一、基本轨迹

常用的基本轨迹有：

（一）直线形

1.两定点+等距⇒垂直平分线

2.两定线+等距⇒两条角平分线

3.一定线+定长⇒两条平行线

（二）圆弧形

4.一定点+定长⇒圆

5.一定线+定角⇒弧

例题解析

1.已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0, 0)、A(5, 0)、B(m, 2)、C(m-5, 2)。

（1）问：是否存在这样的m，使得在BC边上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值。

分析：

（1）BC的轨迹是过(0, 2)的平行线，P点的轨迹是以OA为直径的圆。两轨相交可确定P点，求得坐标为(1, 2)或(4, 2)。BC是平行线上长为5的线段，易求得当P在线段BC上时的取值范围。

（2）由四边形OABC是平行四边形可得∠AQO=90°，Q即是（1）中P点，因而容易解决。

2.如图抛物线y=1/3(x-2)^2-4/3与x轴交于点A，将抛物线在x轴下方的部分沿经x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，过点B(0, 1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C、D、E、F,点P是图象G上一点，其横坐标为m，连接 PD、PE，直接写出ΔPDE的面积不小于1时m的取值范围。

分析：

求得 D(1, 1) E(3, 1)，当SΔPDE=1时，高PH=1。此时P在到直线l距离为1的两条平行线上。当SΔPDE>1时，P点在两条平行线的外侧。

满足条件的范围即为黄色区域与函数图象G的交集部分：m=0, m=4, m≤2-√10, m≥2+√10。

3.在平面直角坐标系中，设二次函数y=（x+a）（x-a-1），其中a≠0，已知点P（p，m）和Q（1，n）在函数图象上，若m>n，求p的取值范围。

分析：

求得抛物线的对称轴为直线x=0.5，由二次函数的性质知点离对称轴距离越远函数值越大，点Q到对称距离为0.5，所以P点到对称轴距离需大于0.5，P点轨迹应在下图红色区域内。

观察图形容易得p<0或p>1。

二、动点轨迹与路径最值综合题

（一）乾坤倒转

例1.如图，点A是直线y=-x上的动点，点B是x轴上的动点，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，则OD的最大值为 。

解析：本题从常规方法看，应寻找D点轨迹，但这里似乎不好确定D的运动轨迹是哪种图形。

由题意知∠AOB=45°或135°，AB=2，为定线对定角基本图形，所以O点在以AB为弦的圆弧上。考虑到点D与矩形及AOB外接圆的相对位置不变，所以我们换一个角度，让圆和矩形不动，则O点是圆P上的动点，也即点O的运动路径是圆P，从而OD即为定点D到圆P的路径。

如上图，易知点心距PD=1，圆P的半径为√2，所以OD的最小值为√2-1，最大值为√2+1。

本题也可以从三角形三边关系判断，如下图，OP+PD≤OD≤OP-PD，但仍需先判断OP为定值，即AOB共圆，且OPD三点可能共线。

若题目关键点中的动点较多，定点较少，可以根据运动的相对性，把动的部分静止，就相当于把定的部分运动，来一个乾坤倒转，问题就很清楚明了。

（二）主从联动

例2.如图，已知点A（3，0），C（0，－4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点.连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值= 。

分析：此题中的O点是定点，M点是动点，显然要先确定动点M的运动轨迹是什么图形。从条件看，M点随P点运动，且与定点A的距离比为定值AM：AP＝1：2，符合主从联动型问题，得M点运动轨迹为以AC中点为圆心，以圆C半径的1/2为半径的圆。

如上图，转化为定点O到定圆D的最短路径，得最大值为5/2+√5/2，最小值为5/2-√5/2。

另外，本题也可以根据中点条件构造OQ=AO得中位线OM=1/2PQ，转化为求PQ的最小值，仍然是求定点Q到定圆C的最短路径问题，其本质并无不同。

（三）观木见林

例3.已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC＝90°，AB＝AC，求OC的最小值。

分析：本题中点A、B都是圆O上的动点，若要完整地画出C点轨迹，可能不太容易。首先看用电脑画出A、B两点双动时C点的轨迹，如下图。

可见，点C的轨迹应是一个封闭的圆环。但是不用几何画板这样的工具的话，好像不容易看到这个圆环。

怎么办呢？当然有办法，可以按照下面的方法解决。

（1）若点A不动，点B在圆O上运动一周，则点C是由动点B绕定点A逆时针旋转90°而来，点B是主动点，点C是从动点，所以此时点C的运动轨迹也是由点B的运动轨迹绕点A逆时针旋转90°而得，即⊙O绕点A逆时针旋转90°就是点C的轨迹，如下图。[原理参阅：探本求源－秒解旋转缩放型的动点路径问题，也有老师形象总结为“瓜豆原理”]

再把点A在圆O上运动一周，这时红色轨迹圆也随之绕点O运动一周，如下图。

上图的的红色区域就是完整的C点轨迹，它是点A、B在圆周上随机运动时C点所有可能的位置。

由上图可知，P点的完整轨迹是红色圆环，转化为求定点O到红色圆环的最短路径，得内圆半径3√2-3即为OC的最小值，外圆半径3√2+3即为OD的最大值。

当然，为简单起见，如下图，我们让A点静止在某处不动，C点随B点运动一周形成的轨迹是圆D，此时转化为定点O到定圆D的最短路径，可以得出同样的结果。为什么可以用这一种位置代替上图中整个圆环？因为点A与圆心O的距离不变，无论点A运动到何处，点O到C点所在轨迹的相对距离都相同。即可以让点A不动代替点A运动一周的所有情况，上图的点O到圆环与下图的点O到圆D的最短（长）路径结果是一样的。（此处有点烧脑，需从动态视角和全局视角考虑）

（2）若点B不动，点A在圆O上运动一周，则点C是由动点A绕定点B逆时针旋转90°且放大√2倍（因CB：AB=√2：1）而来，点A是主动点，点C是从动点，所以此时点C的运动轨迹也是由点A的运动轨迹绕点B逆时针旋转90°且放大√2倍而得，即⊙O绕点A逆时针旋转90°且放大√2倍就是点C的轨迹，如下图。

此时轨迹圆心D同样是点O绕点B逆时针旋转90°且放大√2倍而得，如下图，转化为求定点O到定圆D的最短（长）路径问题。

若再把B点也运动一周，下图的绿色轨迹圆也随之绕点O旋转一周所形成绿色圆环就是C点的全部轨迹，同（1）中红色圆环完全一样。可见用不同的方法可以得到完全和谐一致的结果！

（3）若嫌上面的方法不好理解，也可以换个角度思考：

把ΔACO绕点A顺时值旋转90°得ΔABD，看出这样有什么好处吗？

CO转化为BD，并且BD在ΔBOD中，最关键的是BO、DO为定值，由三边关系易得：DO-BO≤BD≤DO+BO。此种方法的巧妙在于通过旋转得到一个大小确定的等腰直角三角形ADO，从而为解题带来方便。

上图本质上还是转化为圆到圆的最短路径，如下图，DO=3√2，所以点D在以O为圆心3√2为半径的圆上，而点B在以O为圆心3为半径的圆上，BD即为两个同心圆之间的路径，最小值为3√2-3，最大值为3√2+3。

本题中A、B两点双动时C点轨迹是下图中绿色圆环，实际解题时只要动其中一点即可。如下图的红色圆P，实质是从整个圆环轨迹中取一个圆，此时的情形可以代表整个圆环所有的情形，也即“观木见林”、“管中窥豹”，但首先心中要有“森林”、有“全豹”，否则便只知其然，不知其所以然。

如何理解动点和它的轨迹的关系？也许下面的几个比喻有所帮助。

真是：动静辨分明，虽然你走我行各有路径，却是相牵相伴命中注定；点动有轨迹，犹如一片树木接连成林，恰似一捧珍珠互串成链。突然发现，数学离诗歌很近，离哲学也很近！

变式题：

已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC＝90°，AB:AC=4:3，求OC的最小值.

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