文/老余

课堂里的数学，确实让人脑阔疼，比如概率，什么黑球白球、拿出来放进去的，和我们的生活有什么关系？能让我发财不成？

「课堂里的数学」确实与现实生活没啥联系，但「数学本身」真的与我们的生活联系紧密，掌握了一些基本的数学知识，虽然不敢保证能发财，起码能让我们明白一些基本的投资逻辑，避开一些坑是完全没有问题的。

所以，如果你被数学课堂伤害过，过去了就让它过去，是时候放弃这种情绪了，因为数学：

——是这个世界的底层逻辑。

不管你愿不愿意、承不承认，这个逻辑不以任何人的意志为转移。

本篇是数学思维的第14篇，综合说一说期望值、正态分布和标准差在投资里的基本运用，主要讨论如下几点：

期望值——粗略量化风险标准差——精细量化风险（一）期望值——粗略量化风险

现在，有一个投资机会摆在你面前，发小说他有一个好生意，每人投资10万块，只要1个月，投资回报率是50%，你们是穿开裆裤一起长大的，你很了解他，所以他说的话可信度极高。

你上当受骗的概率几乎没有。

你是否参与的唯一不确定性，就是生意本身的风险，于是发小介绍了大致过程：

非洲那边有个小国家正在闹瘟疫，需要大量的青霉素，20万的货运到那边去，如果没有差错的话，能卖60万，利润率是200%，但这个小国刚被老美制裁，政局不稳，所以这批货有50%的概率直接被抢或者被当局没收，血本无归。

发小是这么算出投资回报率的，因为他知道「数学期望值」这个概念，这盘生意计算如下：

200%（成功了的利润率）×50%（成功概率）-100%（失败了利润率）×50%（失败概率）=50%

利润率确实是50%。

什么是「数学期望值」？

这与我们口语中的期望完全不是一回事，在数学里是指：

一件事可能出现的所有结果，乘以这个结果出现概率的和，就是数学期望，你对比一下上面的等式就明白了。

它反映的是随机变量均值的大小。

就是这么个生意，运气好，你投10万块，1个月后拿回30万，运气不好，1个月损失10万块。

你投还是不投？

数学虽然是这个世界的底层规律，但并一个定理并不通用于所有人，这里就要分两种情况：

1、如果你有钱，或者说不太在乎这10万块。你应该投，因为数学期望为正，且有50%的概率博200%的利润，这笔生意值得做；

如果你真的有钱，也遇到了这样的生意，你和发小不仅要投，还得继续问一个更深刻的问题——疫情大概还要持续多久？我们能不能每个月都往那边送20万的药？（这里只讨论数学，不涉及道德问题，所以不要抬杠说我怎么这么坏，怎么不希望疫情早点结束。）

为何要问这个问题？因为只要运药的次数足够多，你就不必在意哪一次赚了哪一次赔了，多次下来，这项连续投资就会符合「大数定理」，而这个定理会让你的整体利润趋近50%。

什么是大数定理？

一件事只要重复的次数足够多，算数平均值就会无限接近「数学期望值」。

赌场能稳稳赚钱的核心逻辑，就是利用了「大数定律」+「数学期望」。

2、如果你只有这10万块，或者还要借钱。这笔生意就不值得做，因为有50%的概率血本无归，失败的概率不小。

所以：

之所以有钱人会更有钱，原因之一是：只要在「正期望值」的项目里出手的次数足够多，「大数定律」就会为他们所用，他们根本不在乎一次两次的失败，「大数定理」会保证他们获得的整体收益收敛于那个「正期望值」，稳赚。而穷人之所以会越穷，是因为即使看到了一个生意的「数学期望值」是正的，但我们试错的成本太高，输一次就可能倾家荡产——我们“用不起”「大数定律」。

那我们穷人就没有机会了吗？

有。

虽然我们无法用多次博弈来争取「大数定律」，但我们可以尽量提高那仅有投资次数的安全边际。

怎么做到？

一个生意除了要考虑「正期望值」外，还有一个维度就是「标准差」，而标准差是对抗单次风险很好的数学定理。

正态分布的均值与标准差

（二）标准差——精细量化风险

世界上很多事，只要因素之间是相互独立的，基本都符合正态分布，比如人类的智商、身高，要做一笔投资，我们也可以把后面各种可能性看做是一个正态分布。

从上图中可以看出，一个正态分布曲线有两个变量：均值（μ）和标准差（σ）。

均值（数学期望值）——决定了曲线在坐标系里的位置；标准差——决定了曲线的宽度。

上一P中我们知道，数学期望值为负时，这就是个坏生意，比如去澳门，赌的次数越多，整体输的概率就越大，理性人是不会这么干的。

所以，我们第一个追求的是正期望值，然后为了降低风险，我们需要关注一个生意回报的标准差。

啥是标准差？

数学概念就不说了，用在这里就是：

——这个生意的波动要小。

拿前面去非洲买药的例子来讲，平均利润是50%，虽然期望值，即均值（μ）=0.5是正的，但波动太大，要么赢200%的利润，要么输的裤衩都不剩，这个标准差（σ），就太大了。

标准差，代表着风险，即：

标准差越大，风险越大，当然也有高回报的可能性；标准差越小，风险越小，虽然没有高回报，但我们穷人输不起，等积小胜为大胜后，我们再考虑标准差大的项目也不迟。

所以，在我们日常投资中，最常见标准差大的投资就是股票，作为散户，除非你是有真本事，才有可能稳定地在市场里赚钱。

如果对自己的能力有清晰的边界，仔细在各种基金里找一找「均值」相对高一些，且波动小一些的基金，应该是较好的选择，在房产市场这么低迷的今天。

四象限

（三）结语

这几年，真的是“百年未有之大变局”，各种黑天鹅频出，我们怎么在不确定性中找出点确定性？

从以上分析我们知道：

「期望值高，标准差小」的生意是最好的，但这都是垄断行业的特征，你只能期望下一代能进入这种行业里，我们就不要想了；

「期望值高，标准差也大」的生意，这是那种周期性非常强的行业，或者突发的意外事件导致的特殊市场需求，比如当年的口罩，这是富贵险中求的买卖，如果你承受不起一次性失败的代价，最好不要这么做；

「期望值低，标准差还大」的生意，就是那种利润薄如纸，投入还大的，风险与收益严重不对等，如果你还没有进去，那就别进了；

最后，就剩「期望值低，标准差小」的生意，相当于饿不死吃不撑的那种，但这或许是现在的首选。

因为《兵法》云：“昔之善战者，先为不可胜，以待敌之可胜。”

我们先要让自己处于不败之地，不能因为乱动作而下了牌桌，只要还在桌上，还在参与，才在未来某个时候机会来时，发出“致命一击”。

那要是机会不来呢？

我只能告诉你，这个世界所有人的人生际遇也符合正态分布——绝大多数人的一辈子注定平平淡淡。

而你我，并不特殊。

（完）