菜鸟学习记：第四十六天若数学公式未显示或显示不正确 可以查看Python数学建模系列（七）：差分前言

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自我介绍 「ଘ(੭ˊᵕˋ)੭」

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！ 初学Python 小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

题不在多 学一题 懂一题

知其然 知其所以然！

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1 递推关系-酵母菌生长模型

差分方程建模的关键在于如何得到第n组数据与第n+1组数据之间的关系

如图所示我们用培养基培养细菌时，其数量变化通常会经历这四个时期。

这个模型针对前三个时期建一个大致的模型：

调整期对数期稳定期

根据已有的数据进行绘图：

import matplotlib.pyplot as plt time = [i for i in range(0,19)] number = [9.6,18.3,29,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,           350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,            651.1,655.9,659.6,661.8] plt.title('Relationship between time and number')#创建标题 plt.xlabel('time')#X轴标签 plt.ylabel('number')#Y轴标签 plt.plot(time,number)#画图 plt.show()#显示

分析：

酵母菌数量增长有一个这样的规律:当某些资源只能支撑某个最大限度的种群 数量，而不能支持种群数量的无限增长，当接近这个最大值时，种群数量的增 长速度就会慢下来。

两个观测点的值差△p来表征增长速度△p与目前的种群数量有关，数量越大，增长速度越快△p还与剩余的未分配的资源量有关，资源越多，增长速度越快然后以极限总群数量与现有种群数量的差值表征剩余资源量

模型：

「接下来计算模型表达式 求系数k（已知、的情况下）」 ​ 当把该式子看成「二次曲线」进行拟合时：

import numpy as npimport matplotlib.pylab as pltp_n = [9.6,18.3,29,47.2, 71.1,119.1, 174.6,       257.3, 350.7, 441.0, 513.3, 559.7, 594.8, 629.4,      640.8, 651.1, 655.9, 659.6]delta_p = [8.7, 10.7,18.2,23.9, 48,55.5,          82.7, 93.4, 90.3, 72.3, 46.4,35.1,          34.6, 11.4, 10.3,4.8,3.7,2.2]plt.plot(p_n,delta_p)poly = np.polyfit(p_n, delta_p, 2)z = np.polyval(poly,p_n)print(poly)plt.plot(p_n, z)plt.show()# [-8.01975671e-04  5.16054679e-01  6.41123361e+00]# k = -8.01975671e-04

运行结果

image.png

当看成「一次曲线」进行拟合时

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将 (665 - pn) * pn 看出一个整体 那么整个式子就是一个一次函数

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import numpy as npimport matplotlib.pylab as pltp_n = [9.6,18.3,29,47.2, 71.1,119.1, 174.6,       257.3, 350.7, 441.0, 513.3, 559.7, 594.8, 629.4,      640.8, 651.1, 655.9, 659.6]delta_p = [8.7, 10.7,18.2,23.9, 48,55.5,          82.7, 93.4, 90.3, 72.3, 46.4,35.1,          34.6, 11.4, 10.3,4.8,3.7,2.2]p_n = np.array(p_n)x= (665 - p_n) * p_nplt.plot(x,delta_p)ploy = np.polyfit(x,delta_p,1)print(ploy)z = np.polyval(ploy,x)plt.plot(x,z)plt.show()# [ 0.00081448 -0.30791574] # k = 0.00081448

运行结果

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预测曲线：

import matplotlib.pyplot as plt p0 = 9.6 p_list = [] for i in range(20):     p_list.append(p0)     p0 = 0.00081448*(665-p0)*p0+p0 plt.plot(p_list) plt.show()

运行结果：

image.png

2 显示差分-热传导方程

一维热传导方程为：

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其中，k为热传导系数，「第2式是方程的初值条件」，第3、4式是边值条件,热传导方程如下：

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image.png

绘制初值条件函数图像（第二个式子） ​

import numpy as npimport matplotlib.pylab as pltx = np.linspace(0,1,100)y = 4 * x * (1 - x)plt.plot(x,y)plt.show()

运行结果

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注：CAL库没有安装上，以下代码未运行，照着PPT写了一遍（安装了一天 装上了 但是运行一直报错）

N = 25 M = 2500 T = 1.0 X = 1.0 xArray = np.linspace(0,1.0,50) yArray = map(initialCondition, xArray) starValues = yArray U = np.zeros((N+1,M+1)) U[:,0]=starValues dx=X/N dt=T/N kappa=1.0rho=kappa*dt/dx/dx for k in range(0,N):     for j in range(1,N):         U[j][k+1]=rho*U[j-1][k]+ (1.-2*rho)*U[j][k]+ rho*U[j+1][k]     U[0][k+1]=0.     U[N][k+1]=0. pylab.figure(figsize=(12,6)) pylab.plot(xArray, U[:,0]) pylab.plot(xArray, U[:,int(0.10/dt)]) pylab.plot(xArray, U[:,int(0.20/dt)]) pylab.plot(xArray, U[:,int(0.50/dt)]) pylab.xlabel(‘$x$’, fontsize=15) pylab.ylabel(r‘$U(\dot,\tau)$’,fontsize=15) pylab.title(u’一维热传导方程’，fontproperties=font) pylab.legend([r’$\tau=0.$’, r’$\tau=0.10$’, r’$\tau=0.20$’, r’$\tau=0.50$’],fontsize=15)

image.png

三维立体图查看整体热传导过程 ：

tArray = np.linspace(0, 0.2, int(0.2/dt)+1)xGride, tGride = np.meshgrid(xArray, tArray) from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import cm fig = pylab.figure(figsize=(16,10)) ax = fig.add_subplot(1,1,1,projection=‘3d’) surface = ax.plot_surface(xGride, tGride, U[:,:int(0.2/dt)+1].T, cmap=cm.coolwarm)ax.set_xlabel(“$x$”, fontdict={“size”:18}) ax.set_ylabel(r“$\tau$”, fontdict={“size”:18}) ax.set_zlabel(r”$U$”, fontdict={“size”:18}) ax.set_title(u”热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$”, fontproperties=font) fig.colorbar(surface, shrink=0.75)

image.png

3 马尔科夫链-选举投票预测

马尔科夫链是由具有以下性质的一系列事件构成的过程：

一个事件有有限多个结果，称为状态，该过程总是这些状态中的一个；在过程的每个阶段或者时段，一个特定的结果可以从它现在的状态转移到任 何状态，或者保持原状；每个阶段从一个状态转移到其他状态的概率用一个转移矩阵表示，矩阵每行 的各元素在0到1之间，每行的和为1。

实例：选举投票预测 ​ 以美国大选为例，首先取得过去十次选举的历史数据，然后根据历史数据得到 选民意向的转移矩阵。

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构建差分方程：

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于是可以通过求解差分方程组，推测出选民投票意向的长期趋势

import matplotlib.pyplot as plt RLIST = [0.33333] DLIST = [0.33333] ILIST = [0.33333] for i in range(40):     R = RLIST[i]*0.75+DLIST[i]*0.20+ILIST[i]*0.40     RLIST.append(R)     D = RLIST[i]*0.05+DLIST[i]*0.60+ILIST[i]*0.20     DLIST.append(D)     I = RLIST[i]*0.20+DLIST[i]*0.20+ILIST[i]*0.40     ILIST.append(I) plt.plot(RLIST) plt.plot(DLIST) plt.plot(ILIST) plt.xlabel('Time') plt.ylabel('Voting percent')plt.annotate('DemocraticParty',xy = (5,0.2)) plt.annotate('RepublicanParty',xy = (5,0.5)) plt.annotate('IndependentCandidate',xy = (5,0.25)) plt.show() print(RLIST,DLIST,ILIST) 

运行结果

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最后得到的长期趋势是：

56%的人选共和党19%的人选民主党25%的人选独立候选人

这个问题还可以用「C-K方程」来解

import numpy as npa = np.array([[0.75,0.05,0.20],[0.20,0.60,0.20],[0.40,0.20,0.40]])p = np.mat(a)for i in range(40):    p = p*p   print(p)

运行结果：

​

结语

参考：

学习来源：B站及其课堂PPT，对其中代码进行了复现

「文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程」

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～