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高中数学:用平均值不等式求最值

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前言:

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一、拆项使和为定值

例1. 求函数

的最小值。解:因为

所以

当且仅当

时取得等号故

说明:对“5x”进行恰当地拆分,才能实现“三相等”。

例2. 求函数

的值域。分析:因分母的次数低于分子的次数,将其化为

型,再利用平均值不等式求最值。解:

当x+1>0

即x>-1时,

当且仅当

时取等号当

时,

当且仅当

时取等号故函数的值域为

二、拆项使积为定值

例3. 设

,求函数

的最大值。分析:挖掘隐含条件

,为能构造出和为定值,需要考虑y2。解:因为,所以

所以

当且仅当

时取等号所以

三、分子常数化

例4. 求函数

的最大值。解:

当且仅当

时取等号所以

的最大值为

说明:形如

型的最值问题,可考虑分子常数化。

四、在相等前提下凑配

例5. 已知x,y,

,且,求

的最大值。

解:因为x,y,,且

当且仅当及

时,取得等号此时

所以

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标签: #数据结构算法找最值的比较次数