1、如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．

（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；

（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；

（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．

解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，

∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D， ∴D（k+2，2）；

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），

∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，

∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，∴＝+，解得：k＝2．

（3）∠BPD＝∠BCD+∠A；理由如下：

过点P作PE∥AB，如图2所示：

∴∠PBA＝∠EPB，

∵线段AB平移至线段CD，

∴AB∥CD，

∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，

∴∠EPD＝∠PDC，

∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，

∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，

∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．

2、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．

（1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证△A'CD是等边三角形；

（2）如图2，设AC中点为E，A'B'中点为P，AC＝a，连接EP．在旋转过程中，线段EP的长度是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数，如果不存在，请说明理由．

（1）证明：∵AB∥CB'，∴∠BCB'＝∠ABC＝30°，

∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，

∴∠ACA'＝30°．

又∵∠ACB＝90°，

∴∠A'CD＝60°．

又∵∠CA'B'＝∠CAB＝60°，

∴△A'CD是等边三角形．

（2）当θ＝120°时，EP的长度最大，EP的最大值为a．

解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，

此时θ＝∠ACA′＝120°，

∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°，

∴A′C＝AC＝A′B′＝a，

∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′＝90°

∴CP＝A′B′＝a，EC＝a，

∴EP＝EC+CP＝a+a＝a．

3、如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．设F点移动的时间为t．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）计算：当△EFO面积最大时，t的值；

（3）在（2）的条件下，边BC上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵CO＝2，

∴C（2，0）．

又∵AO＝3OC＝6，

∴A（0，6），

可设BO＝x，且x＞0；

则：BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；

又∵BC＝AB，

∴（2+x）2＝36+x2，故：x＝8，

∴B（﹣8，0）；

（2）过F点作FK⊥BC于K，

可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，

则：BF＝5t，TO＝FK＝3t；

∴AT＝6﹣3t，

又∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

而AO⊥BC交EF于T，则：＝，

∴＝，

即：EF＝10﹣5t，

故：S△EFO＝EF×TO＝（10﹣5t）×3t，

即：S△EFO＝﹣（t﹣2）t＝，

∴当t＝1时，△EFO的面积达到最大值；

（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，

若使D为BC的中点时，＝＝＝，

又∵＝＝，

∴FO＝ED，EO＝FD，EF＝FE，

∴△EFD≌△FEO（SSS），

∵C（2，0），B（﹣8，0）

∴D（﹣3，0）．

故：存在满足条件的D点，其坐标为（﹣3，0）．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（0，b），C（c，0）．且满足：+（c+1）2+（b+2c）2＝0．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在y轴上是否存在点D，使得∠BCD＝45°？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵+（c+1）2+（b+2c）2＝0，≥0，（c+1）2≥0，（b+2c）2≥0，

∴a﹣4＝0，c+1＝0，b+2c＝0，

解得，a＝4，b＝2，c＝﹣1，

∴BC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，AC2＝25，

∴BC2+AB2＝AC2．∴△ABC是直角三角形；

（2）解：AB＝＝2，

当BA＝BP，点P在点B的上方时，OP＝2+2，

此时，点P的坐标为（0，2+2），

当BA＝BP，点P在点B的下方时，OP＝2﹣2，

此时，点P的坐标为（0，2﹣2），

当AB＝AP时，∵OA⊥BP，

∴OP＝OB＝2，

此时，点P的坐标为（0，2），

当PA＝PB时，设点P的坐标为（y，0），

PB＝2﹣x，PA＝，

则2﹣x＝，解得，x＝﹣3，

此时，点P的坐标为（0，﹣3），

综上所述，△ABP为等腰三角形时，点P的坐标为（0，2+2）或（0，2﹣2）或（0，2）或（0，﹣3）；

（3）解：假设存在点D，使得∠BCD＝45°，点D的坐标为（0，b），

作DH⊥BC于H，

CD＝，BD＝2﹣b，

在Rt△CDH中，∠BCD＝45°，

∴CH＝DH＝CD＝，

∴BH＝﹣，

在Rt△BHD中，BH2+DH2＝BD2．即（﹣）2+（）2＝（2﹣b）2．

解得，x1＝（舍去），x2＝，

∴点D的坐标为（0，）．

5、已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．

（1）问题发现

如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是　 　，线段DE与DF的位置关系是　 　；

（2）拓展探究

如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题

当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．

解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．

理由：连接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．

∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，

故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．

（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．

证明：如解图①，连接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，

∴，且AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，

在△BDE和△ADF中，

∴△BDE≌△ADF（SAS），

∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，

∵∠BDE+∠ADE＝90°，

∴∠ADF+∠ADE＝90°，

即∠EDF＝90°，

即DE⊥DF；

（3）如图③，连接AD，

∵AB＝AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，

∴AD＝BD，AD⊥BC，

∴∠DAC＝∠ABD＝45°，

∴∠DAF＝∠DBE＝135°，

又∵AF＝BE，

∴△DAF≌△DBE（SAS），

∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，

∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∵，

∴AE＝CF＝2+4＝6，

在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，

∴，

∴．

6、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．

（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为　 　．

（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．

解：（1）如图1中，设AD交EC于点O，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠ACB＝30°，

∵BA＝CA，∠ACE＝∠ACB＝∠B，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠DAE＝∠BAC＝120°，

∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，

故答案为30°．

（2）（1）中的结论还成立．

理由：如图2中，

∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，

又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°，

又∵CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，∠1＝∠2，

∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝120°，即∠DAE＝120°，

又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°．

（3）∵AB＝AC，AB＝12，∴AC＝12，

∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，

∴△ADF∽△ACD，

∴，

∴AD2＝AF•AC，

∴AD2＝12AF，

∴，

∴当AD最短时，AF最短、CF最长，

易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，

此时．，

∴CF＝AC﹣AF＝12﹣3＝9，

∴CF的最大值为9．

7、等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，M、N分别在直线BC、CD上．

（1）如图1所示，M、N分别在线段BC、CD上，若AM⊥MN，求证：AM＝MN．

（2）若M、N分别在线段BC、CD外（还在直线BC、CD上），根据题意，画出图形，那么（1）的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；

（3）如图2，若AM＝MN，求证：AM⊥MN．

解：（1）延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，

∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，

∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∴∠NMC＝∠BAM，

∵等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，

∴∠MCD＝135°，∴∠BCH＝45°，

∴△BHC为等腰直角三角形，∴BC＝BH，

∵AB＝BC，∴AB＝BH，

∴BC是AH的垂直平分线，∴AM＝BH，

∴∠BHM＝∠BAM，∴∠NMC＝∠BHM，

∵∠NMC+∠MNC＝45°，∠BHM+∠MHC＝45°，

∴∠MHC＝∠MNC，∴HM＝MN，∴AM＝MN；

（2）（1）的结论依然成立，

第一种情况：如图3所示，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM；

由（1）可知，MC是AH的垂直平分线，

∴AM＝MH，∴∠BAM＝∠BHM，

∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，

∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∴∠NMC＝∠BAM，∴∠BHM＝∠NMC，

∵∠MHN＝∠BHM+45°，∠MNH＝∠NMC+45°，

∴∠MHN＝∠MNH，∴MN＝MH，∴AM＝MN；

第二种情况：如图4所示，

仿照第一种情况的证明方法，可以证明AM＝MN；

（3）如图2，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，

由（1）可得BC是AH的垂直平分线，

∴HM＝AM＝MN，∴∠MAB＝∠MHB，∠MHC＝∠MNC

∵∠MHB+∠MHC＝45°，∠MNC+∠NMC＝45°，∴∠MHB＝∠NMC，

∵∠MHB＝∠MAB，∴∠BAM＝∠NMC，

∵∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠AMB+∠NMC＝90°，

∴∠AMN＝90°，∴AM⊥MN．

8、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．

（1）如图1，求证：AO＝BO．

（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．

（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．

解：（1）如图1中，

在△ACE和△BCD中，，

∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，

∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，

∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．

（2）如图2，设AE与CF的交点为M，

在Rt△BCD中，点F是BD的中点，

∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，

由（1）知，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，

∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；

（3）如图3，设AE与CF的交点为M，

∵AC＝，∴BC＝AC＝，

∵CE＝，∴CD＝CE＝，

在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，

∵点F是BD中点，

∴CF＝DF＝BD＝，

同理：EG＝AE＝，

连接EF，过点F作FH⊥BC，

∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，

∴FH＝CD＝，

∴S△CEF＝CE•FH＝××＝，

由（2）知，AE⊥CF，

∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，

∴ME＝，

∴ME＝，

∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，

∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．

9、如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，∠ABO＝30°，AB＝2，OB＝OC．

（1）如图1，求点A、B、C的坐标；

（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；

（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系．

解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，AB＝2，

∴OA＝1，OB＝，

∴A（0，1），B（﹣，0），

∵OB＝OC，∴OC＝，∴C（，0）．

（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，

由题意，y轴是线段BC的垂直平分线，

∴AB＝AC，∴∠ABO＝∠ACO＝30°，

∵∠DAC＝90°，x轴⊥y轴，∴∠DAM＝∠ACO＝30°，

又AD＝AC，∠AMD＝∠CAO，

∴△AMD≌△COA（AAS），∴DM＝AO，AM＝CO，

∵AO＝1，CO＝，∴DM＝ON＝1，AM＝，

∴D（1，+1），∴DN＝+1，

又BN＝OB+ON＝+1，

∴DN＝BN，∴△BND是等腰直角三角形，

∴∠DBN＝45°，∴△GBO是等腰直角三角形，

∴BG＝OB＝＝；

（3）由（2）可知：∠DBN＝45°，∠DCB＝30°+45°＝75°，

∴∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∵∠BEC＝∠BDC，∴∠BEC＝60°，

延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，

∵∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠ACE+∠ABE＝180°，

∵∠ABF+∠ABE＝180°，

∴∠ABF＝∠ACE，

又∵AB＝AC，BF＝CE，

∴△ABF≌△ACE（SAS），

∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAB，

∴∠FAE＝∠BAC＝120°，

∴FE＝AE，

∴BE+CE＝BE+BF＝FE＝AE，

即BE+CE＝AE．

11、已知：点B、C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上

（1）特殊情况：如图1，当∠MAN＝90°时，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．

（2）一般情况：如图2，当∠MAN为任意锐角时，若∠BED＝∠CFD＝∠MAN，则（1）式结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

证明：（1）如图①中，

∵∠MAN＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，

∴∠BAE+∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，

∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF（AAS）．

（2）如图2，（1）中结论仍然成立，

理由：如图②中，

∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BAE+∠ABE，

∵∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，

∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠CAF+∠ACF，∠1＝∠2，∴∠BAE＝∠ACF，

∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF（ASA）．

11、（1）如图1，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，求证：△AOD≌△BOC；

（2）如图2，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN．

①作∠MAB，∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？为什么？

②过点E任作一条直线，交AM于点D，交BN于点C．

证明：DE＝CE；

③试说明无论DC的两个端点在AM，BN上如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值就不变．

解：（1）∵AD∥BC，∴∠D＝∠B，∠A＝∠C，

∵AD＝BC，∴△AOD≌△BOC（ASA）；

（2）①∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，

又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，

∴∠BAE+∠ABE＝（∠MAB+∠ABN）＝90°，

∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝90°，即∠AEB为直角；

②延长AE，交BN于点F，

∵AM∥BN，∴∠MAF＝∠AFB，

∵∠MAE＝∠BAE，∴∠BAF＝∠AFB，∴BA＝FB，

∵∠AEB为直角，∴AE＝EF，

∵∠DAE＝∠EFC，∠AED＝∠CEF，∴△DAE≌△CFE（ASA），∴ED＝EC；

③由②中结论可知，AB＝BF，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，

总有△DAE≌△CFE，总有AD＝CF；

所以总有AD+BC＝2EF＝AB．