素数分布之道(q=er).

素数分布 07-10 135

前言：

眼前姐妹们对“子集的计算公式”大概比较着重，大家都需要了解一些“子集的计算公式”的相关文章。那么小编同时在网摘上汇集了一些关于“子集的计算公式””的相关资讯，希望大家能喜欢，姐妹们快快来学习一下吧！

素数分布之道(原创彭秋年)

内容简介：㈠创建能量参照法生成素数分布新论；㈡论各种奇素数组合的分布；㈢论偶数u的素数分解对的分布；㈣论幂函数中的素数分布；㈤论梅森素数的分布.

关键词：能量参照法、素数分布新论.

㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.

首先陈述素数定理：如果以q表示自然数s以内的素数数量，则q=s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算更精确)

当s足够大时，显然满足：

(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.

且令：s以内集合X中大于2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x₁+1/㏑x₂…+1/㏑xₙ.

则有：s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q均接近于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X、N中与pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、zᵢ. (i∈N,p₀=2,i>0时,pᵢ表示第i个奇素数)

则有：i=1时，y₁=1，z₁=2/3；

i≠1时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

集合X、N中与p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：r₀=1；i>0时，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析：s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素，它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2；简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e.

则有：e=s/(3㏑s).

分析：s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积，即q=er=s/(2㏑s).

以此类推

且令：P={全体素数}；

X={x|x=pa+y,(a∈N)}.

(p∈P；y=1,2…p-1)

则有：p、y确定时，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P₀=P∩X.

则有：s以内集合P₀、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义：使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

素数定理与能量参照法结合为素数分布新论.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集；集合X中与pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

如果存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都接近于r；则称集合X存在参照常数r.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e，素数元素的数量为q. (s足够大)

则有：q=er.

㈡、论各种奇素数组合的分布.

①、将奇素数组合分为两种类型.

类型一、非动态素数链.

如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以某个奇素数p，所得互异的正整数余数为1,2…p-1.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a+u₁，a+u₁+u₂，… a+u₁+u₂…+uₙ}. (a为奇素数)

则有：序列A中至少有一个数能够被p整除.

当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或非动态素数链).

序列A中的元素包含p时才有可能均为素数，使得序列A能够包含p的a值数量有限.

因此，任一型号的非动态素数链数量有限.

类型二、动态素数链.

如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a+u₁，a+u₁+u₂，… a+u₁+u₂…+uₙ}. (a为奇素数)

当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或动态素数链).

且令：a，a+a₁，a+a₂，…a+aₙ₋₁均为素数.(2≤n＜a，2≤a₁＜a₂…＜aₙ₋₁)

则有：a₁，a₂，…aₙ₋₁除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

故a，a+a₁，a+a₂，…a+aₙ₋₁是动态素数链.

由此可知：任意n(n≥2)个互异且大于n的奇素数均可组成一条长度为n的动态素数链，几乎所有的奇素数组合都属于动态素数链.

②、以序列A={5,7,11,13}为例展开论述.

序列A={5,7,11,13}中相邻素数的间距依次是u₁=2，u₂=4，u₃=2.

且令：P={全体素数}；

Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令：Rᵢ=P∩Qᵢ；S₁=R₁∩R₃；

S₂=R₂∩R₃；S₃=R₁∩R₄；

S₄=R₃∩R₄；T=R₁∩R₃∩R₄.

则有：R₁={3,5,11…}；R₂={3,7,13…}；

R₃={5,7,11…}；R₄={3,5,11…}；

S₁={5,11,17…}；S₂={7,13,37…}；

S₃={3,5,11…}；S₄={5,11,23…}；

T={5,11,101…}.

[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分别由全体加2i型素数链的第一个元素组成；集合S₁、S₂、S₃、S₄分别由全体加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素数链的第一个元素组成；集合T由全体加2加4加2型素数链的第一个元素组成]

已知：s以内素数的分布密度是1/㏑s.

因此，s以内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同样是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.

已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.

且令：集合Q₁中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1；i>0时，yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则，

rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化为式B与式B'如下：

式B、

rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].

式B'、

rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.

式B中 pᵢ/(pᵢ-1)＞1；

[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]＞1.

(m=2,3…i)

因此，

rᵢ＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]＜1.

(m=2,3…i)

因此，rᵢ＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

经计算，rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

当i=253时，1.3196＜rᵢ＜1.3204；

随着i的不断增大，rᵢ→1.3203236…

因此，rᵢ→1.320(精确到千分位).

即，集合Q₁存在参照常数r=1.32.

因此，s以内集合Q₁中素数数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

同理可证：集合Q₂，Q₃，Q₄的参照常数依次是1.32，2.64，1.32.

因此，s以内加u(u=2,4,6,8)型素数链[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]数量分布的计算公式依次是1.32s/㏑²s，1.32s/㏑²s，2.64s/㏑²s，1.32s/㏑²s.

且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P₁=X∩R₁.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2)]

则有：p、y确定时，s以内集合P₁、R₁中的元素数量分布之比为1/(p-2).

(p=2时,用1代替p-2)

且令：

R₁'={x|x=a+6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.

已知：s以内集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此，s以内集合R₁'中元素的分布密度同样是1.32/㏑²s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合R₁'中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.

且令：集合R₁'中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1,y₁=1；i＞1时,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

经计算，rᵢ→2.165(精确到千分位).

即，集合R₁'存在参照常数r=2.165.

因此，s以内集合R₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑³s；即，s以内加2加4型素数链(集合S₁中元素)数量分布的计算公式是2.86s/㏑³s.

同理可证：s以内加4加2、加2加6、加6加2型素数链(集合S₂、S₃、S₄中元素)数量分布的计算公式都是2.86s/㏑³s.

且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P₂=X∩S₁.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6)]

则有：p、y确定时，s以内集合P₂、S₁中的元素数量分布之比为1/(p-3).

(p=2,3时,用1代替p-3)

关于rᵢ的计算谨作论述C(标识C备用)：

在计算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的过程中发现，n为任意正整数时，rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能够类似地化为两个式子，且使得：一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不小于1；另一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不大于1.

因此，n为任意正整数，rᵢ都将趋近于常数.

且令：

S₁'={x|x=a+8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.

经计算，集合S₁'存在参照常数r=1.451.

已知：s以内集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s. 因此，s以内集合S₁'中元素的分布密度同样是2.86/㏑³s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合S₁'中元素的能量和为

e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.

因此，s以内集合S₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s；即，s以内加2加4加2型素数链(集合T中元素)数量分布的计算公式是4.15s/㏑⁴s.

且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P₃=X∩T.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6,8)]

则有：p、y确定时，s以内集合P₃、T中的元素数量分布之比为1/(p-4).

(p=2,3时,用1代替p-4)

关于公式系数(例4.15)的计算谨作论述C'：

且令：序列U={u₁，u₁+u₂，u₁+u₂+u₃}中的元素(即2,6,8)除以素数pᵢ，所得互异的正整数余数为tᵢ个. (i=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；

b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有：m足够大时，

ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.

③、以②类推论各种动态素数链的分布.

如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

则有：s以内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

综合论述C、C'，系数cₙ的计算方法如下：

且令：序列U中的元素除以素数pᵢ，所得互异的正整数余数为tᵢ个. (i=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；

b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有：m足够大时，

cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n个常数之积=常数.

当㏑s＞n+1时，cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一个增函数，其值域为无穷大；因此，加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链存在无穷多条.

继续探讨

经分析整理，n为正整数，可得以下结论：

1、s以内加2加4…加2n型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

2、s以内连续n个加u型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s. (令与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)

3、s以内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1),(m-1∈N+,a=1,2…n)]

4、假设区间[n,2n)(n＞2)内存在t个素数，则该t个素数是一条长度为t的动态素数链；假设任意连续的n个自然数中，最长的动态素数链包含y个素数；n确定时，理论上能够通过有限个步骤的计算得到确定的t、y(且t≤y).

5、如果素数链的第一个元素在s以内，则定义该素数链在s以内；当n确定、s足够大时，(n+1)s以内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数；因此，s以内加u₁加u₂…加uₙ(uᵢ≤s,i=1,2…n)型动态素数链的数量总和接近于(s/㏑s)ⁿ⁺¹；因此，这些素数链数量分布的计算公式的系数总和接近于sⁿ.

[依据系数cₙ的取值规律同样可证(略)]

关于动态素数链伸展性与对称性的简论.

且令：序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数为a个；序列V={mu₁，m(u₁+u₂)，…m(u₁+u₂…+uₙ)}. (n、m∈N+)

则有：m被p整除时，序列V中的元素均被p整除；m与p互素时，序列V中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数同样为a个.

且令：序列W={uₙ，uₙ+uₙ₋₁，… uₙ+uₙ₋₁…+u₁}；序列U中的元素除以素数p，所得余数依次组成序列X={x₁，x₂，…xₙ}；序列W中的元素除以素数p所得余数依次组成序列K={k₁，k₂，…kₙ}.

则有：xₙ=kₙ；(xᵢ+kₙ₋ᵢ)除以p得到余数xₙ.(i=1,2…n-1)

因此，序列X、K中互异的正整数数量相等.

综合而论动态素数链的基本性质如下：

任一型号的动态素数链在自然数中的分布具有无穷性、谐和性、伸展性、对称性.

无穷性是指任一型号的动态素数链其数量都是无穷的.

谐和性是指任一型号的动态素数链都对应一个公式，其数量的分布状态接近于该公式的增长趋势. 同时存在更深层次的谐和性，且令全体加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链的第一个元素组成集合P'；且令X={x|x=pa+y,(a∈N)}；[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=u₁,u₁+u₂,… u₁+u₂…+uₙ),p对应k个y值]；Pₙ=P'∩X；则当p、y确定时，s范围内集合Pₙ、P'中元素数量分布之比为1/k.

伸展性是指将任一型号的动态素数链其相邻素数的间距统一放大到m(m∈N+)倍，即可得到m倍间距型号的动态素数链，s以内两者数量分布之比为常数.

对称性是指对于任一型号的动态素数链，都将存在与其相邻素数的间距对称的动态素数链，s以内两者数量分布之比为1.

㈢、论偶数u的素数分解对的分布.

且令：u(u>1000)为偶数；√u以内存在m个奇素数；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ；

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).(i=0,1…m)

则可推出rᵢ→r；

u=2ⁿ(n∈N)时，r=1.32；

u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，

r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].

每个偶数u都对应一个参照常数r.(r≥1.32)

经分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)以内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合X中元素的能量和为

e=s/(㏑s㏑u).

因此，s以内使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).{偶数u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2ⁿ(n∈N)时,r=1.32；u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]}

当s=u/2时，可得偶数u的素数分解对数量的计算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)

依据该公式判断哥德巴赫猜想成立.

㈣、论幂函数中的素数分布.

①、论一次函数(等差数列)中的素数分布.

以集合X={x|x=10a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ. (i∈N)

则有：10的素因数为p₀=2、p₂=5，对应y₀=y₂=1；i≠0、2时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：i＞1时，rᵢ=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.

即，集合X存在参照常数r=5/2.

简述：10以内有4个正整数(1,3,7,9)与10互素，对应集合X存在参照常数r=10/4=5/2.

s以内集合X中元素的能量和为e=s/(10㏑s).

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(4㏑s).

以此类推

且令：X={x|x=ma+n,(a∈N)}；

m以内有u个正整数与m互素.

(m,n为互素的正整数,m＞n)

则有：集合X存在参照常数r=m/u；s以内集合X中元素的能量和为e=s/(m㏑s).

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(u㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

②、论二次函数中的素数分布.

以集合X={x|x=a²+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1/2；

pᵢ=4c+1时，yᵢ=(pᵢ-2)/pᵢ；

pᵢ≠2、4c+1时，yᵢ=1. (c∈N)

又，4以内共有2个正整数(1,3)与4互素.

因此，s以内有1/2的pᵢ=4c+1.

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：i＞167时，rᵢ→1.36…

即，集合X存在参照常数r=1.36.

s以内集合X中元素的能量和为e=√s/㏑s.

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=1.36√s/㏑s.

以此类推

且令：A={x|x=a²+n,(a∈N}；

B={x|x=a²+a+n,(a∈N}；

C={x|x=(a²+a)/2+n,(a∈N}.(n∈Z)

则有：n确定时，s以内集合A、B、C中素数数量分布的计算公式都是q=er=rₙk/㏑s.[k表示s以内集合X(X=A,B,C)中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]

集合A的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n=-b²(b∈N)时，集合A的表达式能够进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-b²(b∈N)时，令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素，集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n|时，令tᵢ=1；当pᵢ=|4n|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；当pᵢ不能整除|4n|且pᵢ≠|4n|c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；s以内有1/2的pᵢ=|4n|c+bᵥ；i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数.(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果m=nb²(b∈N+)；b不存在与|4n|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；b存在与|4n|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，当dᵢ=|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，当dᵢ≠|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ.(i=1,2…x；c、bᵥ同上)

例如：

n=7时，|4n|=28，28以内存在12个正整数与28互素，集合A的正元素中包含的与28互素的素因数除以28所得互异的余数(有且仅有6个)组成序列B={b₁,b₂…b₆}={1,9,11,15,23,25}；

28的素因数为p₀=2、p₃=7，令t₀=t₃=1；当pᵢ=28c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；当pᵢ≠2、7、28c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1).(i∈N,c∈N,v=1,2…6)

又，s以内有1/2的pᵢ=28c+bᵥ；

经计算，i＞167时，r₇=t₀t₁…tᵢ=1.96…

因此，集合A={x|x=a²+7,(a∈N}的参照常数为r₇=1.96.

经粗略计算，r₁=r₄=1.36，r₂=r₈=0.71，r₃=0.78，r₅=0.52，r₆=0.71，r₇=1.96，r₀=r₋₁=r₋₄=0，r₋₂=r₋₈=1.89，r₋₃=1.38，r₋₅=1.78，r₋₆=1.04，r₋₇=0.75.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合B的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n为偶数时，集合B中的元素均为偶数，rₙ=0.

2、n为奇数时，令|4n-1|以内存在2u个正整数与|4n-1|互素，集合B的正元素中包含的与|4n-1|互素的奇素因数除以|4n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n-1|时，令tᵢ=1；当pᵢ=|4n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；当pᵢ不能整除|4n-1|且pᵢ≠|4n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；s以内有1/2的pᵢ=|4n-1|c+bᵥ；i足够大时，rₙ=2t₁t₂…tᵢ=常数.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|4m-1|=|4n-1|b²(b为正奇数)；

b不存在与|4n-1|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；b存在与|4n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，当dᵢ=|4n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，当dᵢ≠|4n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算，r₁=1.56，r₀=r₋₂=r₂=0，r₃=1.01，r₋₁=3.43，r₋₃=1.61.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合C的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n=-(b²+b)/2(b∈N)时，集合C的表达式偶数项与奇数项能够分开进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-(b²+b)/2(b∈N)时，令|8n-1|以内存在2u个正整数与|8n-1|互素，集合C的正元素中包含的与|8n-1|互素的奇素因数除以|8n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|8n-1|时，令tᵢ=1；当pᵢ=|8n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；当pᵢ不能整除|8n-1|且pᵢ≠|8n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；s以内有1/2的pᵢ=|8n-1|c+bᵥ；i足够大时，rₙ=t₁t₂…tᵢ=常数.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|8m-1|=|8n-1|b²(b∈N+)；b不存在与|8n-1|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；b存在与|8n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，当dᵢ=|8n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，当dᵢ≠|8n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算，r₁=1.98，r₀=r₋₁=0，r₋₂=2.35，r₂=1.24.(连续足够多个rₙ的均值为1)

综合而论

s以内集合X={x|x=k₂a²+k₁a+n,(a∈N}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.(k₂∈N+,k₁∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时(例如k₁、k₂为奇数,n为偶数时,所有元素都被2整除)，rₙ=0.

2、当集合X不符合上述第1条；k₁为偶数时，令A={x|x=a²+k₂n-k₁²/4,(a∈N)}；k₁、k₂、n均为奇数时，令B={x|x=a²+a+k₂n-(k₁²-1)/4,(a∈N)}；k₁为奇数、k₂为偶数时，令C={x|x=(a²+a)/2+k₂n/2-(k₁²-1)/8,(a∈N)}；当k₂=2ᵐ(m∈N)时，令b=1；当k₂存在奇素因数d₁,d₂…dₓ，dᵢ(i=1,2…x)整除k₁时，令bᵢ=dᵢ/(dᵢ-1)，dᵢ与k₁互素时，令bᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，令b=b₁b₂…bₓ；则rₙ等于集合X对应的集合(A,B,C三者之一)的参照常数值乘以b.

(k₁,k₂不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

③、论m次函数中的素数分布.

且令：X={x|x=kₘaᵐ+kₘ₋₁aᵐ⁻¹…+k₁a+n,

(a∈N)}. (m、kₘ∈N+；n、k₁…kₘ₋₁∈Z)

则有：s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时，rₙ=0；否则，按2、3条计算，rₙ＞0，集合X中素数无穷多.

2、集合X中的正元素除以pᵢ所得余数呈现周期性分布规律，周期长度为pᵢ；每个素数都对应一个余数周期，这些周期内最多有m个0，最少则无0，平均为一个0；令pᵢ对应的余数周期中有dᵢ个元素与pᵢ互素；令tᵢ=dᵢ/(pᵢ-1)；i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数. (i∈N)

3、第2条是关于集合X的rₙ值的直接计算法，前面计算表达式为二次函数的集合X的rₙ值用的是间接计算法，关于计算表达式为二次以上函数的集合X的rₙ值的间接计算法尚待探讨.

(m,k₁…kₘ不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

另外，当集合X的表达式中某些项的系数不为整数时，如果集合X中的正元素分布符合上述第2条，则集合X的rₙ值计算方法同上.