问：大家好，我是一个教授地球科学的生物学家，在大学里只有2门天文学的课程。总有学生问我这个问题 “我们是如何知道月球和地球的质量大小的？”你能给我一个高中生都可以理解的解释方式么？

答：如何知道地球的质量这个问题比较简单。由牛顿万有引力方程式：

(1) F^grav = GMm/(R^2)

公式（1）里变量Fgrav 为引力，G为万有引力常数，变量M和m为两个相互吸引的物体的质量，变量R为两物体质心距离。

由牛顿第二定律：

(2) F = ma

公式（2）里a为加速度，F为力，m为此加速运动物体的质量。

由以上两个公式，我们想要得到地球的质量就需要消去另外一个物体的质量以及测量其加速度a。且我们知道加速度为F/m，其即为F^grav/m当物体只受到引力时。

地球半径R（像地球一样的球体的质心一般就是其几何中心，所以R也是物体间的质心距离）是由古希腊城邦昔勒尼的埃拉托色尼通过其测量实验计算得到的：当夏至日阳光能照进城邦塞恩城的井底但是照不进亚历山大里亚的井底。（已知光线互为平行，所以如果知道了两地的距离，且知道在同一天光线在亚历山大下落的倾斜角，如此就能获得两地之间的圆心角，从而计算得到地球的半径）。

如果需要更详细的解释我们可以提供—但是还是尝试一下画一个圆形以及平行的光线，通过几何作图得出这一结果。

另外一个测量R的方法的是从北往南走且通过测量北极星在地平线上的仰角获得维度。如果能够获得走过的距离，了解距离和角度之间的关系，用距离除以角度（弧度制）就能获得地球的半径值。

只要你获得了Fgrav/m, G 和R的值，就可以变换等式（1）为：

M为地球质量，代入以上各参数可获得。

如果不知道常量G的值是多少，就需要通过实验的方法获得。最简单的方法是卡文迪许实验，通过扭秤测量铅球之间的吸引力。确实有效。

求解月亮的质量是一个比较棘手的问题，原因在于方程式（1）和（2）中的未知量m与F都以一样的关系出现，无法使用两个等式求出质量m。（物体的加速度大小和其质量无关）。我们可以 通过假设月球和地球的密度相等，通过计算体积比来求得大概的月球质量：

图解：悬挂于两条特定弹簧的一个物体，正好能够将这两条特定弹簧延伸特定距离，则这物体的重量等于两个标准单位力。

但这样获得的质量值远大于实际值，因为月球的密度比地球小。自从人类发送航天器绕月飞行后，我们就能测量月球的重力从而使用和测量地球质量的相同方法来获得精确的月球质量。

图解：应用杠杆原理，可以实现对于标准单位力的任意分数倍。如上图所示，当是的三分之一时，杠杆会呈静态平衡状态。

我相信月球的实际质量在此之前早就被计算出来了天文学有精确的测量方式（地球和月球围绕着双星系统的质心运行，质心在地球里面但不在其几何中心，如何求出其位置取决于月球的质量）但是已经超出了高中生能理解的范围。

相关知识延伸阅读

牛顿第二运动定律（Newton's second law of motion）表明，物体所受到的外力等于质量与加速度的乘积。牛顿第二定律也可以用动量来表明，即物体所受到的外力等于动量对时间的导数。

图解：在钜著《自然哲学的数学原理》1687年版本里，以拉丁文撰写的牛顿第一定律及牛顿第二定律

1687年，英国物理泰斗艾萨克·牛顿在钜著《自然哲学的数学原理》里，提出了牛顿运动定律，其中有三条定律，分别为牛顿第一定律、牛顿第二定律与牛顿第三定律。牛顿第二定律又称为“加速度定律”。

参考资料

1.Wikipedia百科全书

2.天文学名词

3. astro-

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