作者 | 丘维声（北京大学）来源 | 原载《电视大学》1981年第3期复习是学习知识的一个重要环节。复习的目的有两个: 一是巩固学过的知识, 使之熟练; 一是加深 对学过的知识的理解, 使前后内容融会贯通。

线性代数这门课程的复习要求是: (1) 熟练掌握各种类型计算题的解题方法, 并且要求计算准确无误; (2) 能确切叙述概念的定义; (3) 会叙述学过的定理、推论、命题、性质, 并且对于比较简单的定理、推论、命题、性质的证明要 求掌握;(4) 能运用概念和运用学过的定理、推论、命题、性质去做一些较简单的证明题。复习范围以电视课上讲的内容和留的作业为准, 复习范围的细目详见中央广播电视大学印发下去 的《线性代数复习提纲》。下面围绕复习的两个目的来谈谈线性代数的复习方法。巩固知识，熟练扎实为了达到巩固知识, 使之熟练、扎实的目的, 复习时可以一章一章地复习, 复习每一章时可大体上 按下述三个步骤进行。第一步, 想一想这一章要研究、解决什么问题, 解决这些问题的基本思路是什么。譬如第四章, 由于相似的矩阵有许多共同的性质, 所以希望在所有与 相似的矩阵中挑一个最简 单的矩阵来研究。于是要问: 一个 级矩阵 能够相似于一个什么样的最简单的矩阵？如何找可逆矩阵 , 使得 就是最简单的矩阵? 这就是第四章的中心问题。解决这问题的基本思路是: 首先 考虑一个 级矩阵 相似于对角矩阵的充分必要条件是什么。经过推导, 得出充分必要条件是: 有 个线性无关的特性向量, 并且以这 个线性无关的特征向量为列向量组的矩阵 就是所求的可逆矩阵, 它使得 为对角矩阵, 这个对角矩阵的主对角元是 的特征值。因此需要会求 的特征值 和特征向量, 会数 有多少个线性无关的特征问量。这些就是本章的关键所在。第二步, 按照复习提纲所列的细目回忆这一章的概念、定理、推论、命题、性质以及计算题的解题 方法。对于各种类型的计算题的解题方法要熟练掌握。对于概念要求能确切地叙述它的定义。譬如, 数域 上的 级矩阵 的特征值和特征向量的定义是: “设 是数域 上的 级矩阵, 如果对于数域 中的一个数 , 存在一个数域 上的非零的 维列向量（即 矩阵) , 使得则 称为 的一个特征值, 称为 的属于特征值 的特征向量。”在这里, 必须指出 是数域 中 的数，若漏掉了“数域 ”，就是不确切; 关于 一定要指出是非零的列向量, 若漏掉了“非零”, 就是 不确切。关于定理、推论、命题、性质, 要记住它们的结论; 需要同学们掌握其证明的定理、推论、命 题、性质，同学们在复习时应当先自己动手证明一遍, 确实想不出怎么证明时，再去翻笔记或书。对于 电视课上讲的例题, 同学们在复习时应当很好看一看, 这些例题或者是为了说明一个定理, 或者是讲出 一种类型的题目的解题方法, 或者是介绍一些解题技巧。第三步, 把电视课上留的作业题挑一部分再做一遍, 可以每种类型的题挑二、三个来做。关于计算题，首先要熟练掌握它的解题方法, 不要把不同类型的计算题的解题方法混淆。其次要保证计算准确无误, 这除了在每一步都细心计算以外, 还必须有验算答案对不对的方法, 用这些方法进 行验算, 以便自己就能有把握地判断自己做的这个题的答案对不对。譬如, 计算一个行列式, 可以用两种方法来算, 比较答案是否一致。解线性方程组, 可以把求得的 解代人原方程组，看它是否适合每个方程。求矩阵 的逆矩阵, 只要验算 是否等于单位矩阵。解矩阵方程 , 只要把求得的 去右乘 , 即 , 看它是否等于 . 求矩阵 的特征值和 特征向量，验算方法是把求得的特征值 与属于的特征向量 相乘, 即 , 看它是否等于 。当矩阵 可以对角化时, 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵, 验算的的方法是, 先求 , 再计算 , 看它是否等于求出来的对角矩阵 ; 或者验算 是否等于 。对于实对称矩阵 , 求正交矩阵 , 使得 为对角矩阵，验算的方法是：先算 是否等于 , 若等于 , 则说明 确是正交矩阵; 再算 是否等于求出来的对角矩阵, 注意因为 是正交矩阵, 所以 ，从而很容易算。二次型经过非退化线性替换 , 化成标准形 , 验算的方法是：计算 , 看它是否等于对角矩阵关于证明题。首先要把已知条件和求证什么区分清楚; 然后一般是从求证的结论入手去想出证明 的路子; 有了证明的路子后, 再运用已知条件去推导出我们所需要证明的结论。举例如下.例 1 如果 线性无关, 试证: 线性无关。分析: 要证 线性无关, 据定义只要证: 设去证 。这需要利用已知条件: “线性无关”。为了能用上这个已知条件, 需要把 (1) 式改写成:这时用已知条件“ 线性无关”, 就可得到解这个齐次线性方程组得:分析清楚后, 这个题就会证明了。例 2 若 A 可递, 则 A′ 也可递, 并且 分析: 已知 可逆, 要证 可逆以及 (3) 式成立。利用可逆矩阵的性质1: “若 , 则都可逆, 并且 . ”于是为了证 可逆以及为了证 的逆等于 , 就只要证 等于 。如上分析后, 证明的路子能出来了, 于是可写出证明如下。证明 ∵ 可逆, ∴ 存在。∵ == = . 由可逆矩阵性质 1 , 得 可逆, 并且从上述两个例子可以看出, 要能够做证明题, 除必须把概念弄清楚, 把学过的定理、推论、命题、性质记住外, 还要掌握好推理思路。加深理解，融会贯通 为了达到复习的第二个目的: 加深理解, 使前后内容融会贯通, 在按照上述三步复习完各章以后, 应当再进一步想一想: 线性代数各章内容之间的联系是什么? 线性代数解决问题的基本想法是什么? 等。线性代数各章的内容基本上可以用矩阵串起来。第一章行列式可以看成是 n 级矩阵的行列式。第二章线性方程组, 其解法是对它的增广矩阵施行初等行变换化成阶梯形矩阵; 有无解的判定是看它的 系数矩阵与增广矩阵是否同秩; 解的结构: 齐次线性方程组的基础解系的求法仍然是要对它的系数矩 阵施行初等行变换化成行简化阶梯形, 并且基础解系的解的个数等于末知量的个数减去系数矩阵的秋。在这一章中, 关于 n 维向量空间的基本知识, 不少问题的解决也需要用矩阵这一工具, 譬如判定向量组 是否线性相关, 往往也需用矩阵的初等变换。第三章讲的主要是矩阵的运算。第四章是研究一个 n 级 矩阵 A 能相似于一个什么样的最简单的矩阵。第五章二次型的研究也要用矩阵这一工具。线性代数解决问题的基本想法是：把复杂的东西通过一定的变换变成简单的东西。憵如, 一个 n 级行列式包含 n! 项, 计算量很大, 而三角形行列式的 n! 项中至多只有一个非零项, 其余项全是零, 从而很容易计算。因此计算行列式的方法之一就是通过把一行的公因子提出去、两行互换、把一行的倍数加到另一行上变成三角形行列式, 至于每作一次上述的变换, 行列式的值会发生什 么样的变化这需要利用行列式的性质 2, 4, 6 。关于线性方程组的求解, 由于阶梯形方程组很容易解, 并且初等变换把方程组变成与它同解的方 程组, 所以解线性方程组的方法就是: 用初等变换把线性方程组变成阶梯形方程组, 进而求解。求矩阵的秩之所以要把它通过初等变换化成阶梯形, 是因为阶梯形矩阵的秩很容易看出: 它就等 于非零行的行数, 并且因为初等变换不改变矩阵的秩。第四章研究的是把一个 n 级矩阵通过相似变换变成最简单的矩阵。第五章研究的是把一个二次型 经过非退化的线性替换变成平方和的形式。线性代数解决问题的一个重要技巧是: 把一种形式的问题转化为另一种形式的问题。这对于解题 很有好处。下面举一个例子来说明。一个矩阵方程, 其中 是 矩阵, 是 矩阵。于是 (4) 式就表示一个齐次线性方程组。若有 , 则就是齐次线性方程组 (4) 的一个解。于是, 如果有, 其中 是 矩阵, 设 是 的列向量组, 则 都是齐次线性方程组 (4) 的 解, 这是因为所以由 (5) 式得。这就表明: 都是方程组 的解。现在利用上述看法来证明一个结果。例 3 设 都是 级矩阵, 其秩分别为 . 试证: 如果 , 那么 。证明 设 。因为 , 所以 的列向量 都是齐次线性方程组 的 解。的基础解系有 个解, 设为于是都可以由 线性表出, 从而 的秩不超过的秩。因此 线性无关, 所以 的秩为 。于是得 , 即由此看出, 做一个较难的证明题, 除了要弄清楚概念和记住定理、推论、命题、性质以外, 还需要 有一些技巧, 而把一种形式的问题 (在例 3 中是矩阵的等式 ) 转化为另一种形式的问题 (例 3 中转化为: 的列向最都是齐次线性方程组 的解。) 就是一种重要的技巧。