0、什么是第二代小波

传统小波变换是依赖Fourier变换构造的小波。第二代小波变换是一种在时域采用提升方法(lifting scheme)构造成的小波。第二代小波变换可以通过提升改善小波性能，获得期望的小波函数；小波变换总是可以完全重构的；另外第二代小波变换的算法简单，运算速度快、需要内存空间少， 分析信号的长度可以是任意的。理论上任何一种传统小波的基函数都可以由第二代小波来构造。因此我们可以说第二代小波比传统小波具有更多的优越性。

1、构造原理

第二代小波变换分解过程包括：剖分、预测和更新；第二代小波重构过程包括：恢复更新、恢复预测和合并。其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶段引入了预测器和更新器的概念。构造预测器更新器的方法多种多样，不过多数构造方法过于复杂不易实现。本文介绍一种基于插值细分原理构造预测器、更新器的方法。这种方法实现较为简单、运算量较小，能够达到令人满意的效果。整体算法的复杂度为o(n)级别，完全可以运用于在线监测分析系统。

第二代小波变换分为分解和重构两个过程，其分解过程由剖分、预测和更新组成。设数据序列S={s(k)，k∈Z} ，基于提升模式的第二代小波变换的分解过程如下，其中P为预测器，U为更新器。

1.1、分解

(1)剖分，将数据序列s(k)分为奇样本序列So(k),和偶样本序Se(k)。

(2) 预测，设P为预测器, 用Se(k)预测So(k), 定义预测偏差为细节信号d(k)。

(3) 更新，设U为更新器，在细节信号d(k)的基础上更新Se(k)，其结果定义为逼近信号c(k)。

1.2、重构

第二代小波重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预测和合并组成。

由奇偶样本序列合并构成重构信号s。

假设预测器长度N＝2，更新器长度N＝4，基于插值细分原理的第二代小波构造原理如下。

第二代小波分解过程

第二代小波重构过程

2、预测器更新器

预测和更新是第二代小波变换的核心步骤，第二代小波分析的效果就取决于我们对预测器、更新器的设计。一个好的预测器、更新器设计方法是我们进行第二代小波分析工作首先要解决的问题。目前预测器、更新器的设计方法较少，多数设计方法都因为过于复杂，使得计算量急剧增加且不能取得良好的效果。本文介绍了一种基于插值细分原理的预测器、更新器设计方法。这种方法设计简单、计算量小、且能够取得较为理想的效果。

插值细分原理的基本思想是：对于一个给定的数据序列，在任意两个相邻的原始样本之间插入一个新的样本值，形成一个新的数据序列，而旧的样本值保持不变, 对新的序列重复上述操作。实际上，细分就是用已有的样本预测新样本的过程，也是一个插值过程，人们很自然地将插值方法引入细分过程，即插值细分。

取N个连续正整数，假设他们为1,2,...,N，N的数值即为预测器长度。这里我们规定N只能取正偶数。

假设N=4，预测器和更新器计算如下：

预测器

更新器

理论上我们选择的预测器、更新器长度越长，取得的效果越好，但是随着长度的增加计算量也会增大。所以通常我们去预测器、更新器长度在4～20之间。

3、实例

下面我们用一个简单的例子来说明预测器、更新器长度不同对信号分析结果的影响。假设采样频率为 1000Hz，则分析频率为 500Hz。我们对一个简单的信号（如下图）进行一层第二代小波分解，对其逼近信号进行重构，然后做 FFT 变换。

从下图我们可以看出，随着预测器、更新器长度的增加，分析效果越来越好(300Hz 成分幅值随着预测器、更新器长度的增加逐渐减少)。

4、结论

本文介绍了第二代小波的基础原理。由于第二代小波计算复杂度为o(n)，所以运用到在线监测系统上是完全可以的，我们已经把算法用java语言实现了，实际计算效果非常好。后面我们会陆续介绍该算法在机械设备故障诊断中的实际应用。