已知质量m=10kg，弹簧系数k=1000N/m，阻尼c=40N•s/m。且质量块的初始位移x(0)=0.02m，其初始速度x´(0)=0m/s。

阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能力的物理量，在运动过程中，阻尼器的阻尼力总是与弹簧块的运动方向相反，如下式所示：

（2.1）

其中，

为阻尼器的阻尼系数，数值为40N.s/m；

为弹簧块运动位移的导数。

弹簧受到外作用时，在线性范围内，弹簧力的大小与弹簧的形变成正比，弹簧力的方向总是与形变方向相反。弹簧提供的热力如下所示：

（2.2）

其中，

为阻尼器的弹簧系数，数值为1000N/m；

为弹簧块运动位移。

弹簧块本身具有质量，其由于存在加速度，也会存在一个力，如下所示：

（2.3）

其中，

为弹簧块的质量，数值为10kg；

为弹簧块运动位移的二阶导数。

根据牛顿运动定律，对弹簧块进行受力分析，建立力学平衡，可以得到系统的运动方程，如下式所示：

（2.4）

令

、

，对上式做一定的转化，运动方程如下所示，这是一个二阶齐次线性常微分方程，可先求得微分方程的特征根，根据微分方程的性质得到方程的解。

（2.5）

其中，

称为系统固有圆频率；而阻尼对运动的影响取决于

和

的比值

，

称为阻尼比，如下公式：

（2.6）

在MATLAB/SIMULINK中对公式（2.5）搭建仿真模型，公式（2.5）牵扯到函数的微分，考虑到在SIMULNIK中的微分模块的使用条件比较复杂，因此采用积分的形式搭建仿真模型，即是根据

经过一次积分得到

，再经过一次积分得到

，如下所示：

图1 单自由度弹簧阻尼系统的SIMULINK模型

在设置两个积分模块的时候，根据题目所说的两个初始条件，将积分器Integrator1的初始值设置为0，这是初始速度的设置方法，将积分器模块Integrator的初始条件设置为0.02，这是初始位移的设置方法。

模型搭建好之后，点击运行，稍等几秒钟之后就可以完成运行，然后点击示波器模块Scope即可以看到弹簧块在运动过程中的位移变化曲线，如下所示：

图2 弹簧块的位移变化曲线

图中的横坐标表示时间，纵坐标表示弹簧块的位移。由图中可以看出，在开始时刻位移大小为0.02m，符合题目要求，弹簧块在振动一段时间之后，振幅不断减小，然后静止不动，此时的振幅即是0。

另外，弹簧块的速度的变化曲线如下所示，可以看出速度的初始值为0，符合要求，在一段时间之后速度则变成了0，说明此时弹簧块处于静止状态。

图3 弹簧块的速度变化曲线

一般阻尼比

的数值会影响系统的振动状态，根据阻尼比的计算公式，可以调整弹簧系数或者阻尼系数来观察对弹簧振动系统的影响，下面研究阻尼系数变化的影响。原系统的阻尼系数为40 N.s/m，将阻尼系数减小至20N.s/m之后再增加至60 N.s/m，运行SIMULINK仿真模型，然后观察弹簧块的位移变化。如图4和图5所示，可以看出，阻尼系数增加，系统振动衰减的更快一些，阻尼系数减少，衰减的更慢一些，这也符合正常情况。观察图2可以发现，阻尼系数为40 N.s/m时，时间达到3秒附近时，弹簧块的位移为0，处于静止状态；观察图4可以发现，阻尼系数为20 N.s/m时，时间达到6秒附近时，弹簧块的位移为0，处于静止状态；观察图5可以发现，阻尼系数为60 N.s/m时，时间达到2秒附近时，弹簧块的位移为0，处于静止状态。

图4 阻尼系数

为20的位移变化曲线

图5 阻尼系数

为60的位移变化曲线

在振动系统中，根据牛顿运动定律即可搭建系统的振动方程，而且对于简单的振动系统而言，此方程通常是二阶微分方程。通过MATLAB/SIMULINK仿真软件可以搭建振动系统的微分方程，通过对一些积分模块、微分模块以及各参数的合理设置，然后通过示波器模块可以观察输出值的波形，比如运动过程中的位移、速度和加速度波形。由于存在阻尼，振荡会不断衰减，一段时间后会衰减为0，且与一些系统的参数有关系，比如阻尼系数、弹簧系数等等。阻尼系数增加，衰减的快，反之则慢，这些变化可以通过观察上述波形得以直观地感受到。