定义

贝叶斯定理/规则/法则：

一般应用于生成式模型分类、贝叶斯估计等场景。

朴素贝叶斯

经常应用在新闻文章分类上，给定一篇文档，推测其类别标签。

对文档的建模如上，所有文档，根据词典长度统一向量化，文档中出现某个词，则在响应位置置1，否则为0，一个词只有两个取值，所以朴素贝叶斯也称为多元伯努利模型(multi-variate Bernoulli event model)。

朴素贝叶斯假设：在给定文档类别情况下，每个单词出现的概率相互独立。

结合文档建模、NB假设，朴素贝叶斯的最优化过程如下：

由统计量的结果可知，各参数非常符合直觉，符合大数定律。

同时分类本身对类别数量没有要求，类似的方法直接应用于多分类。

根据贝叶斯定理，预测过程如下：

注意这里有一处异常，就是当某个单词在所有类中都没有出现过的情形：

可以采取拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)，p(y)一般都是有取值的，主要针对单词的条件概率即可。

分子加1、分母加k，其实是引入一种均匀先验1/k，当样本量足够大时，结果与平滑之前的最大似然估计一致。

多项式事件模型

多项式事件模型(multinomial event model)与朴素贝叶斯分类差异在于对文档的建模上。

多项式事件模型将一篇文档看作一个随机生成过程：

根据p(y)选择分类；从p(X|y)分布中，采样单词，逐词生成文档。

假设词典长度为|V|，那么每次采样，都有|V|种可能性，所以称为multinomial，区别于朴素贝叶斯的Bernoulli{0, 1}。

注意每一个文档的长度就不一定一样了，取决于文档包含的单词个数n。

从最大化似然的结果来看，模型不仅仅考查文档是否包含某单词，还统计单词的频率，单词出现次数不同，概率不同。

以上贝叶斯分类相关的文献，取自Andrew Ng CS229讲义。

贝叶斯估计

贝叶斯估计与最大似然估计的不同在于参数θ也是随机变量。

最大似然估计通过最优化方法最后要学习的是一个固定的参数θ或一组向量θ，参数θ是确定的，只是不知道。贝叶斯估计的假设是参数θ本身是个随机变量，通过分布描述。

在似然的基础上，引入了先验，当样本数据量不充足时，先验就会变得比较重要，能够引导模型更好的估计。

在已有观察基础上，预测事件x的贝叶斯估计方法为对参数θ求积分：

实际应用中，会对积分进行近似，使问题可求同时提高推理速度。

由于逻辑回归、朴素贝叶斯分类等都出现过似然之类的符号，由贝叶斯估计直接类比不同模型，符号很容易混淆，但明晰两点，问题能清晰不少：

采用贝叶斯估计之前，确定随机变量θ和x。X为观察集，对应到监督学习，应该是(X, y)，一般把y当作随机变量，X当作固定的数据集。贝叶斯线性回归

线性回归的概率视角是残差ϵ服从高斯分布。

下图能感受到贝叶斯估计是在已有数据或经验基础上，逐步学习，重新衡量，优化目标分布。

贝叶斯估计学习的是分布，不仅能推测而且还能说明推测的有对准。

这很符合人的学习认知，但是求积分是很耗时而且有的分布积分不易求，当样本数据量不足的时候，贝叶斯估计能更好地发挥先验认知。

本节相关文献来自The Machine Learning: A Probabilistic Perspective by Kevin P. Murphy。

总结

贝叶斯公式/定理/规则/法则本身很简单，表达结合先验和新数据，预测后验的自然法则。

机器学习中很多模型都可以从概率视角重新审视，也就可以采用贝叶斯定理分析。

如果不考虑时间复杂度，如果任意分布都能有效表达，基于贝叶斯定理的方法还是很有用武之地，这可能是人工智能最外层的最终的自然推理形式。