设计IIR滤波器常用的思路就是，从已知的模拟滤波器系统函数设计数字滤波器系统函数，本质上是建立从s域（Laplace变换）到z域（z变换）的变换映射关系。主要的映射方法有以下3种。

后向差分法冲激响应不变法双线性变换法

本文以一阶低通滤波器为例，实例对比分析3种映射方法的特点。从模拟系统出发，令一阶低通滤波器的截止角频率是，那么它的系统函数有以下的表达式

如果采用后向差分法，则有s域与z域的变量映射关系为

式中表示采样时间间隔，变量替换后，得到的数字系统函数表达式如下

如果用冲激响应不变法，先将模拟系统函数表达式改写为另外一个等价的形式，

根据s域与z域的变量映射关系

得到中间步骤的数字系统函数

从数学原理上讲，冲激响应不变法建立映射的过程中是对模拟系统的冲激响应函数进行时域采样，对应在频域上对模拟系统的频率响应函数做了周期延拓，因此最终的数字系统函数表达式要乘以采样时间间隔

实际上，除了数字系统函数与模拟系统函数之间存在系数差异，频谱周期延拓带来的频谱混叠也是必须考虑的，这在后面的仿真计算环节会介绍。

如果采用双线性变换法，则有s域与z域的变量映射关系为

式中表示采样时间间隔，变量替换后，得到的数字系统函数表达式如下

在一个实例中，系统的采样频率，低通滤波器的截止频率，系统函数的频率响应曲线如下所示。其中红色曲线是模拟系统函数的幅频响应曲线和相频响应曲线。

在幅频响应曲线中，可以看到，后向差分法和双现性变换法，在低频段可以很好地与模拟系统得到的曲线贴合，当频率升高后会逐渐出现明显的偏差；而冲激响应不变法，虽然整体趋势与模拟系统得到曲线相似，但是在幅度绝对值上明显要高出一段，这个就是由于频谱混叠导致的。

在相频响应曲线中，可以看到，3种映射方法，在低频段可以很好地与模拟系统得到的曲线贴合，当频率升高后都会出现明显的上抬，其中与模拟系统曲线偏离程度最差的是双线性变换法，因为它在映射过程中引入的相位非线性畸变最严重。

截止频率50Hz的系统频响曲线对比

为了更进一步看出冲激响应不变法中引入的频谱混叠问题，接下来分别再看和两个实例。从中可以看到，如果截止频率越高，那么频率混叠的情况越严重，导致最后得到的数字系统函数的幅频曲线与模拟系统函数的幅频曲线的位置偏移更大。

截止频率20Hz的系统频响曲线对比

截止频率100Hz的系统频响曲线对比

最后简单总结一下，

无论使用哪种映射方法，所得数字系统函数的幅频响应曲线只是大体趋势上和模拟系统函数一致，在高频段的细节上肯定有偏差；相频响应曲线在低频段贴合较好，在高频段相位失真会非常严重。使用冲激响应不变法，一定要记住频谱混叠对幅频响应曲线整体高度的抬升，它不是简单的代数计算关系。使用双线性变换法，一定要记住在高频段的相位畸变是3种方法种最严重的。