一篇文章搞定“行列式知识点，考点，解题方法”——第二篇 行列式的性质

在上一篇中，我们一起探讨了行列式的三种展开方式，下面从第一种方式（如下图），对其做各种等价变换，从而探讨行列式的性质。

一，行列式与其转置行列式的值相等。

将行列式的行数i与列数j互换（既是沿着从左上到右下的主对角线对称反转）就得到其转置行列式记作Dt`，证明如下图所示：

二，任意交换行列式两行或者两列，行列式的值变为原来的相反数。

这个可以按照我们上一篇文章的抽取元素展开的思想，抽取的顺序不会改变行列式的绝对值，而只会通过改变逆序数对行列式的符号造成影响。下面说明任意交换两个数会使逆序数由奇数变成偶数或者相反。

以下面一列代数式为例，p1p2p3...pipj...pn,先从基础的情况说起，令交换的是相邻两个数字pipj，不妨设pi>pj,则其交换后，对于pi没有影响，而左边比pj的大的数字却少了1.既是逆序数比原来小了1。按照这个思路，如果互换的两个数字不相邻（设中间相隔n个元素），只需要把左边的数字右移n个单位 ，右边的数左移n+1个单位。所以总的来说相当于变号一次。所以（-1）逆序数会改变正负性。

三，行列式的某一行或列有公因子，可以直接提出来。（行列式与数字的乘法运算）

四，行列式某行或列是两项和的形式，可以拆为两个行列式的和。（行列式的加法运算）

五，如果行列式某两行或列元素相同或成比例，则行列式等于零。

这是性质二与性质三的结合，符合上述条件的行列式最终都可化为具有相同两行或列的行列式，不妨设为D,按照性质三交换相同的两行，则D变为-D，但是D本身并没有变化（相同的两行做交换),s所以得出D=-D，既是D=0

六，行列式的某一行或列的k 倍加到另一行或列上，行列式不变

这是性质四和性质五的

结合，D=D+0=D+D1,令D1与D只有第j行不同，其余完全相同，而且D1第j行是D中第i行的k倍，这样一来D1就符合性质五等于零，而按照性质四的加法原理，就可以得到性质六

这样行列式的性质就说完了，而学习性质的最终目的就是简化运算，在下一篇文章里我将会介绍几种套路式行列式和行列式的题型，解法。请多多关注！

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