我们都学习过幂函数和指数函数，接下来我们先回顾一下这两种函数的基本性质。

所谓幂函数是指底数为自变量x，指数为常数a的函数。

幂函数：y=x^a

幂函数的性质比较复杂，随着a的不同取值，函数性质也会相应的变化，这里简单回顾一下最基本的性质。

①a＞0时：

1、图像都经过点(1，1)、(0，0)；

2、函数的图像在区间[0，+∞)上是增函数。

②a＜0时：

1、图像都通过点(1，1)；

2、图像在区间(0，+∞)上是减函数；

3、在第一象限内，以x轴和y轴为渐近线。

③a=0时：y=a^0的图像是直线y=1去掉一点(0，1)。

幂函数

所谓指数函数是指指数为自变量x，底数为常数a的函数。

指数函数：y=a^x（a＞0，a≠1）

指数函数的常见性质有：

①定义域x∈R；

②值域y∈(0，+∞)；

③函数图像必过点(0，1)；

④当a＞0时，函数在R上递增；当a＜0时，函数在R上递减。

指数函数

今天我们来讨论一个和幂函数与指数函数都有些相似的函数——幂指函数。

所谓幂指函数是指底数和指数都含有自变量x的函数。

幂指函数：y=f(x)^[g(x)]

幂指函数

其实，我们对幂指函数并不陌生，非常重要的自然常数e的定义就是一个幂指函数求极限。

e=lim[(1+1/x)^x]，x→∞

这里函数y=(1+1/x)^x就是一个幂指函数。

幂指函数的性质比较复杂，今天我们来讨论最简单的幂指函数：y=x^x

首先我们来讨论这个函数的定义域：

①很显然，当x＞0时，y=x^x在(0，+∞)上是连续的；

②当x=0时，我在之前的文章中已经详细分析过0^0是无意义的；

③当x＜0时，指数为负数时情况非常复杂，y=x^x在(0，+∞)上有无数个间断点。

y=x^x的图像大致如下：

刚才我们已经提到，对于函数y=x^x，当x=0时，0^0无意义，但是当x→0+时，这个函数是存在极限为1的。

0.1^0.1=0.794……

0.01^0.01=0.954……

0.001^0.001=0.993……

0.0001^0.0001=0.999……

…………

接下来，我们来求一下这个极限：

求证：lim(x^x)=1，x→0+

证明：

lim[ln(x^x)]=lim[x×ln(x)]

=lim[ln(x)/(1/x)]，x→0+

当x→0+时，ln(x)→-∞，1/x→+∞

此极限为"-∞/+∞"型的未定式，根据洛必达法则

lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]

=lim[ln′(x)/(1/x)′]，x→0+

=lim[(1/x)/(-1/x^2)]，x→0+

=lim(-x)，x→0+

=-0=0=ln1，x→0+

lim[ln(x^x)]=ln1=0，x→0+

lim(x^x)=1，x→0+，证毕！

由于当x＜0时，y=x^x在(0，+∞)上有无数个间断点，情况比较复杂，暂不展开讨论。接下来我们重点讨论当x＞0时的情况。

我们先看一下如下计算结果：

刚才已经计算出

lim(x^x)=1，x→0+

可以写成(0+)^(0+)=1

我们观察如下计算结果：

1^1=1

(1/2)^(1/2)=0.707……

(1/3)^(1/3)=0.693……

(1/4)^(1/4)=0.707……

(1/5)^(1/5)=0.724……

(0+)^(0+)=1

很显然，函数y=x^x在(0，1]上并不是单调的，那么y=x^x在(0，1]上的最小值是多少呢？在哪个点取到最小值呢？

接下来我们先来讨论y=x^x在(0，+∞)上的单调性，要讨论函数的单调性，需要对函数进行求导。那么，这个函数应该如何求导呢？这就必须利用到非常重要的对数恒等式。

对数恒等式：a^[log(a,N)]=N

证明：log(a,N)=x，a^x=N

a^x=a^[log(a,N)]=N，证毕！

对数恒等式a^[log(a,N)]=N有着非常重要的应用，利用这个恒等式，我们可以将任何正数x表示成指数与对数相结合的形式，而指对数的底数a可以为任何不等于1的正数。

x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)]

=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]

对数恒等式

我们利用对数恒等式x=e^[ln(x)]的变换，可以将函数f(x)=x^x进行如下转换。

f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[xln(x)]

利用复合函数求导法则，可对其进行求导。

(x^x)′={e^[xln(x)]}′

=e^[xln(x)]×[xln(x)]′

=(x^x)[(x)′×ln(x)+x×ln′(x)]

=(x^x)[1×ln(x)+x×(1/x)]

=(x^x)[ln(x)+1]

结论：(x^x)′=[1+ln(x)](x^x)

除了这种求导方法以外，还有一种很有技巧的方法，非常值得大家学习。

求：y′(x)=(x^x)′

解：y=x^x

ln(y)=ln(x^x)=xln(x)

等式两边同时求关于x的导数，注意到y(x)是一个关于x的函数，对关于y的函数求导时需要利用到复合函数的求导法则。

[ln(y)]′=[xln(x)]′

(1/y)×y′(x)=(x)′×ln(x)+x×ln′(x)

=1×ln(x)+x×(1/x)=ln(x)+1

y′(x)=y[ln(x)+1]=(x^x)[ln(x)+1]

结论：(x^x)′=[1+ln(x)](x^x)

接下来我们来讨论y=x^x在(0，+∞)上的单调性和最值。

令y′=(x^x)′=[1+ln(x)]×(x^x)=0

显然，当x＞0时，x^x＞0

1+ln(x)=0，ln(x)=-1

x=e^(-1)=1/e

注意那个神奇的自然常数e又出现了。

①当0＜x＜1/e时：

1+ln(x)＜1+ln(1/e)=1-1=0

y′=[1+ln(x)]×(x^x)＜0

函数递减；

②当x＞1/e时：

1+ln(x)＞1+ln(1/e)=1-1=0

y′=[1+ln(x)]×(x^x)＞0

函数递增。

③当x=1/e时，函数取得最小值

ymin=(1/e)^(1/e)≈0.6922

这和我们之前给出的函数图像性质完全符合。

我们来总结一下今天学习的知识点：

①y=x^x在(0，+∞)上是连续的；

②当x=0时，0^0无意义；

③lim(x^x)=1，x→0+；

④当x＜0时，y=x^x在(0，+∞)上有无数个间断点；

⑤x^x=e^[x×ln(x)]；

⑥(x^x)′=[1+ln(x)]×(x^x)；

⑦y=x^x在(0，1/e)上单调递减；

⑧y=x^x在(1/e，+∞)上单调递增；

⑨当x=1/e时，y=x^x在(0，+∞)上取得最小值(1/e)^(1/e)。

最后留给大家一个趣味方程。

求解方程：x^x=x

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