3.1 叠加定理

线性电路中的叠加定理（superposition theorem），是电路具有叠加特性的体现。从电路构成的角度来说，凡由独立电源和线性元件（包括线性受控源）组成的电路均为线性电路。从输入对电路响应的影响来说，同时满足可加性和齐次性的电路即为线性电路。

可加性是指：如果电源（电压源或电流源） f 1 （ t ）引起的电路响应为 y 1 （ t ），电源 f 2 （ t ）的响应为 y 2 （ t ），则电源为 f 1 （ t ）+ f 2 （ t ）时的响应为 y 1 （ t ）+ y 2 （ t ）。

齐次性是指：若电路对电源 f （ t ）的响应为 y （ t ），当电源扩大为原来的 a 倍，即为 af （ t ）时，其响应也扩大为原来的 a 倍，即 ay （ t ）。

叠加定理如下：

在由两个或两个以上的独立电源作用的线性电路中，任意支路的电流或任意两点间的电压，都可以认为是电路中各个独立电源单独作用而其他独立电源为零（即其他电压源短路，电流源开路）时，在该支路中产生的各电流或在该两点间的各电压的代数和。

例如，若要求图 3-1（a）所示电路中的电压，可利用电源互换法得到如图 3-1（b）所示的电路。R 1 和 R 2 并联的等效电阻为

图 3-1 叠加定理示例图

流入 R 的电流为

则电压

式中

叠加定理的应用说明如下：

（1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。

（2）不同电源所产生的电压或电流，叠加时要注意按参考方向求其代数和。

（3）若运用叠加定理计算功率，必须在求出某支路的总电流或总电压后进行。因为若某电阻支路电流 i 是两个电源分别作用时产生电流 i ′和 i ″之和，即 i = i ′+ i ″，则功率应为

P = Ri 2 = R （ i ′+ i ″） 2

但不能按下式分别计算

P ≠ Ri ′ 2 + Ri ″ 2

例 3-1 如图 3-2（a）所示电路，试用叠加定理求电压 u 。

从图 3-2（b）和（c），可得 u ′=4V， u ″=-2V。

所以 u = u ′+ u ″=（4-2）V=2V

例 3-2 如图 3-3（a）所示电路，试用叠加定理求电流 i 。

图 3-3 例 3-2 图

解 本例含有受控源。由叠加定理知，响应是独立电源的线性函数。所以在分析时，应将受控源看成一般线性元件保留在电路中，不要让它们单独作用。由图可知，当 u S =0 时，因 i 1 =0，故受控源 5 i 1 自然为零，相当于开路，如图 3-3（b）所示；当 i S =0 时， u S 作用下 i 1 存在，故受控源 5 i 1 也存在，如图 3-3（c）所示。观察可知

i = i ′+ i ″=（-1+5）A=4A

例 3-3 如图 3-4 所示电路，其中 N 为线性电阻网络。已知当 u S =4 V， i S =1 A 时， u =0；当 u S =2 V， i S =0 时， u =1 V。试求当 u S =10 V， i S =1.5 A 时， u 为多少？

图 3-4 例 3-3 图

解 由叠加定理，应有

代入已知条件，得

u = K 1 u S + K 2 i S

解得 K 1 =1/2， K 2 =-2。

最后得

3.2 替代定理

有时也称置换定理，它对于简化电路的分析很有用。

任一具有唯一解的网络，若某支路的电压 u 或电流 i 在任一时刻为确定的值，则该支路可用方向和大小与 u 相同的电压源替代，或用方向和大小与 i 相同的电流源替代而不会影响外部电路的解答。

图 3-8 为替代定理示意图，其中网络 N 2 可以认为是一个广义支路，它可以是线性的，也可以是非线性的。由替代定理知，电流为零的支路可以用开路替代，电压为零的支路可以用短路替代。

例 3-4 如图 3-9（a）所示电路，已知 i =1A，N 为电路的一部分。试求电压 u 。

图 3-9 例 3-4 图

解 根据替代定理，电路 N 可以用 1A 电流源代替，如图 3-9（b）所示。然后用电源互换法或节点电压法等，就可容易地求出电压 u =0.5V。

3.3 等效电源定理3.3.1 戴维南定理

为了理解戴维南定理，这里先从实际电路的等效来说明。对于图 3-13（a）电路，如果想在 a、b 间用一个电压源串联一个电阻的简单电路来等效，我们可以先用电压表测得 a、b 间的开路电压，把 9 V 电源短路，又可以测得 a、b 间的等效电阻，如图 3-13（b）和（c）所示，从而可得图（d）的等效电路。这种简化方法为分析复杂电路带来了方便。图中测得 U OC =6 V，电阻 R 0 =2 Ω。

图 3-13 戴维南定理引例图

应用戴维南定理分析问题时，要分以下三步进行：

（1）断开所要求解的支路或局部网络，求出所余二端有源网络的开路电压 u OC 。

（2）令二端网络内独立源为零，求等效电阻（输出电阻） R 0 。

（3）将待求支路或网络接入等效后的戴维南电源，求出解答。

例 3-5 对图 3-16（a）所示电路，试求电流 I 。

图 3-16 例 3-5 图

解 图 3-16（a）所示电路中的阴影框内为线性有源二端网络。当 A、B 以右支路开路时，可求得开路电压为

再将 16 V 电源短路，则 A、B 二端子间的等效电阻为

从而得到图 3-16（b）阴影框内的戴维南电源。由图可容易求出电流为

关于求等效电阻 R 0 的方法有必要做些重点说明。一般情况下，求 R 0 有以下两种方法：

（1）串并联方法 若二端网络 N 中无受控源，当 i S =0， u S =0 后 N 中电阻出现简单的串并联结构，则从图 3-17（a）直接求 R 0 。

图 3-17 求 R 0 用图

（2）外加电源法 若二端网络 N 中有受控源，或者当 i S =0， u S =0 后无法进行电阻的串并联化简，则按等效电阻的定义，在二端子间加一电压 u （或电流 i ），在图 3-17（b）所示的电压、电流方向下，则等效电阻

式中， u 并不一定给出确定的值，只要找出 u 与 i 的关系即可。

例 3-6 如图 3-18（a）所示电路，试用戴维南定理求电压 u 2 。

图 3-18 例 3-6 图解 首先断开 2 Ω 支路，求开路电压，如图 3-18（b）所示。由于 i 0 =0，故受控源 2 i 0 也为零，故

再求等效电阻 R 0 ，令独立源为零，因电路中含受控源，无法用串并联求 R 0 ，要用外加电压法，如图 3-18（c）所示。注意这时受控源的控制量是 i， 可列回路方程

u =3 i +4 i 1 +2 i =5 i +4 i 1

又

联立解之，消去 i 1 和 i 2 ，得 u =6 i 。

故

R 0 = u/i =6 Ω。

最后，将待求支路接入戴维南电源，如图 3-19 所示，可得

3.3.2 诺顿定理

诺顿定理（Norton′s theorem）是戴维南定理的对偶。其内容如下。

任何一个线性有源二端网络 N，对其外部而言，都可以等效成一个诺顿电源。其电流源的取值等于网络 N 二端子短路线上的电流 i SC ，而等效内阻 R 0 等于网络 N 内部独立源为零时二端子间的等效电阻。

图 3-20 是诺顿定理的示意图。

图 3-20 诺顿定理示意图

诺顿定理的证明非常简单。因为任何线性有源二端网络都可以等效为戴维南电源，该电源又可以等效变换为诺顿电源，故诺顿定理只是戴维南定理的另一种形式而已。其中 i SC = u OC / R 0 。

例 3-7 如图 3-21（a）所示电路，试用诺顿定理求电压 u 。

图 3-21 例 3-7 图

解 将 R L 短路，如图 3-21（b）所示，则

除 R L 外，二端子间的等效电阻为 R 0 =3 Ω。

由等效图 3-21（c），得

3.4 最大功率传输定理

设一负载 R L 接于电压型电源上，若该电源的电压 U S 保持规定值和串联电阻 R S 不变，负载 R L 可变，则当 R L = R S 时，负载 R L 可获得最大功率。

证明：如图 3-26 所示，负载 R L 消耗的功率为

图 3-26 说明最大功率传输定理的用图

为了求出功率最大的条件，取 P 对 R L 的导数，并令它等于零，即

即

应有

（R S +R L ） 2 -2R L （R S +R L ）=0

解得

又由于

所以，当 R L = R S 时负载获得的功率最大。功率的最大值为

当负载获得最大功率，即 R L = R S 时，称为负载与电源匹配，或称最大功率匹配。

图 3-27 输出功率随负载变化曲线

例 3-8 如图 3-28（a）所示电路，设负载 R L 可变，问 R L 为多大时它可获得最大功率？此时最大功率 P max 为多少？

图 3-28 例 3-8 图

解 要确定 R L 取得最大功率的条件，根据匹配定理，必须首先将 R L 以外的有源二端网络等效为戴维南电源，当 R L = R 0 （即等效 R S ）时可获得最大功率。在图 3-28（a）中，当 R L 断开时，a、b 处的开路电压

U OC =（4-1×2）V=2 V

再令独立电源为零，容易得到 ab 二端子间的等效电阻 R 0 =2 Ω，从而得如图 3-28（b）所示电路。

显然 R L = R 0 =2 Ω 时负载与电源匹配。此时最大功率

对于图 3-29 所示电路，N 为诺顿电路。若能求得负载处的短路电流 I SC ，则负载 R L 获得的最大功率为

图 3-29 由诺顿电路求最大功率