“引力势能公式的推导”——基于中国载人航天主题系列研究（二）

阮家明

（池州市第一中学，安徽 池州 247000）

摘要：通过将运动过程无限细分，基于合理近似推导引力势能公式。

关键词：引力势能公式；微元法

1 推导的困难及破解的方向

通过现有的数学工具推导引力势能公式，又以下的困难：其一，万有引力不像地表附近的重力情况，不能通过恒力做功的公式研究万有引力做功的特点，提炼引力势能表达式；其二，变力做功可以基于图像所围面积进行求解，如弹簧弹力做功问题，然而万有引力定律与距离平方成反比，图像是非线性的，我还没有学习微积分，无法直接求解。要想破解这个问题，我能想到的就是化变力为恒力，故必须使用微元法，结合合理的近似，问题应该可以得到解决。

2 搭建场景明确目标并尝试推导

如图所示，星球质量记为，且设其处于轴的原点上，轴上坐标为的地方有一质点质量为，计算此处该质点的引力势能（规定处引力势能为0）。

现在，设想该质点沿着轴向前运动至处，求解引力做的功。类比重力做功引起重力势能的变化关系，我们有：

引

在位置之后标记无数个相距很近很近的点，坐标分别为、……、……一直延伸到无穷远。这样质点从处运动到的过程，可以看成是以处受到的恒定引力做功，后面各极其微小段都可以做这样的合理近似处理，近似产生的误差由分割的份数决定，也就是说，分得越细，产生的误差越小，如果分了无数多小份，理论上就可以让误差无限小，就能得到足够准确的结果。先看质点从处运动到的过程：

（）

由于，上式可以做如下近似：

以此类推，有：

最后将延伸到无穷远的所有小段中引力对质点做得功累加起来，便得到引力对质点做的总功，即：

此即为引力势能公式。

3 教师的评价

阮家明同学不怕困难、勇于挑战的精神是值得全班同学学习的。钻研自然科学，就要有这种钻劲儿，持之以恒，终将赢得应有的一片璀璨星空。加油！在这里，我在对照物理课程标准中权威的核心素养水平体系，对家明同学的这次理论探索作出评定（下图中涂色部分是教师觉得他已经达成的水平）。

参考文献：

暂无。

项目编号： XS-zzcxsy-2023-23-247000

作者：阮家明

指导：詹善生

总编：汤金波

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