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2022年中考:专题6 三角形的存在性综合问题

数字经济高级工程师 324

前言:

今天大家对“c语言efo什么意思”都比较注意,兄弟们都需要剖析一些“c语言efo什么意思”的相关文章。那么小编在网络上收集了一些对于“c语言efo什么意思””的相关知识,希望各位老铁们能喜欢,同学们快快来了解一下吧!

1、如图,如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,﹣1)、B(﹣2,1),将线段AB平移至线段CD,使点A的对应点C在x轴的正半轴上,点D在第一象限.

(1)若点C的坐标(k,0),求点D的坐标(用含k的式子表示);

(2)连接BD、BC,若三角形BCD的面积为5,求k的值;

(3)如图2,分别作∠ABC和∠ADC的平分线,它们交于点P,请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系,并说明理由.

解:(1)∵点A(﹣4,﹣1)、B(﹣2,1),C(k,0),将线段AB平移至线段CD,

∴点B向上平移一个单位,向右平移(k+4)个单位到点D, ∴D(k+2,2);

(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,

∵A(﹣4,﹣1)、B(﹣2,1),C(k,0),D(k+2,2),

∴BE=1,CE=k+2,DF=2,EF=k+4,CF=2,

∵S四边形BEFD=S△BEC+S△DCF+S△BCD,∴=+,解得:k=2.

(3)∠BPD=∠BCD+∠A;理由如下:

过点P作PE∥AB,如图2所示:

∴∠PBA=∠EPB,

∵线段AB平移至线段CD,

∴AB∥CD,

∴PE∥CD,∠ADC=∠A,∠ABC=∠BCD,

∴∠EPD=∠PDC,

∴∠BPD=∠PBA+∠PDC,

∵BP平分∠ABC,DP平分∠ADC,

∴∠PBA=∠ABC,∠PDC=∠ADC,

∴∠BPD=∠ABC+∠ADC=∠BCD+∠A.

2、在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A'B'C.

(1)如图1,当AB∥CB'时,设A'B'与CB相交于点D,求证△A'CD是等边三角形;

(2)如图2,设AC中点为E,A'B'中点为P,AC=a,连接EP.在旋转过程中,线段EP的长度是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数,如果不存在,请说明理由.

(1)证明:∵AB∥CB',∴∠BCB'=∠ABC=30°,

∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转,

∴∠ACA'=30°.

又∵∠ACB=90°,

∴∠A'CD=60°.

又∵∠CA'B'=∠CAB=60°,

∴△A'CD是等边三角形.

(2)当θ=120°时,EP的长度最大,EP的最大值为a.

解:如图,连接CP,当△ABC旋转到E、C、P三点共线时,EP最长,

此时θ=∠ACA′=120°,

∵∠B′=30°,∠A′CB′=90°,

∴A′C=AC=A′B′=a,

∵AC中点为E,A′B′中点为P,∠A′CB′=90°

∴CP=A′B′=a,EC=a,

∴EP=EC+CP=a+a=a.

3、如图,等腰△ABC中,BA=BC,AO=3CO=6.动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动,过F作FE∥BC交AC边于E点,连结FO、EO.设F点移动的时间为t.

(1)求A、B两点的坐标;

(2)计算:当△EFO面积最大时,t的值;

(3)在(2)的条件下,边BC上是否还存在一个点D,使得△EFD≌△FEO?若存在,请直接写出D点的坐标;若不存在,试说明理由.

解:(1)∵CO=2,

∴C(2,0).

又∵AO=3OC=6,

∴A(0,6),

可设BO=x,且x>0;

则:BC2=(2+x)2,AB2=AO2+OB2=36+x2;

又∵BC=AB,

∴(2+x)2=36+x2,故:x=8,

∴B(﹣8,0);

(2)过F点作FK⊥BC于K,

可设F点移动的时间为t,且0<t<2,

则:BF=5t,TO=FK=3t;

∴AT=6﹣3t,

又∵FE∥BC,

∴△AFE∽△ABC,

而AO⊥BC交EF于T,则:=,

∴=,

即:EF=10﹣5t,

故:S△EFO=EF×TO=(10﹣5t)×3t,

即:S△EFO=﹣(t﹣2)t=,

∴当t=1时,△EFO的面积达到最大值;

(3)在(2)的基础上,E、F分别是AC、AB的中点,

若使D为BC的中点时,===,

又∵==,

∴FO=ED,EO=FD,EF=FE,

∴△EFD≌△FEO(SSS),

∵C(2,0),B(﹣8,0)

∴D(﹣3,0).

故:存在满足条件的D点,其坐标为(﹣3,0).

4、如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0),B(0,b),C(c,0).且满足:+(c+1)2+(b+2c)2=0.

(1)求证:△ABC是直角三角形;

(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在y轴上是否存在点D,使得∠BCD=45°?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)证明:∵+(c+1)2+(b+2c)2=0,≥0,(c+1)2≥0,(b+2c)2≥0,

∴a﹣4=0,c+1=0,b+2c=0,

解得,a=4,b=2,c=﹣1,

∴BC2=12+22=5,AB2=22+42=20,AC2=25,

∴BC2+AB2=AC2.∴△ABC是直角三角形;

(2)解:AB==2,

当BA=BP,点P在点B的上方时,OP=2+2,

此时,点P的坐标为(0,2+2),

当BA=BP,点P在点B的下方时,OP=2﹣2,

此时,点P的坐标为(0,2﹣2),

当AB=AP时,∵OA⊥BP,

∴OP=OB=2,

此时,点P的坐标为(0,2),

当PA=PB时,设点P的坐标为(y,0),

PB=2﹣x,PA=,

则2﹣x=,解得,x=﹣3,

此时,点P的坐标为(0,﹣3),

综上所述,△ABP为等腰三角形时,点P的坐标为(0,2+2)或(0,2﹣2)或(0,2)或(0,﹣3);

(3)解:假设存在点D,使得∠BCD=45°,点D的坐标为(0,b),

作DH⊥BC于H,

CD=,BD=2﹣b,

在Rt△CDH中,∠BCD=45°,

∴CH=DH=CD=,

∴BH=﹣,

在Rt△BHD中,BH2+DH2=BD2.即(﹣)2+()2=(2﹣b)2.

解得,x1=(舍去),x2=,

∴点D的坐标为(0,).

5、已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.

(1)问题发现

如图①,若点E、F分别是AB,AC的中点,连接DE,DF,EF,则线段DE与DF的数量关系是   ,线段DE与DF的位置关系是   ;

(2)拓展探究

如图②,若点E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,连接DE,DF,EF,上述结论是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

(3)解决问题

当点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且BE=AF=AB=2,连接DE,DF,EF,直接写出△DEF的面积.

解:(1)结论:DE=DF,DE⊥DF.

理由:连接AD,

∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=CD,

∴AD⊥BC,∴AD=BD=CD,∴∠ADB=∠ADC=90°,

∵AE=EB,AF=FC,∴DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=AB,DF=AC,∴DE=DF.

∵∠DEA=∠EAF=∠DFA=90°,∴∠EDF=90°,∴DE⊥DF,

故答案为:DE=DF,DE⊥DF.

(2)结论成立,DE=DF;DE⊥DF.

证明:如解图①,连接AD,

∵AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC的中点,

∴,且AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD=45°,

在△BDE和△ADF中,

∴△BDE≌△ADF(SAS),

∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,

∵∠BDE+∠ADE=90°,

∴∠ADF+∠ADE=90°,

即∠EDF=90°,

即DE⊥DF;

(3)如图③,连接AD,

∵AB=AC,

∴△ABC为等腰三角形,

∵∠BAC=90°,点D为BC的中点,

∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠DAC=∠ABD=45°,

∴∠DAF=∠DBE=135°,

又∵AF=BE,

∴△DAF≌△DBE(SAS),

∴DF=DE,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°,

∴△DEF为等腰直角三角形,

∵,

∴AE=CF=2+4=6,

在Rt△AEF中,EF2=AF2+AE2=22+62=40,

∴,

∴.

6、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE.

(1)如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,∠ADE的度数为   .

(2)如图2,当点D落在线段BC(不含边界)上时,AC与DE交于点F,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,若AB=12,求CF的最大值.

解:(1)如图1中,设AD交EC于点O,

∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠ACB=30°,

∵BA=CA,∠ACE=∠ACB=∠B,BD=CE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,

∴∠DAE=∠BAC=120°,

∴∠ADE=∠AED=(180°﹣120°)=30°,

故答案为30°.

(2)(1)中的结论还成立.

理由:如图2中,

∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,

又∵∠ACM=∠ACB,∴∠B=∠ACM=30°,

又∵CE=BD,∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴AD=AE,∠1=∠2,

∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=120°,即∠DAE=120°,

又∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=30°.

(3)∵AB=AC,AB=12,∴AC=12,

∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD,

∴△ADF∽△ACD,

∴,

∴AD2=AF•AC,

∴AD2=12AF,

∴,

∴当AD最短时,AF最短、CF最长,

易得当AD⊥BC时,AF最短、CF最长,

此时.,

∴CF=AC﹣AF=12﹣3=9,

∴CF的最大值为9.

7、等腰直角△ABC和等腰直角△ACD,M、N分别在直线BC、CD上.

(1)如图1所示,M、N分别在线段BC、CD上,若AM⊥MN,求证:AM=MN.

(2)若M、N分别在线段BC、CD外(还在直线BC、CD上),根据题意,画出图形,那么(1)的结论是否依然成立,若成立,写出证明过程;若不成立,说明原因;

(3)如图2,若AM=MN,求证:AM⊥MN.

解:(1)延长DC,交AB的延长线于H,连接HM,

∵AM⊥MN,∴∠NMC+∠AMB=90°,

∵∠ABC=90°,∴∠BAM+∠AMB=90°,

∴∠NMC=∠BAM,

∵等腰直角△ABC和等腰直角△ACD,

∴∠MCD=135°,∴∠BCH=45°,

∴△BHC为等腰直角三角形,∴BC=BH,

∵AB=BC,∴AB=BH,

∴BC是AH的垂直平分线,∴AM=BH,

∴∠BHM=∠BAM,∴∠NMC=∠BHM,

∵∠NMC+∠MNC=45°,∠BHM+∠MHC=45°,

∴∠MHC=∠MNC,∴HM=MN,∴AM=MN;

(2)(1)的结论依然成立,

第一种情况:如图3所示,延长DC,交AB的延长线于H,连接HM;

由(1)可知,MC是AH的垂直平分线,

∴AM=MH,∴∠BAM=∠BHM,

∵AM⊥MN,∴∠NMC+∠AMB=90°,

∵∠ABC=90°,∴∠BAM+∠AMB=90°,

∴∠NMC=∠BAM,∴∠BHM=∠NMC,

∵∠MHN=∠BHM+45°,∠MNH=∠NMC+45°,

∴∠MHN=∠MNH,∴MN=MH,∴AM=MN;

第二种情况:如图4所示,

仿照第一种情况的证明方法,可以证明AM=MN;

(3)如图2,延长DC,交AB的延长线于H,连接HM,

由(1)可得BC是AH的垂直平分线,

∴HM=AM=MN,∴∠MAB=∠MHB,∠MHC=∠MNC

∵∠MHB+∠MHC=45°,∠MNC+∠NMC=45°,∴∠MHB=∠NMC,

∵∠MHB=∠MAB,∴∠BAM=∠NMC,

∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠AMB+∠NMC=90°,

∴∠AMN=90°,∴AM⊥MN.

8、如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E分别在AC、BC上,连接AE、BD交于点O,且CD=CE.

(1)如图1,求证:AO=BO.

(2)如图2,F是BD的中点,试探讨AE与CF的位置关系.

(3)如图3,F、G分别是BD、AE的中点,若AC=,CE=,求△CGF的面积.

解:(1)如图1中,

在△ACE和△BCD中,,

∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠CAE=∠CBD,

∵CA=CB,∴∠CAB=∠CBA,

∴∠OAB=∠OBA,∴OA=OB.

(2)如图2,设AE与CF的交点为M,

在Rt△BCD中,点F是BD的中点,

∴CF=BF,∴∠BCF=∠CBF,

由(1)知,∠CAE=∠CBD,

∴∠BCF=∠CAE,∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°,

∴∠AMC=90°,∴AE⊥CF;

(3)如图3,设AE与CF的交点为M,

∵AC=,∴BC=AC=,

∵CE=,∴CD=CE=,

在Rt△BCD中,根据勾股定理得,BD==,

∵点F是BD中点,

∴CF=DF=BD=,

同理:EG=AE=,

连接EF,过点F作FH⊥BC,

∵∠ACB=90°,点F是BD的中点,

∴FH=CD=,

∴S△CEF=CE•FH=××=,

由(2)知,AE⊥CF,

∴S△CEF=CF•ME=×ME=ME,

∴ME=,

∴ME=,

∴GM=EG﹣ME=﹣=,

∴S△CFG=CF•GM=××=.

9、如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B、C在x轴上,∠ABO=30°,AB=2,OB=OC.

(1)如图1,求点A、B、C的坐标;

(2)如图2,若点D在第一象限且满足AD=AC,∠DAC=90°,线段BD交y轴于点G,求线段BG的长;

(3)如图3,在(2)的条件下,若在第四象限有一点E,满足∠BEC=∠BDC.请探究BE、CE、AE之间的数量关系.

解:(1)∵∠AOB=90°,∠ABO=30°,AB=2,

∴OA=1,OB=,

∴A(0,1),B(﹣,0),

∵OB=OC,∴OC=,∴C(,0).

(2)过点D作DM⊥y轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,

由题意,y轴是线段BC的垂直平分线,

∴AB=AC,∴∠ABO=∠ACO=30°,

∵∠DAC=90°,x轴⊥y轴,∴∠DAM=∠ACO=30°,

又AD=AC,∠AMD=∠CAO,

∴△AMD≌△COA(AAS),∴DM=AO,AM=CO,

∵AO=1,CO=,∴DM=ON=1,AM=,

∴D(1,+1),∴DN=+1,

又BN=OB+ON=+1,

∴DN=BN,∴△BND是等腰直角三角形,

∴∠DBN=45°,∴△GBO是等腰直角三角形,

∴BG=OB==;

(3)由(2)可知:∠DBN=45°,∠DCB=30°+45°=75°,

∴∠BDC=180°﹣45°﹣75°=60°,

∵∠BEC=∠BDC,∴∠BEC=60°,

延长EB至F,使BF=CE,连接AF,

∵∠ABC=∠ACB=30°,

∴∠BAC=120°,

∴∠ACE+∠ABE=180°,

∵∠ABF+∠ABE=180°,

∴∠ABF=∠ACE,

又∵AB=AC,BF=CE,

∴△ABF≌△ACE(SAS),

∴AF=AE,∠BAF=∠CAB,

∴∠FAE=∠BAC=120°,

∴FE=AE,

∴BE+CE=BE+BF=FE=AE,

即BE+CE=AE.

11、已知:点B、C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上

(1)特殊情况:如图1,当∠MAN=90°时,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证:△ABE≌△CAF.

(2)一般情况:如图2,当∠MAN为任意锐角时,若∠BED=∠CFD=∠MAN,则(1)式结论是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

证明:(1)如图①中,

∵∠MAN=90°,∴∠BAE+∠CAF=90°,

∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BEA=∠AFC=90°,

∴∠BAE+∠EBA=90°,∴∠CAF=∠EBA,

∵AB=AC,∴△BAE≌△ACF(AAS).

(2)如图2,(1)中结论仍然成立,

理由:如图②中,

∵∠1=∠BAE+∠ABE,∠1=∠BAC,∴∠BAC=∠BAE+∠ABE,

∵∠BAC=∠BAE+∠CAF,∴∠ABE=∠CAF,

∵∠1=∠BAE+∠ABE,∠2=∠CAF+∠ACF,∠1=∠2,∴∠BAE=∠ACF,

∵AB=AC,∴△BAE≌△ACF(ASA).

11、(1)如图1,AD∥BC,AD=BC,AC与BD相交于点O,求证:△AOD≌△BOC;

(2)如图2,过线段AB的两个端点作射线AM,BN,使AM∥BN.

①作∠MAB,∠NBA的平分线交于点E,∠AEB是什么角?为什么?

②过点E任作一条直线,交AM于点D,交BN于点C.

证明:DE=CE;

③试说明无论DC的两个端点在AM,BN上如何移动,只要DC经过点E,AD+BC的值就不变.

解:(1)∵AD∥BC,∴∠D=∠B,∠A=∠C,

∵AD=BC,∴△AOD≌△BOC(ASA);

(2)①∵AM∥BN,∴∠MAB+∠ABN=180°,

又AE,BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线,

∴∠BAE+∠ABE=(∠MAB+∠ABN)=90°,

∴∠AEB=180°﹣∠BAE﹣∠ABE=90°,即∠AEB为直角;

②延长AE,交BN于点F,

∵AM∥BN,∴∠MAF=∠AFB,

∵∠MAE=∠BAE,∴∠BAF=∠AFB,∴BA=FB,

∵∠AEB为直角,∴AE=EF,

∵∠DAE=∠EFC,∠AED=∠CEF,∴△DAE≌△CFE(ASA),∴ED=EC;

③由②中结论可知,AB=BF,无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,

总有△DAE≌△CFE,总有AD=CF;

所以总有AD+BC=2EF=AB.

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