我们都知道圆周率π是一个非常神奇的数字。其实在数学中，还有一个神奇的数字，思考不逊于π，这个数字就是自然对数的底数e。

世界上最大的搜索引擎谷歌公司在2004年8月19日上市，在招股说明书中称将融资规定为2718281828美元(约合人民币16763644033元)。并且Google两名创始人拉里-佩奇和谢尔盖-布林在招股说明书的一封公开信中称，公司的目标是“不作恶”(Don’t be evil)。

谷歌上市

抛开搜索引擎是不是作恶这个问题不谈，我们谈一下，为什么谷歌的创始人要把融资规模规定成2718281828美元呢？要知道，这两个人可都是美国硅谷的天才，数学思维可是顶呱呱，规定这个一个数字肯定是有深远意义的。

原来这个数正好是自然对数的底数e的近似值。

那么，这个e到底是什么东西？他和我们的生活又有什么关系呢？

今天我们尝试用跳开数学说数学，更宏大的视角来讲讲e的故事，让不太懂数学的人也能理解什么是自然对数的底数。

e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。

有的人说，什么自然常数嘛，连个有理数都不是，居然还说是自然。其实这个自然，并不是我们所说的大自然的意思，而是有一点“理所当然，天然存在”的意思。

要理解这个天然存在，我们还要追溯到古希腊时期。不得不说，古希腊文明的存在是人类历史上的一个奇葩。我们常说四大文明，其实从对人类现代文明的影响程度来看，四大文明的总和都未必能比得上古希腊文明。

雅典学派

现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。古希腊的故事有机会的话，这个以后我们再慢慢给大家细说。今天我们只从古希腊对数字的理解这个角度来说。

毕达哥拉斯

我们知道古希腊的毕达哥拉斯学派在当时的影响力特别大，有点中国墨家的意思。这个学派收很多学生，却对自己的研究成果非常保密。其中有一项成果就是发现了“毕达哥拉斯定理”，也就是中国人所谓的“勾股定理”。这在当时的造成了很大的轰动。毕达哥拉斯本人也认为掌握了上帝创世的秘密，也就是“万物皆数”。什么意思呢，就是说万事万物都存在着数量的关系，这是天经地义，非常自然的事情。

但是所谓的“万物皆数”，在当时这个数字，其实指的仅仅是有理数。这就是当时人们的认识程度。以至于一个学生希帕索斯发现根号2这个数以后，毕达哥拉斯大惊失色，认为这个学生被魔鬼附体了，才创造出这么冒犯上帝的数字，就把他扔到海里喂鱼了。

所以科学的进步，离不开宽容的态度，尤其是权威者的宽容。只有掌握了必要的运算，规律，数学才能逐步地成长起来。

我们知道根号2的发现，解释了x^2=2 这个式子。引入了开方运算后，居然可以利用有理数2，来产生一个无理数 。

好了，回到我们的话题主角，自然常数e。他的发现也离不开有理数，更具体的说是离不开利息的计算。

美索不达米亚在今天的伊拉克地区

7000年前，美索不达米亚的苏美尔人因为发达的农业和贸易，建立起人类最早的文明和城市，也第一个发明了利息。打一个比方，就像一个人是把一只耕牛借给了别人，除了可以得到耕牛的租赁费用以外，还应该得到出售牛奶和小牛犊的钱。同样的，把钱借给别人，也应该得到钱再生的那部分钱，这就是利息。

关于这一点，后来的柏拉图和亚里士多德坚决反对，钱又不是活物，怎么会省钱呢？柏拉图式亚里士多德的老师，苏格拉底是柏拉图的老师，这三个人被合称 “希腊三贤”，在哲学和逻辑学方面贡献良多。这个也不是我们今天说的重点。以现在的观点来看，柏拉图和他的学生是错了，钱用于投资的时候，是可以生钱的，这是现代经济学的一个基本常识。

举一个例子：

如果一个人投资1元，年息率是100%，那么第二年他就可以得到2元。

如果一年结算两次利息，那个半年的利率应该是 ，第二年可以得到本息

如果每年结算三次利息，那么第二年可以得到本息

我们再往下看，寻找规律：

假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元
假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年利滚利的余额≈2.7182817813元。这个数越来越接近于e了！

但是我们能发现利滚利的本息也有一个极限，这个极限就是e。它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。这就是e的来历。

现在我们可以比较一下圆周率π和自然常数e这两个著名常数。

· 边数越多越接近圆，利滚利越多越接近最大收益；

· 一个对角线为1的多边形，其周长的极限值是π；

· 一个本金为1利率为1的存款，其存款余额的极限值是e。

按照古希腊的自然思想来看：

· 对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个“无理”的数；

· 对于最快速的指数增长来说，e才是自然的，这是指数增长本身的属性。

一个是π，一个是e，看似两个毫无关系的无理数，在性质上居然有如此相似之处，这恰恰又说明了数学的美无处不在。

那么我们再来说说，对数有什么用。

我们知道在某些领域要进行一些非常复杂的计算，尤其是在天文学里。数学家为了计算两个行星之间的距离，或者是某颗行星的轨道，计算中涉及到的数值是非常大的。而且会经常用到两个数相乘的情况。

但是对数有一个好处，他可以把两个数的乘积，转化成两个对数的和。算加法总比计算乘法要简单，那么现在的问题就转化成了求出logA和logB的值了。

在历史上解决这个问题的人叫做约翰·纳皮尔（1559-1617）。说起皮纳尔，也是一个数学史上的奇葩。

为什么这样说呢？皮纳尔出生在一个苏格兰贵族家庭，一生没有一个正当职业，吊儿郎当。年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教(天主教)的急先锋(主要文章于1593年写成)。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器(包括拏炮、装甲马车、潜水艇等)准备与其拼命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。

1594年，纳皮尔为了寻求一种球面三角计算的简便方法，就想创造一种新的工具。纳皮尔不是一般人，特别能耐得住寂寞，于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。

对数的发明，也帮了当时很多天文学家一个大忙。欧洲历来重视天文学，从古希腊时代就不断有人对天体运动感兴趣。数千年来更是对绘制天体星图乐此不疲。从公元1世纪的托勒密到公元16世纪的哥白尼，都曾经长期观察天体运动，并且绘制出了许多星空图。

古时北天星图 （尤指古埃及、古希腊和古罗马时期）

古时南天星图 （尤指古埃及、古希腊和古罗马时期）

但是古代的星空图由于测量和计算工具的原因，一直都打不到满意的精确度，直到纳皮尔发明了对数，第谷和他的学生开普勒彩绘画出了当时最精确的天体分布图。有了高精度的星图，全欧洲的数学家开始了天体轨道的计算竞赛，很多科学家也因此获得了商业和学术上的丰厚回报。那时的天文学家、数学家可不是像现代这么冷门，更像当今那些IT、金融等热门行业里的精英一样，享受着人人羡慕的不菲高薪。
而科学家们也发现，在做数学分析时，用e做底数的对数 ln x 做计算，其形式是最简约的，用其他对数例如lg x 做计算，都会画蛇添足的多一些麻烦。
自然对数ln x 就像美学上的“增之一分则太长，减之一分则太短”。
拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。
伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”
对数学家来说，最简就是最美。这是一种纯理性的美，通过感官是无法欣赏的，只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。这种美令无数数学家为之痴迷，虽然不会像毕达哥拉斯那样狂热，但也终其一生孜孜以求。