先看算术基本定理：

每一个大于1的整数都能分解成它的素因子之积，且如不计排列的先后顺序，其分解法还是惟一的。

证明 若a为素数，自不待言。今设a非素数，而p1为其最小非1因子。显见p1为素数，令a=p1a1(1＜a1＜a)，若a1已为素数，命题已明；不然，再令p2为a1的非1最小因子，可得a=p1p2a2(1＜a2＜a1＜a)；如是而下，直到引出一个等于1的ak+1而止。因a＞a1＞a2＞…＞1 至多只有a项，故这种ak+1总能求得。最后我们得到

a=p1p2…pk

其中, p1, p2, …, pk皆为素数。

比如，12=2x6=2x2x3

下证惟一性。 假设对同一a还有第二个素因子分解式

a=q1q2…qt

那么

p1p2…pk=q1q2…qt

上式右端能被q1除尽，因此根据命题2，上式左端至少有一个因子应该被q1除尽，不妨设p1能被q1除尽，那么p1=q1（除掉1以外， p1只能被p1除尽）。约掉两边因子p1=q1，得到p2p3…pk=q2q3…qt。 对这个等式重复引用前述论证可得p3…pk=q3… qt ，依次类推，直到有一边（不妨设为左边）的因子全被约掉为止。与此同时，右边所有因子也应被全部约掉了，原因是1=qk+1…qt对大于1的qk+1…qt不可能成立。

这样，第二个素因子分解式与第一个完全相同。

例如：105=3·5·7； 180=2·2·3·3·5。

在a的因子分解式中，可以有一些因子是重复的。用p1, p2, …, pk表示a的所有不同的素因子，用α1, α2, …, αk 表示它们在a中重复出现的次数，可以得到a的标准因子分解式

下面是大于1的整数公因子个数的证明：

比如36=2*2*3*3,公因子个数为（2+1）*（2+1）=9个，即1，2，3，4，6，9，12，18，36共9个。这个问题也可以这样考虑：（2，4）和（3，9）都是36的因子，两者相加就是4个，然后两个集合每个元素相乘又得到4个，再加上1，共9个。

比如，108=2*2*3*3*3，则其因子之和为[（8-1）/（2-1）]*[（81-1）/（3-1）]=280。可以得到，108的因子有3*4=12个，分别是1，2，4，3，9，27，6，18，54，12，36，108，其和正好是280。

以下是几个应用的例子：

例1 设τ(a)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)=3，求a。

解 因3为素数，故τ(a)的连乘表达式中只能有一个因式。 所以τ(a)=α1+1=3，即α1=2。又因2是最小素数，所以应在a的标准分解式中取p1=2，从而a=p1α1=2*2=4，a的3个因子为1，2， 4。当然，9也有3个因子1，3，9，但一般要求的是最小正数。

整数的素因子分解方法是一种非常重要的方法，也是一个最基础的理论，对于学习代数来说非常重要，应该熟练掌握。