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形象直观的“2X2矩阵”乘法运算的本质原理

电子通信和数学领域 1333

前言:

现在看官们对“两个旋转矩阵相乘”大致比较注意,大家都需要知道一些“两个旋转矩阵相乘”的相关内容。那么小编也在网上汇集了一些对于“两个旋转矩阵相乘””的相关文章,希望大家能喜欢,兄弟们一起来学习一下吧!

2X2矩阵是线性变换中的基本矩阵,关于它的运算大家早已熟悉,但你知道它背后的原理吗?

先来了解几个运算概念

保持i不变,j在平面上旋转,向一边挤压,这样的变换矩阵我们称为剪切矩阵。

由此可得出xy在剪切变换后的位置。

我们来看一个图形的两次变换:

i j逆时针旋转90度

在经过剪切变换,就得到如图的样式

所以这个变换就是旋转和剪切的复合变换,假设i j变换后的向量是i=<-1,0> j=<1,1>

就得到如下等式

整理就得到一个2X2矩阵,

这样的推导是否正确的,来看一个旋转和剪切的过程的例子。可以说明这一点

​我们分部来看2X2矩阵相乘的意义,M2是个剪切矩阵,M1第一列在图中的位置

M2乘以<1,1>就得到如图的位置

M2乘以<-2,0>就得到如图的位置

最后就得到如下结果

上述的原理具有普遍性:

最终得到通用的2X2矩阵乘法公式:

矩阵相乘是否满足交互率呢?

请点击输入图片描述

同样单位矩阵,先剪切变换,后旋转变换的图形:

i <1,0>,剪切后<1,0>,旋转90度后<0,1>

j<0,1>,剪切 后<1,1>,旋转90度后<-1,1>

同样单位矩阵,先旋转变换,后剪切变换的图形:

i<1,0>,旋转90度后<0,1>,剪切后<1,1>

j<0,1>,旋转90度后<-1,0>,剪切后<-1,0>

所以明显两个图形不一样,所以矩阵不满足乘法交换律

是否满足结合律呢?有兴趣的朋友可以自己验证下

以上就是矩阵复合运算,也就是2X2矩阵的乘法运算。

标签: #两个旋转矩阵相乘