从近期考到的一道题入手：

新教材中对回归方程的内容重新做了修订，相比于老教材，新教材对内容和概念的要求更高一些，在理解的要求上有些许的提高，今天把新教材中有关线性回归模型的内容做一次解释。

先说上题，决定系数又称判定系数，R²的作用是对回归直线方程拟合程度的分析，R²越大，拟合度越好，其中决定变量R²=r²，即决定变量等于样本的相关系数，本题中去掉B点后样本的相关性变强，R²也越大；对于C选项，去掉B点后样本被解释变量的残差变小，残差平方和也变小。

研究两个变量之间的相关关系主要从两个方向进行，一是进行相关分析，即量化变量之间相关的程度，学习时用样本的相关系数r来进行量化：

另外一个方向就是回归分析，以广告投入费用和销售额为例，随着广告投入费用的增加，销售额也呈上升趋势，销售额的观察结果y是由两部分叠加成的，一部分是由广告投入的线性函数引起的，记作a+bx，另一部分是由随机因素引起的，记作e，所以y=a+bx+e

若两个变量呈现线性关系，则可用最小二乘法求解回归直线方程，书上有证明的过程，利用残差平方和最小求解a,b的值。

这里要区分开观测值和预测值，通过回归方程求得的都是预测值，观察值与预测值的差即为残差，接下来分析三个常见的误差平方和。

依旧以上述广告投入和销售额的关系解释，若没有广告投入这一项，只有销售额，如果按照月份作出销售额的散点图，若想找出一条拟合直线，即让这条直线满足观测值和预测值差e最小，因为没有其他变量，此时的预测值只能是一个常数，即^y=y的平均值，此时观测值与平均值差的平方和记作总平方差。

若引入一个参数，例如广告投入量x，就可以用x的变化来模拟y的变化，原本的预测值就不再是y的平均值，此时^y≠y的平均值，同理若要满足观测值和预测值差e最小，则y-^y最小，而这个平方和叫做残差平方和。

总平方和是什么意思？即没有引入变量时但从销售额角度分析得到的误差平方和；残差平方和是什么意思？即引入变量x后在使用最小二乘法优化之后残留的误差平方和，所以误差平方和减去残差平方和即表示引入变量x之后可以消除的误差，这个差值叫作回归平方和，从上述理解能看到回归平方和的意义是引入x变量消除误差之后剩余的能对自变量解释的部分，即被回归方程解释的部分，因此又叫做解释平方差。

高中阶段的考题更多与残差平方和有关，理解残差平方和与回归平方和的关系即可，深层次内容无需深究。

所以SST-SSE这部分占SST越大，说明引入新变量x之后对误差的减少效应越强，即回归方程的拟合度越好，当这个比值接近1时，说明新加入的x会大大减少预测值的误差，当比值接近于零的时候，说明新加入的x对误差的消除效应几乎为零，可看做回归方程的拟合程度非常差。

因此书上用这个比值变量x对变量y的解释能力，将这个比值命名为判定系数，新课本上改名为可决系数或决定系数，即R²=SSR/SST

因此可知，R²越大，残差平方和越小，被回归方程解释的部分越大，拟合度越好

最后可决系数和相关系数的关系：R²=r²，即可决系数等于相关系数的平方

考试的时候不会让求可决系数，但有可能求相关系数，通过两者的关系即可通过r求可决系数了。

书本上除了一元线性回归方程，还有一元非线性回归方程的求法，其实就多了一步换元，有关一元非线性回归方程的求解可参考链接：统计与概率大题中的回归方程问题