严密性与精确性是数学最显著的特征，也正因为如此，数学被誉为“科学的皇后”，成为各门科学，尤其是自然科学研究的基础工具。马克思甚至曾经说过：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才能真正达到了完善的地步”。

那么，是不是所有的事物都可以严密化和精确化呢？我们可以考虑以下几个问题。

如何判断一个人是否是“高个子”呢？

如果一个身高179cm的人站在你面前，那你来说他算不算高个子呢？对这个问题不同的人会有不同的回答。有人觉得算有人觉得不算，当然还有更多的人可能会回答：勉强算。

如何判断一个男生是否是“帅哥”呢？

把吴彦祖拉过来你当然会毫不犹豫地说是，把宋小宝拉过来你当然会说不是，但是从学校里随便拉一个男生出来，大家的意见可能就没法统一了。

所以我们会发现，很多问题是无法明确地用“是”和“否”来回答的。

再比如下面两个著名的问题：

秃子悖论

一个人长着一头乌黑茂密的长发，那如果拔掉一根，从外观上看不出有什么变化吧。再拔掉一根，也不会有什么变化。那就不妨再拔一根，反正头发很茂密嘛，再拔一根仍然还是茂密。那如果再一根一根的拔下去......总有一个时刻头发会被拔光变成秃子。那么问题就是，既然茂密的头发拔掉一根还是茂密的头发，那怎么最终还会变成秃子呢？或者更准确的问法，当我拔掉第几根的时候，头发就从茂密变为不茂密了呢？你会发现这是个非常难以回答的问题。

沙堆悖论

沙堆悖论与秃子悖论相似：地上有一个沙堆，我取走一粒沙子，它依然还是个沙堆，再取走一粒，它还是沙堆，那如果我一粒一粒不停地往下取，总有一天会全部取光。那么我来问你，取到第几粒的时候，它就不再是沙堆了呢？

如果说上面两个悖论还只是停留在纯粹的思维层面，那下面这个问题就事关现实生活了。

我们国家制定了《未成年人保护法》，规定了年龄未满18周岁的为未成年人。那如果有两个人犯了相同的罪，一个人的确切年龄是17周年零364天零23小时59秒，另一个人是18周年0天0小时01秒。只因为出生时间相差了两秒，而一个人需要坐牢，另一个人不需要坐牢，那这样来看是合理的吗？(虽然这种情况在现实生活中几乎不会出现，但我们不妨当成一个问题来思考)

刚才提到的这几个现象都可以称之为模糊现象，模糊在我们生活中随处可见，比如“高矮”，“胖瘦”，“美丑”，“冷热”，几乎每一个形容词都是一个模糊现象。其实，数学家们早就注意到这类问题了，只不过苦于没有办法来处理。直到1965年，美国加州大学伯克利分校教授，自动控制专家L.A.扎德(L.A. Zadeh)，极具创造性地提出了一种全新的数学思想，专门来解决这一类所谓的模糊问题，由此开创了一门名为“模糊数学”的数学分支。

扎德(L.A Zadeh，1921-2017)

本文就来介绍一下模糊数学的主要思想。

1.传统数学遭遇的困难

我们在高中都学过集合这一概念，老师肯定都曾经说过，集合是整个数学大厦的基础。

集合中的元素需要满足三个性质：确定性，无重复性和无序性。所谓确定性是指，你需要非常明确的知道集合中包含哪些元素。换句话说，任给你一个元素，你能够非常明确的判断它是属于这个集合，还是不属于这个集合。比如我们用N来表示全体自然数的集合，给你一个3，我知道它肯定属于这个集合；给你一个0.5，我知道它肯定不属于这个集合。

确定性从表面上看起来似乎没有什么问题，而且它是集合之所以成为集合的重要保证：你得告诉我这个集合里包含什么东西，才相当于告诉了我这个集合是什么吧！但是，传统的集合在处理模糊现象时，却遭遇了前所未有的困难。因为我们发现，在模糊现象里，是不能用绝对的“属于”或“不属于”来界定的。

比如上文提到的例子，我让F表示中国所有高个子男人的集合，一个身高195的男人肯定属于这个集合，一个身高160的男人肯定不属于这个集合，但是对于一个身高179的人呢？大家的意见肯定就有分歧了。

再比如，中国所有帅哥组成的集合。吴彦祖肯定属于这个集合，宋小宝肯定不属于这个集合。但是你家隔壁那个大男孩，属不属于这个集合呢？估计你自己都很难说清楚。

这就是传统数学所遭遇的困难，扎德为了解决这个问题，创造性地发明了“模糊集合”这个概念。

2.模糊集合

扎德是这样考虑问题的，179cm的男人到底属不属于高个子男人这个集合呢？问题就出在，我们非得用绝对的“属于”或绝对的“不属于”来回答这个问题。我们为什么不能回答：“大概算是吧”。对于一个身高174的人，我们为什么不说：“大概不算吧”。因此，扎德就想用一个数来衡量这种大概的程度，称为这个元素对这个集合的隶属度。隶属度介于0~1之间，数值越大说明属于这个集合的程度就越大。比如，195的男人 100％的算是高个子，我们就说195男人对高个子男人这个集合的隶属度为1，179的男人隶属度则是0.95，178的男人隶属于度为0.91，以此类推，170的男人隶属度可能只有0.3，而160的男人隶属度则为0。

通过这个例子，扎德给出了模糊集合的概念：

比如上面的例子，U表示所有身高的男人组成的集合，那么μ(195的男人)=1，μ(179的男人)=0.95，μ(170的男人)=0.3，μ(160的男人)=0，等等。

可以看出来，想表示一个模糊集合非常的繁琐，通常情况下我们有三种表示方法：扎德表示法，序偶表示法和向量表示法。我们介绍一下其中最直观的序偶表示法：

比如还是刚才那个高子男人那个例子，我们就可以这样表示

再比如中国的帅哥这个模糊集合，可以写成如下这个样子：

当然，写成这个样子，我相信李易峰的女粉丝们肯定就不高兴了：俺们家峰峰明明是100%的帅哥，怎么能说只有95%呢。于是这就涉及到下一个问题，某一个元素的隶属度是如何确定的？

3.隶属度的确定

隶属度的确定通常有三种办法

调查统计

通俗地讲就是做问卷调查，比如我去高校中随便挑100个女同学，问她们李易峰是不是帅哥？回答中95个人说是，5个人说不是，那么李易峰对帅哥这个集合的隶属度就是0.95。

当然这样做隶属度跟你所选取的人有关，如果换另外一批100个人，可能隶属度会发生变化，或者把人数扩大到1000人，隶属度也会发生变化。

当然，你做抽查的人数越多，那么就越接近于一个固定的值。而且，概率论里面的大数定律和中心极限定理也告诉我们，抽查的人数达到无穷大时就会有一个极限值，那么这个极限值就可以看成是可信的隶属度。

指派函数

人类的科学和数学经历了几千年的发展，研究和完善了各种类型的函数。尤其是在统计学中我们有各种各样现成的分布函数，比如正态分布函数，二项分布函数，泊松分布函数等等。那么在面临具体问题时，科学家们就会根据以往的经验和科学研究的结果，给它指定一个现成的函数。比如科学家在研究东亚地区人们的智商时，可以指定“智力普通的人”，它的隶属函数就是，期望为105，方差为5的正态分布函数。

借用现有指标

我们在科学研究中会有各种各样的指标，比如化学中有ph值，地质学中有地震震级，统计学中有相关系数，经济学中有GDP等等，有的时候，这些指标本身就可以作为隶属度。

比如经济学中的恩格尔系数。是衡量一个家庭财政支出状况的指标，具体的计算方法是，先指定一段时间，用这段时间家庭用来购买食物的支出，除以家庭的总支出得到的数。恩格尔系数是衡量家庭贫困程度的一个重要指标，恩格尔系数越高，家庭越贫困；反之，恩格尔系数越低，家庭越富裕。这是因为，吃饭是人类生存的第一需求，人们只有先吃饱肚子，再去考虑其他的事情。你每个月挣的钱，第一要用来吃饭，余下的钱才会去考虑买好看的衣服，看喜欢的电影。

从计算方法可以看出恩格尔系数一定是位于0~1之间的，如果我考虑“贫困家庭”组成的集合，就不妨直接把恩格尔系数当成它的隶属度。比如恩格尔系数是0.33的家庭，那么它属于贫困家庭的隶属度就是0.33。

4.模糊数学及其发展

模糊集合的提出，彻底颠覆了人们对经典集合的认识，甚至可以模仿经典集合，定义模糊集合之间的包含关系，子集，交集，并集，特征函数等概念。

我们知道，经典数学就是建立在经典集合之上的，而模糊集合的出现，则是可以完全改变经典数学的面貌。经典数学中的一些已有理论与方法，如果套用在模糊集合上，就形成了新的理论与方法。这些理论与方法放在一起，就是所谓的模糊数学这一门学科。

模糊数学最常用的应用有，模糊聚类分析，模糊模式识别，模糊决策，模糊线性规划等等，应用非常广泛，而且还在飞速发展中。可以想见，模糊数学是比传统数学更实用的方法，因为在现实生活中，我们所接触到的大部分其实都是模糊现象。

所以说，数学界从此一分为三：研究精确与确定现象的传统数学，研究不确定现象的概率论，和研究模糊现象的模糊数学。

从上面的叙述中也可以看出，模糊数学其实一点都不模糊，它只是研究的对象是模糊现象而已，但是研究方法还是传统数学的方法。给每一个对象赋予一个确定的数字，这不仅不模糊，反而是把模糊现象精确化了。这里要多说一句，概率论也不是不确定的数学，而只是研究不确定现象的数学，它的方法也是非常确定的。

最后不得不提一下扎德老先生，是学术界德高望重的老前辈。他可谓是学界“常青树”，出生于1921年，1965年提出模糊集合理论；1978年提出“模糊逻辑”理论，1981年提出“可能性理论”；1990年提出“软计算”的概念；2002年提出“词语计算”理论；2010年提出“不确定性的一般理论”。可以算一下，这个时候老先生已经90高龄了。扎德老先生于2017年去世，他这种惊人的毅力与勤奋的精神，值得我们永远学习！