一、二进制概念

基于计算机内部组成原理，在内存中字节是可寻址的最小单位，每个1字节由8个0或1的二进制位组成(有时二进制位也称为比特，英文bit)，最左边的二进制位称为最高位，最右边的二进制位称为最低位。如下图。

　　了解上面一些概念之后，咋们来讨论一个问题。

1个字节最大的表示范围是多少？要回答这个问题需要引入两个概念分别是无符号数和有符号数。

二、无符号数

无符号数很简单了，全部二进制位均代表数值位，没有符号位，数值范围全都是正数没有负数。1个字节无符号数范围：0000000011111111（0255）总共有256个数值。

三、有符号数

有符号数是针对二进制来讲的。用最高位作为符号位，“0”代表“+”，“1”代表“-” ；其余数位用作数值位，代表数值。如下图。

上面的0101 0101表示十进制的数值是多少呢？

二进制转换十进制。我们从右往左总共n-1位，用二进制位的每个数乘以2 n − 1 2^{n-1}2

n−1

次方累加起来。（注意符号位不是数值不能累加）整个算式如下。

1 × 2 6 + 0 × 2 5 + 1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 85 1\times2^6+0\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0=851×2

6

+0×2

5

+1×2

4

+0×2

3

+1×2

2

+0×2

1

+1×2

0

=85

为了方便我们人阅读二进制，我用引入一个原码的概念来表示二进制中的正负数。上面85和-85的数值表示如下

数值 二进制

85 0101 0101

-85 1101 0101

弄明白了原码之后，我们就要在计算机进行运算，先弄个最简单的相加运算。我们希望（+85）和（-85）相加是0，用二进制表示就是

0101 0101

+ 1101 0101

-------------

0010 1010

0010 1010实际上是（41）,这不是我们期望的结果。

3.1、为了解决“正负相加等于0”的问题，在“原码”的基础上，人们又引入反码的概念。

“反码”表示方式用来处理负数的反码，符号位置不变，其余位置相反

例如原码1101 0101，反码就是1010 1010。再进行一次相加运算。

0101 0101

+ 1010 1010

------------------

1111 1111

刚好反码1111 1111就是(-0)。看到这里还有个问题，我们的现实世界中，0是没有正负数之分的。

2.为了解决计算机中+0和-0的问题。人们又引入补码的概念。

"补码"表示，正数的补码其二进制本身。负数的补码在反码的基础上+1。

因此1111 1111+1变成了1 0000 0000，去掉高位就是0000 0000。这样就解决了+0和-0同时存在的问题

小结

数值 原码 反码 补码

85 0101 0101 0101 0101 0101 0101

-85 1101 0101 1010 1010 1010 1011

1.正数（无符号数）其原码、反码、补码相同

2.经过上面几个概念之后，要记住一点，在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储，并且1个字节最多能表示2 8 2^82

8

也就是256个数值。

3.一个字节无符号数范围：0000000011111111（0255）总共有256个数值。

4.一个字节二进制位有符号数表示范围:1000 0000~0111 1111（即-128~127）。

这里有两个疑问

1、为什么最小负数是-128而不是-127？

正数的最大值应该是 0111 1111 127 （补码：再次提示计算机的数据都是以补码形式）

0111 1110 126

0111 1101 125

…

0000 0001 1

0000 0000 0 （为了方便理解 我把0看成正数）

由上可知补码从0000 0000 到 0111 1111 中存在128个数字

负数从大到小最大值是-1对应的

原码 1000 0001

反码 1111 1110

补码 1111 1111

补码从大到小顺序排列如

-1 1111 1111

-2 1111 1110

-3 1111 1101

…

-127 1000 0001

-128 1000 0000

正数和0一共128个 负数128个 刚好满足2 8 2^82

8

=256个数

具体补码表示如下图

+----------------------------+

| 255 -1 11111111 |

| 254 -2 11111110 |

| 253 -3 11111101 |

| 252 -4 11111100 |

| 251 -5 11111011 |

| 246 -10 11110110 |

| 236 -20 11101100 |

| 226 -30 11100010 |

| 216 -40 11011000 |

| 206 -50 11001110 |

| 196 -60 11000100 |

| 186 -70 10111010 |

| 156 -100 10011100 |

| 129 -127 10000001 |

| 128 -128 10000000 |

| 127 127 01111111 |

| 100 100 01100100 |

| 70 70 01000110 |

| 60 60 00111100 |

| 50 50 00110010 |

| 40 40 00101000 |

| 30 30 00011110 |

| 20 20 00010100 |

| 10 10 00001010 |

| 5 5 00000101 |

| 4 4 00000100 |

| 3 3 00000011 |

| 2 2 00000010 |

| 1 1 00000001 |

| 0 0 00000000 |

+----------------------------+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

2、为什么补码1000 0000表示-128

要解释这个问题，先思考-128的原码怎么表示（先不要纠结一个字节等于8比特）是不是11000 0000，最左边的1是符号位表示负数，总共用9个比特来表示-128。

我们把11000 0000转成反码就是10111 1111。

再将10111 1111转成补码（即+1）就是11000 0000。这个时候考虑一个字节有8比特，11000 0000会导致数据溢出，因此计算机内部抹掉最高位1，用1000 0000表示-128。

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