数据分析的核心：建模

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前言：

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为什么我们要系统的研究建模过程？我们去扩展一个学科边界的两条路径，去研究底层概念去扩展应用领域，我们今天从底层入手。

为什么我们要通过模型认识世界?

为什么我们不直接认识世界，而是要通过模型？

生命有限，时间有限，我们不可能面面俱到的去考察世界的方方面面，我们必然需要作出选择，去找到关键，模型就是一系列积累了前人的认识和描述世界智慧的经验.。生活中我们，都在自觉或者不自觉的使用模型。

举个栗子：我们马上要期末了，经过认真的学习，我们考了80分，自我感觉不错啊。都80分了，应该算是个优了。但是实际上可能存在这样一些情况：满分是200分……全班平均分90分……

这个过程中，我们无形之中使用了一个模型叫做比较：量纲一致，有基准的情况下，a>b才有意义。围绕这个简单的模型，各个学科发展出了庞杂的应用，比如：经济学中的成本/金融学中的理想收益基准等等。

为什么我们要系统的研究建模过程？我们去扩展一个学科边界的俩条路径，去研究底层概念去扩展应用领域。我们今天从底层入手。

1. 模型的概念

在日常话语体系中，我们往往存在这样的认知：建模=数学=科学=高大上=和我无关。

为了打破大家对于模型先天的一些偏见，我们先从本质上看模型到底是什么？模型其实就是抽象空间的一套演绎体系。

我们先看一下什么是抽象空间？

抽象空间是相对于现实空间而言的，现实中我们面对的世界往往是无穷无尽的，世界上有无穷的对象，每个对象有无穷的维度等着我们去认知，面对这样的世界，我们是没有办法直接去认识，我们需要主观的先建立一套选择标准，再选择一些特定对象，选择一些特定的维度，特定的过程，这个选择构成的集合就叫做抽象空间。

有些抽象空间是杂乱无章，互相矛盾的，比如：我们大多数普通人的思维世界其实就处在这样一个状态，大多数时候，我们不知道自己的信仰是什么，不知道自己世界观是什么，也不知道自己的价值观是什么，个人选择受环境的干扰特别大。

然而，还有一类抽象空间，里面的假设非常坚固，或者反映了人类社会的普遍诉求，比如：公平/正义/自由等，或者反映了科学共同体的基本共识，比如：能量守恒；或者是完全建构在抽象世界里的描述，比如：俩点之间直线最短。演绎论证非常严密，这一类抽象空间构成了人类智慧的结晶。

我们这里的模型，特指后者，一些凝聚了人类发展过程中智慧结晶的抽象空间描述。

知道了什么是模型，我们再来看看什么是建模过程? 建模的本质其实是现实世界和抽象空间的映射。

在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系。从这个定义里就可以看出，建模其实不存在绝对的对错，建模的方式，因为映射空间的不同，也可能存在千万种，但是我们如何选择建模方式呢？毕竟我们不能挨个建一遍吧？

我们评价一个模型的好坏可以从俩方面展开：

模型是否反映了对象的重要特征；模型和现实的拟合情况（解释/预测/复现）。

最后需要指出的是，任何模型都是一部“有色眼镜”，它在帮我们看清一些东西的时候，同时也遮蔽了我们对另外一些对象的观察。

所有模型都是错的，但是有些模型是有用的。

2. 数学建模的过程

数据分析的建模过程中，大多数时候，我们还是选择数学空间作为我们的映射对象。数学建模是应用学科的核心内容，任何一门科学都是在数学的框架下表达自己解决问题的思想和方法，并和别的专业或者方向分享这些思想和方法。任何一门学科，只有当其使用数学时，才是好的精确的学科。

分析实际问题中的各种因素，使用变量表示；分析这些变量之间的关系，哪些是相互依存的，哪些是独立的，他们具有什么样的关系；根据实际问题选用合适的数学框架（典型的有优化问题，配置问题等等），并具体的应用问题在这个数学框架下表出；选用合适的算法求解数学框架下表出的问题；使用计算结果解释实际问题，并且分析结果。

（1）模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为。

所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

（2）模型选择

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。

不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

（3）模型求解

可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

（4）模型分析

对模型解答进行数学上的分析，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

（5）模型应用

把数学上分析的结果翻译回到现实问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。