混沌的特点，一般指混沌的内涵。混沌运动的属性，更多指的是混沌的的外延，即混沌系统随时间和空间的演化规律。混沌运动具有明显的 “对初始条件的敏感依赖性、内随机性、非周期性、遍历性、奇怪吸引子、自组织、对称破缺、有限性、普适性、统计性”的十大属性。

1、对初始条件的敏感依赖性

系统的初始条件，指系统最初所在的时间或空间或时空的条件，所以初始条件不完全等于只对时间的开始条件。系统的初始条件，又称系统对初值的依赖性。系统对初值的依赖性存在三种情况:

（1﹚、有的系统存在“遗忘”初值的机制，系统的长期行为不依赖于初值。如，具有渐近稳定吸引子的系统﹔

（2﹚、系统运动的轨迹对初值具有依赖性，但不敏感。如，保守系统等能面上的运动轨迹﹔

（3﹚、系统运动的轨迹敏感地依赖于初始条件。如，混沌运动。

为了直观地理解“敏感地依赖于初始条件”的意义，我们考虑一个中学时学过的迭代运算

Xn＋1﹦4Xn（1－Xn）

＝4 Xn －Xn2

对于初值X0 ，考虑三个相差甚远的初始值X0 ＝0.1， X0 ＝0.100000001， X0 ＝0.1000000001进行迭代，迭代运算不多时，相差不大，但随着迭代次数的不断增加，相差越来越大。当迭代次数达到52次以后，计算出三个初始值的结果分别为0.6349559274，0.0663422515，0.3731772366。可见，原三个相差不到千万分之一的具有微小差异的相邻初始值，经过52次迭代以后，三者之间差异巨大。这就是说，系统中两个具有微小差异的相邻初始状态的两点，其运动轨迹将随指数函数增大。这种混沌运动系统所具有的属性称为对初始条件的敏感依赖性。这是混沌运动系统最本质的特性，也是蝴蝶效应产生的根本原因，也有人称蝴蝶效应就是对初始条件的敏感依赖性。

现实世界的单摆，并不是中学物理课本上的周期运动，而是一个受周期力驱动的阻力摆运动，它的运动方程是

(d^2 Q)/(dx^2 ) + r dQ/dt + g·sin⁡〖θ 〗＝ A·cos⁡ωt

其中，θ是摆的偏转角，r为阻尼常数，g是重力加速度，A是振幅，ω固频率，A·cos⁡ωt是周期驱动外力矩。

由于g·sin⁡〖θ 〗的存在，上式为非线性运动方程。由于A·cos⁡θ的存在，摆的运动就是确定系统的内随机现象（即混沌现象﹚。我们发现，当幅值A一旦超过某个阀值时，摆的运动就由周期性变为一种似乎很混乱的非周期性，特别是当θ＝π时，整个摆的运动存在着对对初始条件的敏感依赖性。

彩票之所以具有蝴蝶效应，也正因为彩球在摇奖机中的运动受到存在微小差异的初始条件的影响，敏感地依赖于初始条件的结果（详见第四章﹚。

2、内在随机性

现代科学意义上的混沌,按西方一位科学家通俗地説，就是“简单方程的随机现象”。简单方程，指確定系统，就是说这个确定系统往往要受到控制参数μ的调节，呈现出随机性，只是这种随机性属于内在随机性。从前面的分折也可看出，彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=µCn（1-Cn），当μ∞＜µ≤4 时, C不再是一个确定的变量而仿佛是随机出现的变量。彩票的非线性运动不仅存在有序的无穷嵌套的自组织结构，同时具有内在自发产生的随机现象，这种随机现象不是外来的、与外界噪声无关的、短期可预测而长期不可预测的内禀随机性，这种内禀随机性与外随机性（即受到外来影响、与外界噪声有关的、存在大数现象的数据随机性）是完全不同的， 所以又称为内在随机性或称内随机性或伪随机性。内在随机性和一般所说的随机性（外随机性）在预测中应注意以下差异：

内随机 外随机

产生于確定性系统 产生于随机条件、随机参数和随机作用的动态系统 非大数现象与多体效应 大数现象或多体效应

系统内部自发产生 系统因外部作用被动产生

长期不可预测、短期可预测 长期可预测、短期不可预测

事件前后相互关联 事件前后不关联

有长期记忆功能 没有长期记忆功能

变化有很强的趋势性 变化没有趋势性

属有偏的随机游动 属无偏的随机游动

具遍历性和有限性 无遍历性和有限性

属有偏的概率现象 属无偏的概率现象

对称破缺 对称性

…

因此，彩票的预测应摆脱古今中外、长期以来把彩票误导为外随机和“小概率”现象、而习惯用大量的随机理论、概率论、波动理论和外随机数理统计，寻求彩票这个非外随机的内随机规律。由于内随机毕竟是伪随机，往往涌现一些本属内随机的貌似外随机现象，模模糊糊，是也非是，…白白浪费了不少时间、

3、非周期性

非周期性在日常生活中处处可见。如前面所说的中学物理的单摆，实际际上是非线性、非周期的。但是中学物理之所以把单摆视为简谐振动，具有线性、周期性。其振动周期T为

T＝2π√(L/g)

是因为在两个假设条件下（假设摆球直径远远小于摆长L，把摆球视为一个抽象的、理想的质点﹔假设单摆的视角φ非常微小，如φ＜50 ﹚，把单摆运动设定在一个特殊的极端情况下进行研究的。但是现实世界的摆球无论如何也不可能是无穷小的质点。所以单摆运动正如前面分析的，是非常复杂的、是非线性的、非周期的混沌运动。因此，科学家们常把混沌称为“不规则行为的规律性”、“伪装成随机的规律性”、…。这些都说明，混沌具有两面性: 一是有规律的、有周期的、线性的一面，同时又具有无规律的、非周期的、非线性的一面，而且内在的随机性自发产生于有规律的（如周期、倍周期、准周期﹚确定系统之中。

就混沌吸引子而言，不是周期轨迹，也不是多个周期轨道的叠加（准周期轨道﹚，而是不能分解为周期轨道之和的分形点集。所谓分形（详见第三章﹚就是不规则的、破碎的、杂乱无章的。所以作为分形点集，整体是稳定的，作为分形各点的局部又是不稳是的，这种既稳定又不稳定的混沌吸引子自然表现出非周期性，所以非周期性是混沌运动的一个重要属性。彩票运动的非周期性，受到控制参数µ的调节。（详见第四章﹚

4、遍历性

遍历性，指在有限时间内系统混沌的轨道经过混沌區內每一个状态点，在有限時间内混沌轨线的多种形式会全部涌现出來。刘秉华、彭建华教授说，当考慮李雅普诺夫（Lyapunor exponet）指数λ不仅与参数μ有关，而且与初值x0 有关時，李雅普诺夫指数λ为

※λ﹦lim┬n∞⁡〖1/n〗 ∑_(ⅰ﹦0)^(n－1)▒ln⁡〖∣F'∣〗 xⅰ

〖﹦lim┬(n→：∞)〗⁡〖1/n〗 （ln⁡μ⁡〖∣1－2X0∣＋ln⁡μ∣1－2Xⅰ∣＋…＋ln⁡〖μ（∣1－2Xn－1∣）〗 〗

（注：式中的X相当于彩票中的C）

根据上述公式, 他们说：“如果迭代次数n太少, 式中的取极限得不到满足, 迭代不可能遍历整个吸引子” ，“也就不可能反映系统运动的真实特点”。“为了反映李雅普诺夫指数λ的整体（全局）性，n必须足够大, 通常n等于40～50即可得到满意的結果。”《注43》就是说，彩票运动所遍历的一切可能的运动形态，迭代次数是有限的，这与外随机数理统计的次数越多，精确度越高是完全不同的。

为此, 在进行数理统计時, 应充分运用彩票的遍历性，有目的地进行不同期数的统计。一般而言， 要了解偏态, 红、篮球的统计期数分别为7、13期；要了解一切可能的运动形态, 要充分应用彩票混沌的遍历性, 把统计期数落实在50～70期；要掌握彩球运动的整体规律, 统计期数为250～350期；要掌握单个彩球的运动規律, 统计期数至少要大于600期（注：这里说的期数指中奖期＿迭代次数, 而非开奖期）

5、奇怪吸引子

第一节已介绍了，奇怪吸引子这个概念是1964年法国数学家伊依提出来的。奇怪吸引子又叫混沌吸引子，指在混沌运动中，所有轨道的集合，或者更确切地说，指相空间中无穷多个点的集合。这个抽象的数学概念是为了从整体上把握和研究混沌系统的属性，研究了混沌吸引子的性质（如，对初始条件的敏感依赖性、稳定性、非周期性、自组织性和低分数维…﹚，就反映出了混沌运动的特点。所以奇怪吸引子既是研究混沌运动的重要工具或特征量，又是所有混沌运动的一种特定属性。

在奇怪吸引中，最典型的有洛侖兹吸引子、伊依吸引子、洛斯勒吸引子、达芬吸引子等。如， 洛侖兹吸引子

x ̇＝-ax +бy

y ̇＝-xz + rx - y

z ̇＝xy –bz

伊依吸引子

Xn+1＝1+bY－aXn2

Yn+1＝Xn

洛斯勒吸引子

x ̇＝－（y + Z﹚

y ̇＝x + ay

z ̇＝b + Z（x－c﹚

达芬吸引子

(x ) ̈+ ∂(x ) ̇+ f（x﹚e（t﹚

彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=µCn（1-Cn），就是一个吸引子，是一个平庸吸引子和奇怪吸引子并存的复合吸引子。（详见第四章﹚

2.6.6、自组织

第一章已经介绍了自然界普遍存在的自组织现象。对于复杂的混沌运动，也存在自组织现象，只是这种自组织现象具有一种貌似无序的高级有序性。有序，指存在多样、复杂、精细的无穷嵌套的多层次有序结构。高级，指貌似无序的混沌序。如，在逻辑斯蒂映射Xn＋1﹦λXn（1－Xn）中，当λ∞＜λ≤4时，进入混沌区[λ∞ ，4]，仍存在丰富的动力学規律（如图19﹚:

（1﹚、倒分叉现象。又称为倍周期树的混沌镜像（详见第五章﹚，即从右向左有一个nI逆序，这与3＜λ＜λ∞从左向右的nP顺序（倍周期树﹚成为一种以λ∞为纵坐标相对称的镜像﹔

（2﹚、周期口现象。即λ＞λ∞后大多是混沌，但也存在许多长度有限的小区间，在这些小区间内系统又恢复了有序的秩序，作倍周期运动，如当λ＝3.83附近存在一个肉眼也看得見的窗口3P，随着控制参数λ的逐渐增大，在窗口中又会重复原来的倍周期运动，只是尺寸更小，…，窗口中又有窗口，这些窗口正如前面所说的沙道夫斯基序列排列着，显示出高度周期口的有序性﹔

（3﹚、精细结构。当λ∞＜λ≤4时，进入混沌区，但出现无穷嵌套的多层次精细结构，这个精细结构有几个明显的特点: 无穷多层次﹔像俄罗斯套娃一样，相互嵌套﹔杂乱无章与窗口并存﹔类似无穷多个相同的版本，但尺寸越来越小﹔用计算机可绘制出精美的图像﹔…。

7、对称破缺

“对称破缺”（symmetry breaking inginstabilitie﹚。通俗地讲，它是对称的，又不完全对称，正如城市街道两边公交大巴的公共汽车站，既是对称的，又是对称破缺的，不完全对称。这个概念是20世纪80年代出现在物理学中，是一个比“对称”概念更具深刻理解的重要概念:

第一、对称性是相对的、有条件的，而不是绝对的、无条件的，适合于一切场合。古典的对称方法包括形象对称方法和抽象对称方法。形象对称方法，就是以一定的事实为依据，以对称理论作指导，运用形象思维构造出某些形象对称模型，如图象、符号、表格、…，以对宏现世界作出相应的对称预言。抽象对称方法，指不能用形象对称性而要求事物抽象性质完全对称。如，要研究微观粒子的性质，量子力学中的德布罗依定律就是从对称性原理出发，用抽象对称法大胆提出来的。1924年正在巴黎大学攻读博士学位的法国物理学家德布罗依提交了一篇《量子理论的研究》的博士论文，论文十分简短，只有一页多纸，但却提出了一个波粒二象性公式（后称为德布罗依定律﹚

λ＝h/mγ

把代表波动性的波长λ和代表粒子性的质量m放在一个公式之中。他认为，在整个19世纪在光学上，比起波动的研究方法是过于忽略了粒子的研究方法，但在实验物理上，是否又把粒子的图像想象得太多，而过于忽略了波的图象。由于德布罗依深信这种不对称的抽象思维决不是客观事物所固有，于是他大胆地提出了存在物质波（后叫德布罗依波﹚的假设。6个论文评审委员会的3位教授表示反对，认为德布罗依没有任何实验依据，想象过分大胆，几近荒谬。但他的导师朗之万认为，德布罗依的想法有很大的独创性，可能包含了一些重要的东西，于是给爱因斯坦写了一封信。素来喜欢物理学上对称性的爱因斯坦，一下子就看出了德布罗依的理论的深远意义_揭示了光和物质粒子之间的对称性。他以“已揭开了巨大惟幕的一角”热情地复信给他的好朋友朗之万。1924年11月德布罗依顺利通过了论文答辩，获得了博士学位。1927年初，美国物理学家戴维逊在镍晶体对电子的衍射实验中，验证了物质波，证明了德布罗依公式的正确性。1927年德布罗依荣获了诺贝尔奖。因此，对称性曾被誉为崇高无高的科学美。

但是，1957年，美籍华人李政道和杨振宁发现了宇宙在弱相互作用下不守恒，因此荣获了诺贝尔奖，第一次打破了对称性原理的缺口。1964年，菲奇. 克罗宁等4人又发现了电子共轭_宇称不守恒，这一发现震动了物理学界。同时，粒子物理在SU（N﹚对称理论，包括SU（2﹚、SU（2﹚x、SU（1﹚、SU（3﹚、SU（5﹚等不断取得的理论成果，从而引进了破缺对称性的概念，1980年菲奇. 克罗宁等4人，因对CP不守恒的发现获得了诺贝尔奖。从此，对称性是相对的、有条件的理念在学术界得到共识﹔

第二、对称与破缺是互补的。对称，就意味着协变，在一定条件下的守恒和不变，而在一切条件下都不变的状态只能是静态结构。郝柏林院士说:“最对称的世界没有结构、组织和秩序” 《注26》“非对称创造了现状”（老居里P.Curie的名言﹚。破缺，是对称的破缺，只要有了破缺才会有变化，才会产生丰富多彩的自然现象和过程。自然界很多重大科学发现和发明都来自不对称性。爱因斯坦的狭义相对论是为了改变牛顿力学和电动力学对伽里略变換的不对称性而创立的，爱因斯坦的广义相对论是为了改造牛顿的引力定律，消除惯性系与非惯性系的不对称性，在惯性质量和引力质量的联系上找到突破口而创立的。事实上，物理学每前进一步都要经历着这样的过程: 首先遇到的是表面看来毫无相关的现象理论→透过现象找到它的共性和差异性→发现对称成分和不对称成分，特別是发现破缺的对称→建立在一定条件下的完全对称理论。这表明自然规律的对称是理想化了的抽象对称性，或者说自然界是由对称和非对称互补构成的。

对称破缺不仅存在于自然界“大爆炸”的宇宙和弱相互作用下宇称不守恒的微观世界，也存在于生物大分子中的左右对称破缺，存在于社会经济，大到政府组织、社会结构，小到社会生活中的交通，无不留下对称破缺的脚跡。郝柏林院士说:“车辆和行人要靠右行驰，是一种对称破缺，它限制了个人的‘自由’，却导致了有组织的交通流”“对称破缺是否仅限于时空对称感性有规律地減少? 能否破缺并不具有对称性，甚至看起来杂乱无章的‘有序’状态呢?近20年来数学和物理学的研究提供了大量的启示，说明这个问题在自然界中是非常普遍的现象”“引起对称破缺的基本原因在系统内部，导致破缺的细小事件在远离发生破缺的条件时是无足轻重，可以忽略的，但在破缺点上却起决定作用。” 《注26》

可见，对称破缺现象是混沌运动的一个重要属性，混沌作为一个有序与无序的统一体，对称破缺正是产生有序的原因。如，在彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=µCn（1-Cn）中，当μ＞3这个“阀门”以后，系统发生突变（分岔现象）而进入耗散结构状态，耗散结构对应于某种时空的有序状态，破坏了系统原有的时空对称性，出现了对称破缺现象。所以，郝柏林院士说:“有序是对称的破缺”《注26》 彩票的有序产生于对称破缺，彩票对称破缺产生于彩票系统的内部，产生于控制参数的“阀门”，所以要预测彩票就要理解对称破缺，掌握对称破缺产生的条件，选准“切入点”，把好“阀门”开关，使彩票预测永远置于“有序”部分。

8、有限性

混沌运动是局限于有限的而非无限的时空当中。有限，指混沌的轨迹或者说混沌吸引子局限于一个确定的区域，这个区域叫做混沌吸引域，无论混沌系统内部如何不稳定，它的轨线都被像一个磁铁一样被吸引域吸引，而不会走出混沌吸引域。

混沌运动的有限性，不仅表现在混沌吸引域上，还表现在混沌系统的状态变量、控制参数的有界性上，表现在区间到区间的迭代的有限区间上。如，逻辑斯蒂映射Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

状态变量 x∈[0，1]

控制参数 λ∈[0，4]

区间迭代 [0，1] 到 [0，1]

同样，彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=µCn（1-Cn）

彩票密度 C∈[0，1]

控制参数 µ∈[0，4]

区间迭代 [0，1] 到 [0，1

混沌运动的有限性，还表现在重构任何一个相空间，也是有限的。如，对于r/s型乐透型彩票，被摇的s个彩球和摇出的r个彩球是有限的，由变量r按混沌时间序列重构的状态变量∑_(i=1)^3▒x_i 、∑_(i=1)^5▒x_i 、∑_(i=1)^8▒x_i 、∑_(i=1)^13▒x_i 、∑_(i=1)^21▒x_i 、…也是有限的。

同样，对于任何一个彩号码相对应的某期n的涨落高度hn 总是存在一个涨落的上、下限，存在波峰和波谷，如果按混沌时间序列重构一个涨落的状态空间∑_(i=1)^3▒h_i 、∑_(i=1)^5▒h_i 、∑_(i=1)^8▒h_i 、∑_(i=1)^13▒h_i 、∑_(i=1)^21▒h_i 、…也是有限的。而且从任一个状态空间演化到另一个的状态空间，也是有限的”。 即

∑_(i=1)^n▒x_i →∑_(i=1)^(n+m)▒x_i 、 Δ∑_n^m▒x_i →Δ∑_n^(m^')▒x_i

∑_(i=1)^n▒h_i →∑_(i=1)^(n+m)▒〖h_(i ) 、 〗Δ∑_n^m▒h_i →∑_n^(m〖^'〗)▒h_i

都是有限的。

（注: Δ∑_n^m▒x_i ＝∑_(i=1)^m▒x_i －∑_(i=1)^n▒x_i 、Δ∑_n^m▒h_i ＝∑_(i=1)^m▒h_i －∑_(i=1)^n▒h_i ﹚

根据混沌运动的有限性的这一属性，在彩票预测中我们可以对任何状态变量，大胆进行相空间重构，从多个角度建立多个以数据驱动的非结构预测模型，捕捉到更多的不同信息，增加杀号个数，減小投资风险，获得更大收益。

9、普适性

混沌运动的普适性，主要指一般的非线性系统中都存在两个类似园周率π、对数log_e⁡x中的底e、普朗克常数h、光速C、电子静止质量me、…等基本物理常数的2个费根鲍姆常数δ与α。基本物理常数，又叫普适常数。

创建混沌理论的一个重要标志，是费根鲍姆发现了两个普适常数。如（图18﹚《注图6》为逻辑斯蒂映射的两个示意图。2个费根鲍姆常数δ与α，指逻辑斯蒂映射倍周期分岔过程中, 前后分岔横向间距之间、纵向宽度之间的比值都各趋于一个常数δ﹦4.669201609…、α﹦2.502907875…。

即横向分叉间距数列Δ1、 、Δ2 、Δ3、 、…Δm、 、Δm +1、 、…、

δ＝Δm/(Δm+1) →4.669201609…

纵向分叉宽度数列 ε_1、ε_2、ε_3、…、ε_m、ε_(m+1)、…

α＝ε_m/ε_(m+1) →2.50297875…

费根鲍姆在《洛斯阿拉莫斯科学》杂志上谈到他的发现时说:“我原来从二次函数Xn＋1﹦λXn（1－Xn）做起的，经过一段时间的研究，我发现了系统周期保持是怎样发生的，我只用我的可编简单程序的袖珍计算器，现在看来计算器工作得是很慢的，当周期是64的时候，差不多一个鐘头才能做一个循环，当周期进一步倍增时，花的时间就更多了，幸亏我很快领悟到，分叉间距应当是几何收敛的，这使我能从上一个分叉点就预计到下一个分叉点的大概位置，从而提高了试验效率，我之所以成功，就是因为我头一个领悟到几何收敛”。可见，混沌运动自组织的发现，只赋予有“几何收敛”准备头脑的人，也不知倾注了多少科技工作者的日日夜夜!

费根鲍姆常数δ与α不是一般的普通物理常数而是具有普适性的基本物理常数，因为普通物理常数只与个别的物质或体系的特殊性质有关，没有普适性。如，××的密度、比热、…。而基本物理常数常出现在物理学的基本理论之中，是基本物理方程中的基本物理常数，如普朗克常数h和光速c，分别为普朗克量子论E＝hγ和爱因斯坦质能关系E＝mc2 基本物理方程中的基本物理常数﹔还有一类基本物理常数描述某一个领域并具有普适性。如，微现世界领域的电子、质子质量、电子电荷，代数领域的自然对数的底数e，几何领域的周周率π，…。

费根鲍姆为了验证费根鲍姆常数δ与α的普适性，又对许多非线性函数进行迭代试验，发现都得到完全相同的结果，他最后结论，非线性函数中分岔横向间距之间、纵向宽度之间的比值都各趋于一个常数δ﹦4.669201609…、α﹦2.502907875…，这并不是巧合，而是物理学中的基本物理常数，是与π、e、me、 mp …等价的自然界的普适常数。费根鲍姆常数δ与α的重大发现，使费根鲍姆荣获了诺贝尔奖。

彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=µCn（1-Cn）自然也存在这两个常数。

10、统计性

混沌运动的主要特征都是由奇怪吸引子表现出来，而奇怪吸引子的存在又使得混沌系统的轨迹表现出一定的规律性，这些规律性既可用功率谱、李雅普诺夫指数等混沌特征量表现出来，又可用统计方法，对混沌运动的内随机性进行描述，就是说混沌运动具有统计性。下面从统计法和内随机统计性两个方面进行扼要的介绍。

人类的统计实践活动己有五千多年历史，而统计理论只有300多年的历史。近代统计学说产生于18世纪末到19世纪末的100多年间。现代统计学为20世纪到现在，特别是20世纪60年代以后，数理统计迅猛发展，并表现出以下特点:

（1﹚、数理统计越来越广泛地应用数学方法。所以彩票混沌预测，对一般彩民而言，至少应掌握“加減乘除四则运算、解方程、几何作图、直角坐标法” 和一般小型计算器的使用﹔

（2﹚、数理统计学的分支或以数理统计为基础的边缘学科不断形成。彩票混沌预测涉及数学、物理、金融、心理学、预测学、方法论、计量学和哲学等多学科领域，应把自己培养成为复合型人才﹔

（3﹚、计算机的诞生和应用，数理统计学的作用日益加强。有条件的的彩民，应使用计算机进行计算、制表、绘图、建立数据库和计算实验甚至摸拟实验等。

一般的统计方法具有以下三个特点:

（1﹚、数量性。数量决定于质量，要寻找混沌运动一切可能的运动状态，一定要保证遍历性要求的50～70次迭代的下限要求。因混沌现象是一种非大数现象，绝不是统计次数越多越准确，而是与遍历性、统计对象和精确度有关﹔

（2﹚、总体性。统计研究的对象不是个体现象的数量方面，而是由许多个体现象的总体的数量方面（涌现性﹚。目前彩票市场上普遍运用的单个彩球的走势统计，对彩票的预测作用不大﹔

（3﹚、具体性。统计所研究的量是具体的量，不是抽象的数量。统计对象必须具体。彩票的预测对象要具体到摇奖机摇出的r个中奖号码，而不是末摇出的（s-r﹚个非中奖号码。不少彩票书籍或讲座、资科，把被摇的全部彩球s个或（s-r﹚个中的奇数、偶数，大数、小数，余数、尾数等作为具体研究对象，白白浪费了不少时间。

统计分析中常用的基本方法有以下两种:

（1﹚、大量观察法。就是对现象的总体（或足够多﹚进行大量观察和分析的统计方法。例如，如果以年为单位对双色球的红球与篮球分别进行整体统计，会发现红球的涨落温度比篮球高而篮球的涨落强度比红球大，所以篮球比红球更容易预测﹔

（2﹚、综合分析法。可分为动态分析法、抽样分析法、相关分析法、回归分析法与指数分析法等。目前彩票市场上多采用频数分布中的钟形分布法。钟形分布法的特点是“两头小，中间大。” 即靠近中间的变量值分布的次数多，靠近两端的变量值分布的次数少。用这种方法一般最多预测1～2个红球中奖号码。因为靠近中间的热号多，逐渐向两端由热变冷。然而摇奖机摇出的彩号码，一般每期红球的热号1～3，冷号1～2个，温号2～4个，这是彩票的非周期性所决定的。彩票的综合分析，应根据内随机的特点，进行动态分析（如第n-1期→第n期﹚、抽样分析（如按混沌序列抽样﹚、相关分析法（如重号、连号分析﹚、回归分析（如近期有偏小循环回归、区间回归﹚、指数分析（如走势和景气分析﹚、克隆分析（如x与h的克隆﹚等。

总之，混沌运动的内随机统计，应与外随机统计严格区分开来，否则会出现很多貌似内随机的外随机统计，搅乱了预测视线，甚至作出错误的预测。

为了对混沌和混沌运动的概念、术语、属性、条件、机制和规律有更深刻、更形象的理解，我们分析一种人们最常见的酒店午会现象。首先，酒店午会系统中每一个元素（午伴）与外界（酒店）要进行能量（售午票、買午票）和信息（午会开始和结束時间等）的交換，这是一个开放的系统。人们在有规律而美妙节奏的乐谱声中翩翩起午，每个午伴的运动都离不开乐谱这个确定系统的制约，因此酒店午会的系统是一个确定性的系统。午会开始,每一个元素（午伴）都要离开平衡位置（原位置）进行一左一右、一上一下的非直线涨落运动，每对午伴在午场中的轨迹与另一对或任意一对的相互作用和轨迹是非线性的，永不相交（不发生碰撞）、永不重复。任何一对午伴与其他午伴在午池中的相对位置也是非线性的，所以酒店午会是一个由有限元素（午伴）组成的非线性系统。任何一对午伴的第一个午姿是第二个午姿的自变量，第二个午姿又是第三个午姿的自变量，…即是说, 任何前一个午姿总是后一个午姿的自变量，而后一个午姿正是前一个午姿根据一定的乐谱迭代出來的，所以每个午伴的午姿变換实际上是一种迭代运算模式。整个午池相当于一个吸引域，凡想跳午的午伴必被午池这个吸引域吸引而进入午池（吸引域），凡已进入吸引域（午池）参加跳午的一定不会离开午池（吸引域），只当午会暂停休息或结束，这个开放的具有吸引域的确定系统才不复存在，吸引域自然消失。酒店午会的短期（几天、几个月）的消失（暂停午会）和产生（开啓午会）是可预测的（酒店通知、营业时间），但长期（几年或几十年）是不可预测的，因几十年后酒店是否存在或改行并不知道。对于每场午会，所有午伴在午池（吸引域）内的运动轨迹都受到控制参数（音乐的乐谱、节奏）的调节，并且从整体上看,运动轨迹不会超越午池的空间和午会的时间，因此酒店午会这个系统整体上是稳定的, 但是对于局部（一对午伴或一部分午伴在每一个角落或午池中的任一个局部区域）是不稳定的。所以酒店午会这个系统是局部不稳定而整体稳定的。

那么, 酒店午会是不是存在混沌现象呢? 可以说午会开始或开始后的一段时间，每一对午伴刚离开平衡位置，并未远离平衡位置或与乐谱还不够协调或还没有全身投入，所以不存在混沌现象。只当每一对午伴远离平衡位置足够远，系统的能量耗散（电能、声能、体能，特别是午伴、指挥、伴奏、伴演者的体能耗散）十分强烈，每对午伴完全进入“午迷”状态, 午伴运动的频率、振幅与音乐美妙的节奏达到高度的统一和协调，不受任何一些微小的干搅（如1、2箋电灯突然熄灭或几个电风扇、空调停运，…）而改变，就是说酒店午会系统的每一个元素远离平衡，相互之間的非线性相互作用进入非线性区，音乐谱的控制参数达到某个“阀门”，这时运动与节奏高度统一协调，产生了一幅最浪漫而优美的画卷（奇怪吸引子），耗散结构这一自组织现象在无穹的涨落中产生，混沌这个有序与无序的统一体自然形成。

酒店午会中混沌现象的产生敏感地依赖于初始条件。酒店午会的初始条件, 如午伴的素质、伴奏的水平、乐器的质量、午厅的豪华程度、酒店的软件服务和硬件设施等。 每个酒店这些初始条件是不同的； 同一个酒店午会每一场的初始条件也存在微小的差异, 如每场午伴不尽相同, 跳午的质量自然不同, 如果午伴全是初学者或部分午盲或实习伴奏员, 午场的午姿会越跳越乱, 甚至发生相互碰撞（轨道相交）, 混沌现象不可能发生。相反, 如果进场的全是专业午蹈演员和國家级交响乐团, 午姿会越跳越优美, 一个午蹈与乐谱高度协调、美妙的音乐与优美而浪漫的画卷（具有耗散结构的奇怪吸引子）展现在人们的视野, 混沌这个有序与无序的统一体在优美的乐曲声中诞生。

耗散结构随乐谱的频率（声音高低）、振幅（声音大小）和分频（泛音）的不同，产生多种相互嵌套的层次, 酒店午会系统究竟处于哪一个层次是随机的, 这种随机性是系统内部自发产生的内禀随机性, 又称内随机性，或伪随机性。多层次耗散结构在吸引域（午池）中所产生的一幅幅美麗的画卷，实际是相空间中各非周期轨道的分形点集。換句话说，在酒店午会的午池（吸引域）中这些分形点集展现在人们眼前的一幅幅浪漫而美麗的画卷，就是酒店午会的奇怪吸引子。所以奇怪吸引子是酒午会产生混沌现象最形象、最生动的几何空间的描述。奇怪吸引子的质量, 直接反射出酒店午会的质量，所以不同的酒店午会，奇怪吸引子也不同, 研究了不同酒店奇怪吸引子的性质, 便可揭示出不同酒店开放的程度、硬软件设施、午伴质量、伴奏的水平以及午会的质量和效果。

酒店午会的混沌现象，進一步验证了科学家们的断言：混沌现象像春天的桃花一样普遍，只要理性的觸角伸向哪里，哪里就能发现，哪里就有混沌。