 4ac < 0 ，则方程没有实根 .

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

4、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，

利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，

再利用函数的图象及性质去研究问题.

在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义 .

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1) 建立适当的平面直角坐标系；

(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3) 用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4) 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 .

注：

常见的问题：

求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.

解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式 .

【典型例题】

类型一、求二次函数的解析式

【例题1】已知抛物线的顶点是 (3，-2)，且在 x 轴上截得的线段长为 6，求抛物线的解析式．

【思路点拨】

已知抛物线的顶点是 (3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即 y = a（x - 3）2 - 2，

也就是 y = ax2 - 6ax + 9a - 2，再由在 x 轴上截得的线段长为 6 建立方程求出 a．

也可根据抛物线的对称轴是直线 x＝3，在 x 轴上截得的线段长为 6，

则与 x 轴的交点为 (0，0) 和 (6，0)，因此可设 y＝a( x - 0 ) · ( x - 6 )．

【答案与解析】

【点评】

求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单．

类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

【例题2】 函数 y = ax + b 和 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）

【答案】C；

【解析】

∵ a≠0，

∴ 分 a＞0，a＜0 两种情况来讨论两函数图象的分布情况．

若 a＞0，则 y＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，y = ax2 + bx + c 的图象开口向上，可排除 D．

若 a＞0，b＞0，则 y＝ax+b 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，

y = ax2 + bx + c 的图象的对称轴在 y 轴的左侧，故 B 不正确．

若 a＞0，b＜0，则 y＝ax+b 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，

y = ax2 + bx + c 的图象的对称轴在 y 轴的右侧，故 C 正确．

若 a＜0，则 y＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，

y = ax2 + bx + c 的图象开口向下，故 A 不正确．

【点评】

在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数 a，b 满足一致性，

因此讨论 a，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在．

事实上，a，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，

又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．