如何将两条线段“拼”到一起？

在将军饮马问题中，我们已经接触到线段和的最值问题，其核心思路是将两条线段的和化为一条线段，从而可利用“两点之间，线段最短”来解决问题，同时这个公理还可以用“三角形两边之和大于第三边”来解释。

然而在学生解题过程中，如何想到要“拼线段”以及如何“拼线段”是一个难点，虽然我们知道需要将其中一条线段通过等量代换完成拼接，但具体用哪种方式，取决于学生平时学习中对这些等量代换方式的深度理解，若平时浮于形式，只刷题而不反思，断无可能快速找到解题思路。

题目

如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0,2)，B(0,4)，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为( )

A.2√5 B.2√10 C.6√2 D.3√5

解析：

围绕如何将AC+BD拼接到一处，我们不妨将题目中的条件重新整理一遍点A和点B是两个定点，CD是一条定线段，AC和BD都在x轴的上方，从纵坐标上看，显然点A在BO中点处。

借助将军饮马问题的基本思路，先将AC或BD中的一条线段转移，可利用轴对称，作AC关于x轴的对称线段A'C，如下图：

这样我们成功完成了第一步，将线段AC转移到x轴另一侧的线段A'C，但是A'C与线段BD仍然“距离”较远，没办法拼接到一处；

注意到线段CD是定长线段，我们可利用这个特征，将转移后的线段A'C再次平移至点D处，如下图：

我们再来看平移后的线段DE，由于四边形A'EDC是平行四边形，因此DE=A'C=AC，现在终于将两条线段拼接到一处了；

观察DE+BD，显然它们是△BDE的两条边，根据BD+DE>BE，或两点之间，线段最短，可知当B、D、E共线时，BD+DE最短，即AC+BD最短，我们只需要求出图中BE的长度即可；

A'E=CD=2，A'B=6，故求得BE=2√10；

本题选B.

解题反思：

有一种学生思维错得很离谱，那就是企图用解析法，但又不得法，设OC=x，则OD=x+2，然后分别用勾股定理表示出AC和BD，在面对两个二次根式的和时，路已到尽头；

显然这种错误根源在于没有从图形的几何性质出发，盲目信仰解析大法，自身又不具备较强的解析能力，虽然是少数学生，但值得警惕。

在解完本题的基础上，我们继续研究AC+BD取最小值的位置，如下图：

我们发现，此时点C在原点左侧，利用平行线分线段成比例，可求得OD=4/3，OC=2/3，若取OD中点F，连接AF，如下图：

显然AF是△AOD的中位线，它平行且等于BD的一半，我们将线段AF也平移至点D处，发现和第一次平移后的位置重合，即同样完成了线段AC=AF=DE的转换；

所以说这一类问题的解决之道，主要是围绕如何转换线段，可利用全等三角形、轴对称、平移等变换，成功想到这些变换的关键，在于第一次学习这些知识的时候，要明白它们是“做什么用”的，更进一步知道它们是“怎么用的”。

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