7.伯特兰·罗素

伯特兰·罗素（1872年5月18日–1970年2月2日），英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人。罗素的成就主要在哲学方面，是21世纪最伟大的哲学家之一，但他在数学方面的成就也不容小觑。在数学领域罗素的主要成就有两个方面，一是他通过建立逻辑类型论来消除逻辑悖论；二是他从一个较为简单的逻辑系统出发加之少量非逻辑公理推导出经典数学。为了消除悖论，罗素首先在《数学的原理》提出了类型论。罗素在数学逻辑方面具有巨大的贡献，他和怀特海共同写就了《数学原理》一书，被公认为是现代数理逻辑的基础，他所提出的“罗素悖论”推动了20世纪逻辑学的发展，他所主张的逻辑主义也在一定程度上推动了数学历史的发展。他最重要的贡献是发现了罗素悖论，从而导致了集合论从朴素集合论到ZFC公理集合论的过渡。

6.亚历山大·格罗滕迪克

亚历山大·格罗滕迪克（1928年3月28日-2014年11月13日），现代代数几何的奠基者，被誉为是20世纪最伟大的数学家。由于他的许多开创性的工作，使得代数几何这个古老的数学分支焕发出了新的活力，最终导致皮埃尔·德利涅完全证明了韦伊猜想，这被认为是20世纪纯粹数学最重大的成就之一。格罗滕迪克起初研究泛函分析，他深刻地改变了这门学科的面貌。迪厄多内称格罗滕迪克的工作和S.Banach的工作一样，在泛函分析中留下了最强的印记。五六十年代，格罗滕迪克对代数几何进行了彻底的革命，发表了十几本巨著，建立了一套宏大而完整的“概型理论”，创造了黎曼-罗赫定理的新版本，它也是是韦伊猜想，莫德尔猜想，费马大定理证明的基础，它揭示了代数簇的拓扑和解析性质间的隐藏关连。这些成就代表着当代数学的最高水平，足以光耀千古。

5.菲利克斯·克莱因

菲利克斯·克莱因（1849年4月25日–1925年6月22日）德国数学家。克莱因在数学上做出的第一个贡献是在1870年与李合作发现的。他们发现了库默尔面上曲线的渐近线的基本性质。1871年克莱因出版了两篇有关非欧几何的论文，论文中证明了如果欧氏几何是相容的，那么非欧几何也是相容的。这就把非欧几何置于与欧氏几何同样坚实的基础之上。克莱因在他的著名的埃尔朗根纲领中，以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性，以此为标准来分类，从而统一了几何学。变换在现代数学中扮演着主要角色。克莱因指明了如何用变换群来表达几何的基本特性的方法。他在一篇论文中用几何方法来处理函数理论并把势论与保形映射联系起来。克莱因还得到了一种连接代数与几何的重要关系，他发展了自守函数论。

4.格奥尔格·康托尔

格奥尔格·康托尔（1845年3月3日-1918年1月6日）德国数学家，集合论的创始人。康托尔证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立，并把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形，这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合，并证明了有理数集合，代数数的全体构成的集合是可列的，实数集合是不可列的，他又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还引进了超穷数，借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。

3.冯·诺依曼

冯·诺依曼（1903年12月28日-1957年2月8日）美籍匈牙利数学家、计算机科学家、物理学家，是20世纪最重要的数学家之一，被后人称为“现代计算机之父”、“博弈论之父”。冯诺依曼在数理逻辑方面提出简单而明确的序数理论，并对集合论进行新的公理化，其中明确区别集合与类；其后，他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论，从而为量子力学打下数学基础。他证明平均遍历定理开拓了遍历理论的新领域，运用紧致群解决了希尔伯特第五问题，他还在测度论、格论和连续几何学方面也有开创性的贡献，创造了算子环理论，即所谓的冯·诺伊曼代数。从1942年起，他同莫根施特恩合作，写作《博弈论和经济行为》一书，这是博弈论（又称对策论）中的经典著作，使他成为数理经济学的奠基人之一。他起草的计算机方案EDVAC对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，至今仍为电子计算机设计者所遵循。他是现代数值分析——计算数学的缔造者之一，他首先研究线性代数和算术的数值计算，后来着重研究非线性微分方程的离散化以及稳定问题，并给出误差的估计。他协助发展了一些算法，特别是蒙特卡罗方法。

2.亨利·庞加莱

亨利·庞加莱（1854年4月29日—1912年7月17日），法国数学家，被认为是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。庞加莱在1883年提出了一般的单值化定理，同年同皮卡定理构成了后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，他创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点附近的性态。他提出根据解对极限环的关系，可以判定解的稳定性。他进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分。他完整地提出了不变积分的概念，并且使用它证明了著名的回归定理。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数，解对参数的连续依赖性等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。庞加莱通过研究所谓的渐近解，同宿轨道 和异宿轨道，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂。庞加莱的发现可以说是混沌理论的开创者。

庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法（sweepingout）证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。

庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。

庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。

1.戴维·希尔伯特

戴维·希尔伯特（1862年1月23日～1943年2月14日），德国著名数学家，是20世纪最伟大的数学家之一，被后人称为“数学世界的亚历山大”。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。他在1899年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”，可以说希尔伯特是近代形式公理学派的创始人。希尔伯特提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点。对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。