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幻方的传说

传说大禹治水的年代，陕西地区水患频发，有一次一只巨大的乌龟爬到岸上，人们惊奇的发现乌龟的壳有9块，横着3行，竖着3列，每一块上都有一些小点，小点的数量正好对应1-9，而且横着竖着对角线3个数字加起来都是15。人们恍然大悟，用15只猪和15头牛献给河神，洪水再也不泛滥了。龟壳上点的排列被称为“洛书”（图1、图2）。

这个“洛书”就是一个3阶幻方，N阶幻方有N行N列，并由1～N^2整数填充每一个格子，使之横、竖、对角线上的数字之和相同，且和为N(N^2+1)/2。

图1: 龟背洛书

图2: 洛书（朱熹《周易本义》）

除此之外，一些特殊的幻方还有其他神奇的性质。

马步幻方：不会国际象棋的人也会玩！

数学家欧拉曾想出一个奇特的8阶幻方（图3），由前64个正整数数组成。它的每行每列的和为260，而半行半列的和又为130，若将这个幻方看成国际象棋棋盘，让马在1的位置，按“日”字每走一步就是下一个数字（2，3，……），它就可以不重复地跳完整个棋盘！这个幻方因此被称为“马步幻方”。

图3: 欧拉马步幻方

双料幻方：加料不加价！

双料幻方是指一个幻方（不一定是前64个正整数构成），不仅每行每列及对角线上数字的和相同，它们的积也相同！如（图4）就是一个双料幻方，每行每列及对角线之和为840，积为2058068231856000。

图4: 双料幻方

如何构造一个3阶幻方：数独达人的百万秘籍来了！把1放置在第一行的中间。顺序将2，3等数放在前一个数字的右上方格中。当右上方格出界的时候，则由另一边进入。当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。按照以上步骤直到填写完所有个方格。

如图5，1的位置为（1，2）那么2的位置（0，3）已经出界，于是从底部进入变为（3，3）。同样3的位置本为（2，4），出界从左边进入变为（2，1）。重复步骤可得到一个3阶幻方了！

图5: 一个3阶幻方栗子

以上所述的这个方法叫做Siamese方法（Kraitchik, 1942）它适用于所有奇数阶幻方的构造。怎么样？迫不及待地想和小伙伴pk一下数独游戏了吧？