本文内容来源于《测绘学报》2022年第9期（审图号GS京（2022）0824号）

惯导极区模拟测试船用IMU转换修正误差公式简化与分析

卞鸿巍, 文者, 马恒, 王荣颖

海军工程大学电气工程学院, 湖北 武汉 430033

基金项目：国家自然科学基金(41876222)

摘要：在中低纬度检验惯性导航极区性能的模拟测试系统中, 基准误差造成的IMU转换修正误差是影响模拟测试精度的重要因素, 本文讨论分析了其简化计算方法。采用转移前后地球球体模型下横向坐标系导航参数不变的基准轨迹转移原则, 首先简述了模拟测试方法及IMU转换公式; 其次, 研究了IMU转换修正误差的计算方法, 相比完整计算公式给出了适合船用的近似计算公式, 并对其中的系数、各分量的量级及变化形式进行分析; 最后, 利用实测航次的导航参数, 对比验证了公式计算的正确性。简化公式最大计算误差约为10%, 可满足后续模拟测试中IMU误差的分析要求。

关键词：惯性导航 极区导航 横向坐标系 模拟测试 IMU 误差分析

引文格式：卞鸿巍, 文者, 马恒, 等. 惯导极区模拟测试船用IMU转换修正误差公式简化与分析[J]. 测绘学报，2022，51(9)：1890-1898. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210239

BIAN Hongwei, WEN Zhe, MA Heng, et al. Simplification and analysis of IMU conversion error formula for inertial navigation polar simulation test[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(9): 1890-1898. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210239

阅读全文：引 言

有关资料表明，随着全球变暖，未来25~30年，北冰洋海冰将在夏季完全消失，北极航行将逐渐成为常态，其航运价值、能源价值、军事价值等日益凸显，北极地区将成为大国竞争热点，对于北极的研究和开发利用的意义和作用十分重要[1-3]。极区地图投影测绘、航线规划等技术发展迅速[4-5]，也促进了极区导航的发展。惯性导航设备作为一种重要的自主导航设备，在极区工作时为克服重力矢量与地球自转矢量方向趋于重合造成惯导陀螺罗经效应丧失的原理性问题，需要设计特殊的极区控制编排计算导航参数，即建立极区工作模式。目前惯导系统采取的极区编排和算法主要有格网导航方法[6-9]、横向导航方法[10-13]、平面坐标导航法等[14-16]，极区编排与传统惯导编排相比，导航性能、精度上均有差异[17]，因此，应当对惯导极区工作性能进行检验。常规惯性导航设备的性能验证主要依赖于实船测试，但对于地理位置相对远离极区的国家，极区海上试验存在周期长、成本高、受自然条件限制大等实际困难而难以实施，因此研究在中低纬度地区模拟极地地区对惯导极区性能进行测试十分必要。简言之，基于中低纬度被试惯导与参考基准的试验数据，采用一定方法推算评估被试惯导在极区采取相似运行轨迹和机动状态将表现出的精度性能，本文将此项技术称为惯导极区中低纬模拟测试技术(简称惯导极区模拟测试)。

惯导极区模拟测试技术早期集中在虚拟极区技术研究方面，主要通过中低纬度实测航次进行惯导极区算法验证。如在地球表面选择虚拟极点，重构了地球经纬网，进行游移方位编排的惯导解算[18-19]，但实际上仍采用实测的IMU数据，无法模拟极区真实的惯性环境；或者采取两次旋转地球坐标系的轨迹转移方法，但由于地球近似为椭球体，无法解决地表轨迹的变形问题[20]。

关于惯导极区模拟测试中参考基准的获得与测试体系的构建，轨迹转移中通常采用基于横向坐标系姿态、速度不变的原则，文献[21]利用基准速度递推方法构建极区基准轨迹，解决了地表曲率不同造成轨迹变形的问题，并给出了极区模拟IMU的计算方法。文献[22]采用虚拟圆球法[23]进行极区轨迹基准的更新运算，并详细分析了模拟测试中各转换公式。文献[24]对惯导极区中低纬模拟测试系统做了结构的阐述，并验证了在理想的参考基准下，极区模拟惯导系统的性能与极区实地测试相当。

在测试过程中，需要一套测试基准系统为待测惯导提供基准参考信息。根据惯导的极区中低纬模拟测试原理，基于惯导系统实际输出的IMU数据的极区模拟生成需要使用测试参考基准测得的导航参数，因此在高精度惯导极区模拟测试中，参考基准的误差会成为影响模拟测试精度评估的关键因素之一。因此需要推导建立参考基准误差对极区模拟IMU数据生成的误差影响表示模型。基于这一模型，分别将不同基准误差影响变量代入IMU转换修正公式，最终可以得到相应总的IMU转换修正误差，进而分析极区模拟IMU输出下的系统误差与计算控制问题，为惯导极区模拟测试提供误差理论分析依据。但由于上述推导过程复杂，所得到的IMU转换修正误差计算公式项数众多且形式复杂，不便于工程应用。本文对其进行合理化简化，进一步推导得到极区模拟测试IMU转换修正误差的近似计算公式，公式形式明显简化。通过对简化前后极区IMU误差公式的仿真对比试验，相对误差在10%以内，验证了公式的有效性。使之对实际测试工作的指导性更强。

1 极区模拟测试IMU数据转换及误差计算方法

1.1 极区模拟测试IMU数据转换计算公式

目前，基于椭球横向坐标系推算和基于虚拟圆球法在内的模拟基准轨迹转移技术相继提出，但由于极区惯导在一定时间内椭球与球体模型导航区别不大[25]，为简化分析，本文采用基于横向坐标系导航参数相对不变的地球球体模型模拟测试方法进行测试和误差分析。

假设附有基准系统的载体在中低纬度搭载待测试捷联惯导正在运动(可自定义横向坐标系使轨迹位于其横向赤道附近)，测试基准的轨迹导航参数投影至横向地理坐标系(t系)表示为：横向纬度与经度φt、λt，横向速度vt，横向姿态余弦矩阵Cbt。将实测地区基准轨迹沿地表横向纬线向极区转动角度Λ得到模拟地区的基准轨迹，则模拟地区基准轨迹记为(φmt, λmt)，其与(φt, λt)的关系为

(1)

图 1直观地展示了轨迹转移过程，图中黑粗线表示横向经线、红线表示地理经线、绿线表示轨迹，图中实测轨迹穿过的红线表示所构建的横向坐标系的赤道。基准轨迹可在保持与横向赤道相对位置不变(横向纬度不变)的前提下转到传统极区，得到模拟基准轨迹。

图 1 轨迹转移Fig. 1 Trajectory transfer

图选项

tm表示模拟测试地区横向地理坐标系，bm表示模拟测试地区载体坐标系，b表示实测地区载体坐标系。在实测地区和模拟地区同时列出横向坐标系下的速度更新方程和姿态更新方程，并利用轨迹转移前后横向坐标系姿态、速度不变的转移原则，可以得到实测地区IMU加速度计、陀螺输出数据fibb、ωibb与模拟极区加速度计、陀螺数据fibmbm、ωibmbm的转换关系

(2)

式中，i为惯性坐标系，形如Aαβr的变量是对矢量的规范化表达符号，表示β系相对于α系的矢量A在r系中的投影坐标。文中公式类似形式的变量含义同此。dfb、dωb分别表示IMU中加速度计和陀螺仪在模拟测试中的转换修正量，计算公式为

(3)

式中，e表示地心地固坐标系(earth centered earth fixed, ECEF)，简称地球坐标系。Ctb表示实测地区的横向地理坐标系(t系)相对于载体坐标系(b系)的姿态转移矩阵。vt是横向速度矢量。gt、gtm表示实测地区与模拟地区的重力矢量。式(3)中变量计算所需的导航参数信息均由陪测基准设备提供，因此若基准设备存在误差，会导致转换修正量的计算出现误差，为定量研究转换修正误差，需要构建基准误差模型进行IMU转换修正误差的表示。

1.2 极区模拟测试IMU数据转换修正误差计算公式为方便表述，首先统一基准误差的表示形式。测试基准可由多类系统提供，其输出的各基准导航参数误差关系复杂，如INS/GNSS组合导航系统等。本文不考虑基准导航参数间的各种耦合关系，采取的基准位置误差、速度误差、姿态误差表达形式如下 (4)式中，附有“~”的变量表示基准设备提供的测量值，存在误差；附有“Δ”的变量表示误差值，即测量值与真值之差；p=[φ, λ]T表示位置，v=[vE, vN, 0]T表示速度，由于航海应用的特殊性，位置及速度均不考虑天向分量；Φ=[ϕE, ϕN, ϕU]T表示姿态失准角误差；Φ×表示其反对称矩阵；n表示导航坐标系，此处通常选用地理坐标系。各个导航参数也可在横向地理坐标系中表示，其表达方式相似，此处不再赘述。关于基准误差对IMU转换修正误差公式中各个变量的影响讨论如下：(1) 基准定位误差。基准定位误差常为数米以内或更小(如采用GNSS作为位置基准)，对于位置矩阵等变量，其造成的偏差角度决定角精度“Δp/R(R为地球半径)”的大小，普遍优于角秒级，根据现有基准设备精度，定位相对精度显著高于姿态基准、速度基准测量精度，因此基准定位误差对IMU转换修正误差公式的影响可忽略不计。(2) 基准速度误差。基准速度误差主要影响的变量有ωete、ωetme，变量计算方式参考文献[10]，基准横向速度误差(横北向速度误差ΔvtNt、横东向速度误差ΔvtEt)对其计算造成误差，其作用公式为 (5)考虑基准速度误差造成ωett-ωetmtm的计算误差，代入相关变量表达式后化简发现，此变量组合不受基准速度误差的影响，即 (6)(3) 基准姿态误差。对于基准姿态误差对变量Cbt的影响，根据式(4)，可以推知其计算模型，其中Φt=[ϕtEt, ϕtNt, ϕtUt]T为横向地理坐标系下的姿态失准角误差 (7)(4) 重力变量误差。对于重力变量，计算中采用一般重力的达朗贝尔方程即可，因基准位置误差对一般重力的计算影响很小，可不考虑重力计算误差。根据基准误差分析结果，可得加速度计、陀螺仪转换修正量的计算模型为 (8)将存在误差的计算量表示为理论值和偏差值相加，将式(8)与式(6)联立解算，可发现模拟IMU中陀螺仪转换修正误差不受基准速度误差的影响。将式(8)展开后忽略二阶以上小量可得IMU转换修正误差计算公式 (9) (10)式中，Δ(dfb)、Δ(dωb)为IMU转换修正误差，其中 (11)式中，gt、gtm分别表示测试地区和模拟地区一般重力加速度的大小。2 船用IMU转换修正误差简化计算与分析2.1 IMU转换修正误差的简化计算方法根据式(9)、式(10)，代入相关变量可得到基准误差表示的IMU转换修正误差的完整展开式，称之为IMU转换修正误差的完整计算公式(本文简称“完整公式”)，该公式十分复杂，不便于对IMU转换修正误差进行计算和分析。基于上述考虑，本文通过分析认为，由于航海是在北极地区最主要的活动方式，可适当利用航海船舶的工作特点，在符合精度要求的前提下将IMU转换修正误差公式再次进行简化。简化思路如下：考虑到船舶运行特点，即船舶的水平姿态角较小，且常为周期振荡的变化形式，易于正负相抵，因此考虑从姿态的纵横摇着手简化公式，置sin θ、sin γ为0，cos θ、cos γ为1(也可视为变量Cbt仅由一次横航向旋转所得)，此时IMU转换修正误差公式表示为 (12) (13)式(12)、式(13)称为船用IMU转换修正误差简化计算公式(简称“简化公式”或“近似公式”)，式中ωie表示地球自转角速度，ψt表示横航向角，A、B代表 (14)为体现单个基准误差变量对IMU转换修正误差的作用，可将IMU转换修正误差公式表达为 (15) (16)式中，FVEt、FϕEt、ΩϕEt等称为IMU转换误差系数。系数的符号含义如下：F或Ω区分该系数属于加速度计转换误差系数还是陀螺仪转换误差系数；V或ϕ区分该系数是对应基准速度误差的系数还是基准姿态误差的系数；E、N、U区分该系数由东向、北向或天向哪一轴向的误差引起的；t为系数仅在横向地理坐标系表示各个误差量时才适用。完整计算公式也可分解为这种形式，因过于复杂，在此不列写。对简化公式，参照式(12)、式(13)给出各个IMU转换误差系数 (17) (18)

2.2 IMU转换误差公式中的矢量关系简化公式中不再含有水平姿态角变量，仅含有横航向角ψt这一基准姿态参数。继续分析公式还可得到航向矢量与基准误差矢量之间的作用关系。图 2为横向坐标系下航向矢量，其中，Nt为横北向，Et为横东向，Ht为横航向矢量。图 2 横向坐标系下航向矢量Fig. 2 Heading vector in transverse coordinate system图选项

由图 2可知，航向向量Ht在横向地理坐标系的坐标为 (19)可重写式(12)、式(13)以直观反映水平部分基准误差与航向之间的关系 (20) (21)式中，Δvt=[ΔvtEt, ΔvtNt, 0]；ΦPt表示横向姿态失准角误差的水平部分。 (22)公式还可以标量和夹角的形式表示，其中向量夹角中的变量不需关注投影到何种坐标系，此外注意到模拟测试地区在所构建的横向坐标系赤道附近，横航向角与传统航向角相差约90°，则也可用相关变量的传统地理坐标系表示IMU转换修正误差的简化计算公式，直观反映基准误差矢量与航向之间的关系 (23) (24)式中，ϕP、ϕU均表示相关矢量的模值。

2.3 IMU转换误差系数的量级与变化形式分析本节结合式(23)、式(24)，对简化的IMU转换误差系数的量级与变化形式进行分析。首先分析A、B，它们是IMU转换修正误差公式中的重要系数。假设中低纬度试验地区纬度范围在0°~45°，测试航线经度、纬度跨度均小于15°，可以计算出变量A、B的值域，在Λ固定的前提下，这两个变量关于λt单调递减，且有以下关系 (25)表 1给出了纬度跨度为±7.5°时不同中心纬度的测试区域下变量A、B的取值范围。此外，在同一中心纬度的测试中，变量A、B可视为随载体所在纬度线性变化，在使用简化公式计算误差时，可认为A、B在测试中取常值。

表 1 测试纬度跨度为15°时变量A、B的取值范围Tab. 1 Value range of variables A and B when the test latitude span is 15°

变量名称实测中心纬度0°15°30°45°A-0.86~-1.12-0.61~-0.86-0.38~-0.61-0.20~-0.38B1.12~0.861.05~0.860.92~0.790.74~0.66表选项

假设载体航速最大25节(约13 m/s)。估计各IMU转换误差系数的变化特征如下。(1) 从量级来看，式(17)、式(18)中FVEt、FVNt的第一、二分量最大幅值均为2Aωie；FϕEt、FϕNt的第一、二分量最大幅值为gtm-gt；FϕUt各分量在简化公式中均为0；ΩϕEt、ΩϕNt的第一、二分量最大幅值为Aωie；ΩϕUt的第一、二分量最大幅值为Bωie；FVNt、ΩϕNt的第三分量为近似常值2Bωie和-Bωie，其余系数的第三分量均为零。(2) 从变化形式上来看，除FϕUt为零外，其余IMU转换误差系数第一、二分量均受航向的影响，取值在正负最大幅值之间变化，所有IMU转换误差系数第三分量取值都较恒定。

3 仿真试验验证为检验模拟测试中IMU转换修正误差计算公式推导和分析的正确性，设计了试验，内容如下：(1) 实测航次的IMU转换误差系数计算试验。提取某船舶一段实测航次的航迹、速度、姿态信息，分别代入IMU误差计算完整公式和简化公式的IMU转换误差系数表达式，验证简化的IMU转换误差系数表达式与完整的IMU转换误差系数表达式计算结果是否相近，简化的IMU转换误差系数量级和表现形式是否与理论分析一致。(2) IMU转换误差计算公式准确性验证试验。将提供的实测航次的航迹、速度、姿态信息视为理想的无误差导航参数，人工设置测试基准存在常值误差，分别利用完整公式与简化公式计算IMU的转换修正误差，并与理论真值比较，得出完整公式、简化公式计算方法的误差，并判断其是否处于可接受范围。3.1 实测航次的IMU转换误差系数验算选取某船舶在中低纬度的实际航次，数据时长约11.6 h，装载的组合导航系统等设备给出了其运行轨迹、速度、姿态等基本导航参数，如图 3所示。图 3 实测数据基本信息Fig. 3 Basic information of testing data图选项

为把轨迹转移至横向赤道附近，将122.9°E经线定义为横向坐标系赤道，并设Λ=1.029(约58.96°)。将实测参数转移至横向坐标系表示，分别采用完整误差公式、误差简化计算公式(式(17)、式(18))，采用轨迹中心横向经度估算变量A、B对轨迹进行IMU转换误差系数的计算。由完整误差公式和船用简化公式计算IMU转换误差系数计算结果如图 4、图 5所示。(图中曲线颜色红、绿、蓝分别代表所绘矢量的第一、二、三分量。)图 4 实测数据IMU转换误差系数(加速度计部分)Fig. 4 IMU conversion error coefficient of testing data (accelerometer part)图选项

图 5 实测数据IMU转换误差系数(陀螺仪部分)Fig. 5 IMU conversion error coefficient of testing data (gyroscope part)图选项

由图 4、图 5可知，试验结果与理论相符；对比完整公式计算结果与简化公式计算结果发现两者图形大致相似，简化公式忽略了水平姿态角信息，因此没有受到载体高频摇晃的影响，图像显得较平直。3.2 不同计算公式对IMU转换修正误差计算的准确性检验仍采用上节的实测导航参数，并假定其为理想基准数据。图 6绘制了人为叠加姿态横纵摇、横横摇、横航向误差常值分别为1′、1′、3′时，速度误差常值横东向为0.1 m/s、横北向为-0.1 m/s时，位置误差常值为东5 m、北5 m时，由定义法计算的IMU转换修正误差理论值(即使用式(3)分别代入理想值与叠加误差值并相减的结果，采用椭球模型参数)。图 6 实测数据IMU转换修正误差理论值Fig. 6 Theoretical value of IMU conversion correction error of testing data图选项

由图 6可知，实测数据的IMU转换修正误差量级：加速度计最大约为2×10-5，陀螺仪最大不到10-7。使用完整误差公式、简化公式计算IMU转换修正误差，其结果与理论值相当，为具体分析这些公式的计算精度，图 7绘制了完整误差公式计算的IMU转换修正误差与定义法计算的理论值(图 6数据)相减、简化计算公式计算的IMU转换修正误差与定义法计算的理论值相减的结果，以检查这些公式的准确程度。图 7 公式计算IMU转换修正误差的偏差Fig. 7 The error of IMU conversion correction error by formula图选项

由图 7可知，使用完整公式计算的结果与理论值的偏差：加速度计为10-8，陀螺仪为10-11，最大误差小于1‰。使用简化公式计算结果与理论值的偏差：加速度计为10-6，陀螺仪不到10-8，最大误差约为1/10。根据误差分析中的微小误差取舍原则，误差计算产生1/10的偏差不影响后续测试系统的分析。初步分析可知，完整公式的误差主要来源为地球模型和位置误差，简化公式的误差主要来源为忽略的水平姿态信息。

4 总结本文对于惯导极区中低纬模拟测试中测试基准误差影响模拟IMU的情况，作进一步定量分析，特别是针对船用惯导工作条件的特殊性，给出一套对IMU转换修正误差计算的简化方法(式(12)、式(13)或式(23)、式(24))，在一定条件下解决了IMU转换修正误差公式复杂、计算困难的问题，还揭示出了基准误差矢量与航向矢量之间的作用关系。简化计算公式形式简单，最大计算误差约为10%，满足微小误差可忽略的原则，后续可应用于惯导极区模拟测试中基准选取问题，为系统测试能力评估等研究提供了有效的理论支持。作者简介

第一作者简介：卞鸿巍(1972—), 男, 博士, 教授, 主要研究方向为惯性技术、信息融合。E-mail: travisbian@foxmail.com

通信作者：文者, E-mail: 1625079021@qq.com

初审：张艳玲复审：宋启凡
终审：金 君

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