在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决，而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆，有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，通过添加辅助圆，做到"图中无圆，心中有圆"。下面讲述一构造辅助圆常见模型来求解圆的最值问题，给人耳目一新的感觉，令人深思。

1．（2019•武汉模拟）如图，点D在半圆O上，半径OB＝√61，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是MC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，

∴当M、H、B共线时，BH的值最小，

∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．

【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线＝圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

变式1．（2018秋•北仑区期末）如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为_______ ．

【解析】连接OC、BC，P点为BC的中点，作PH⊥AB于H，如图，利用点C是以AB为直径的半圆的中点得到OC⊥OB，则可判断△BOC、△BPH为等腰直角三角形，再利用∠BEC＝90°判断点E在⊙P上，连接AP交⊙P于E′，此时AE′的长为AE的最小值，然后利用勾股定理计算出AP，计算AP﹣PE′即可得到AAE的最小值为√10-√2．

变式2．（2018秋•海曙区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4√2，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为 ______．

【解析】如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，

∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，

当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，

3．（2019•硚口区模拟）已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O于点E，则BE的最大值为______ ．

【解析】如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．

4．（2019•锡山区一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是 ______．

【解析】如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，

∴点E在以AB为直径的⊙Q上，

∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，当点Q、E、C三点共线时，QE+CE＝CQ（最短），

【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．

5．（2018秋•邗江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 _______．

6．（2018秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A、B两点坐标分别为（3，4）、（3，﹣3）．已知点P是⊙O上的一点，点Q是线段AB上的一点，设△OPQ的面积为S，当△OPQ为直角三角形时，S的取值范围为_____．

总结提升

1．数学方法：构造辅助圆

（可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆．

2.数学思想：（建模思想、转化思想、分类讨论思想）

利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.

3. 深入挖掘题目中的隐含条件；善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！